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《高等数学》课程试卷习题(无答案)第5章 定积分习题

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《高等数学》课程试卷习题(无答案)第5章 定积分习题
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S1定积分的概念与性质一、是非题1.定积分的值与积分变量因素有关,2.闭区间上的连续函数当然是可积的。假如在该区间的某个点上改变该函数的值,即出现一个有限的间断点,既不破坏可积性,也不影响积分值3.定积分的定义为f(x)dx=lim之f(5)Ax,,随然要求当=maxAx→0时,Zf(5)Ar,的极限存在且有限,但极限值仍是任意的.()4.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)]在[a,b]上也可积()5. 'xa>J'rd.(6. 若在[a,b]上f(x)>0则[f(x)dx≤0 .()二、填空题条件1.被积函数在积分区间有界是可积的条件.2.被积函数在积分区间连续是可积的3.在区间[a,b)上f(x)≤0时,定积分[f(x)dx在几何上表示由直线x=a、x=b、x轴及曲线y=f(x)所围成曲边梯形面积的4.定积分[xdx表示由直线x=a、x=b、x轴及直线y=x所围成的的面积.5. 设f(x)在[a,b]上连续,f(x)≥0,xe[a,b],且[ f(x)dx=0,则f(x)06. 当a<b时,有『,f(x)dx=7. J'kdx =(k为常数).8.设f(x)在[a,b)上可导,且J"(x)≤M,f(a)=0,则[f(x)dx≤三、选择题1.积分中值定理"f(x)dx=f(5)(b-a),其中().(A)是[a,b]内任一点;(B)是[a,b]内必定存在的某一点;(C)=是[a,b]内唯一的某一点;(D)=是[a,b]的中点.2.下列四组表达式中正确的是().(A) ['(x +1)dx≤'(x +1)dx(B) J'in xdx ≤ J'(In x) dx(C) f'edx ≥ f'+x)dx(D) Jxdx≤f'in(1+ x)dx四、解答题1.试将下图中各曲边梯形的面积用定积分来表示:

§1 定积分的概念与性质 一、是非题 1. 定积分的值与积分变量因素有关. ( ) 2.闭区间上的连续函数当然是可积的.假如在该区间的某个点上改变该函数的值,即出现 一个有 限的间断点,既不破坏可积性,也不影响积分值. ( ) 3.定积分的定义为 0  1  ( ) lim ( ) n  b  i i a  i f x dx f x l x Æ = =  D Ú ,随然要求当 max 0 i i l = Dx Æ 时, ( ) i i i  f x D x 的极限存 在且有限, 但极限值仍是任意的. ( ) 4.若 f (x) 在[a,b ]上可积,则| f (x) |在[a,b ]上也可积. ( ) 5. 2  2  1 x dx > Ú 2  3  1 x dx Ú . ( ) 6. 若在[a,b ]上 f (x) > 0则 ( ) b  a  f x dx £ 0 Ú . ( ) 二、填空题 1.被积函数在积分区间有界是可积的 条件. 2.被积函数在积分区间连续是可积的 条件. 3.在区间[a,b ]上 f (x) £ 0 时,定积分 ( ) b  a  f x dx Ú 在几何上表示由直线 x = a 、 x = b 、 x 轴及曲线 y = f (x) 所围成曲边梯形面积的 . 4.定积分 b  a  xdx Ú 表示由直线 x = a 、 x = b 、 x 轴及直线 y = x 所围成的 的面积. 5.设 f (x) 在[a,b ]上连续, f (x) ³ 0, x Œ [a,b],且 ( ) 0 b  a  f x dx = Ú ,则 f (x) 0. 6.当a < b 时,有 ( ) a  b  f x dx = Ú . 7. b  a  kdx = Ú (k 为常数) . 8.设 f (x) 在[a,b ]上可导,且 f ¢(x) £ M , f (a) = 0,则 ( ) b  a  f x dx £ Ú . 三、选择题 1.积分中值定理 ( ) ( )( ) b  a  f x dx = f x b - a Ú ,其中( ). (A) x 是[a,b ]内任一点; (B) x 是[a,b ]内必定存在的某一点; (C) x 是[a,b ]内唯一的某一点; (D) x 是[a,b ]的中点. 2.下列四组表达式中正确的是( ) . (A) 1 1  2 3  0 0  (x +1)dx £ (x +1)dx Ú Ú (B) 1  ln e xdx Ú £ 2  1  (ln ) e x dx Ú (C) 1  0 x e dx Ú ³ 1  0 (1+ x)dx Ú (D) 1 1  0 0  xdx £ ln(1+ x)dx Ú Ú 四、解答题 1.试将下图中各曲边梯形的面积用定积分来表示:

1(a)(b)(c)2.估计下列各积分的值:11((x2 -3x+ 2)dx ;1(3)(4)dx:5+3cosx0J2x2-x+1五、证明题1.证明下列不等式成立V2V2(1+x)dt V2e d2 (2)号](-sinx[Ji+sin'xdx元; (3)22.函数f(x)和g(x)均在[a,b]上连续,证明Cauchy不等式[f" f(x)g(x)dxP ≤ " f"(x)dx Jn g*(x)dxS2微积分基本公式一、是非题1.设,f(t)dt=a",则f(x)=a2*na.12. ['arctan xdx =0 .(dx3.设f(x)有连续的导数,F(b)=5,f(a)=3,则[f(x)dx=2(Jx[dx= 0 .A.()二、填空题1. 设f(x)在(-0,+o0)上有一阶导数,F(n)=Jxf(0)dt (x0)则F(x)=2. 设Φ(x)=[tanudu,则(x)=3. 设F(x)=J tcos idt,则F()=4.当b*0时,["lnxdx=1,则b=T'e'dx:5.6. [(2x2 -3x+ 4)dx =三、选择题1.设f(x)在[a,b)连续,9(x)=()dt,则()

2.估计下列各积分的值: (1) 4  2  1  (x - 3x + 2)dx Ú ; (2) 2 sin  0 x e dx p Ú ; (3) 1 2 0  2  1 2 1 dx  x - x + Ú ; (4) 2 2  0  1 5 3cos dx  x p + Ú .  五、证明题 1.证明下列不等式成立 1 1  0 0  xdx £ ln(1+ x)dx Ú Ú 2 1  1  2  2  1 2  2 2 x e e dx - - - < < Ú . (2) 2 2  0  2 1 sin 2 2 xdx p p < + < p Ú ; (3) 2  4  1 sin 2 2 2 x dx  x p < p < Ú .  2.  函数 f (x) 和 g(x) 均在[a,b ]上连续,证明 Cauchy 不等式: 2 2 2  [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) b b b  a a a  f x g x dx £ f x dx × g x dx Ú Ú Ú .  §2 微积分基本公式 一、是非题 1.设 2  ( ) x x a  f t dt = a Ú ,则 2  ( ) ln x f x = a a . ( ) 2. arctan b  a  d xdx  dx = 0 Ú . ( ) 3.设 f (x) 有连续的导数, f (b) = 5, f (a) = 3,则 ( ) 2 b  a  f ¢ x dx = Ú . ( ) 4. 1  1 | x | dx - = 0 Ú . ( ) 二、填空题 1.设 f (x) 在(-•,+• ) 上有一阶导数, 1  0  ( ) ( ) x F x = xf t dt Ú (x ¹ 0) 则 F¢¢(x) = _. 2.设 0  ( ) tan x F x = udu Ú ,则F¢(x) = . 3.设 2  0  ( ) cos x F x = t tdt Ú ,则 ( ) 4 F p ¢ = . 4.当b ¹ 0 时, 1  ln 1 b  xdx = Ú ,则b = . 5. 1  0 x e dx = Ú . 6. 1  2  0 (2x - 3x + 4)dx = Ú . 三、选择题 1.设 f (x) 在[a,b ]连续, ( ) ( ) x a  φ x = f t dt Ú ,则( ).

(A)(x)是f(x)在[a,b)上的一个原函数;(B)f(x)是(x)的一个原函数(C)(x)是f(x)在[a,b]上唯一的原函数;(D)f(x)是(x)在[a,b]上唯一的原函数2.设f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数,则F(x)=f(t)dt是().(B)偶函数;(A)奇函数;(C)非奇非偶函数;(D)(A)、(B)、(C)都不对.3.f(x)为已知函数,1=jf(tx)d,其中s>0,t>0则1的值依赖于()(A)依赖于s和t(B)依赖于s,t,x(C)依赖于x和t,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t4. F(x)=[e"costdt,则 F(x)在[0,元]上有((A) F()为最大值,F(0)为最小值(B)F()为最大值,但无最小值(C)F()为极小值,但无极大值(D)F()为最小值,F(O)为最大值5.关于函数 f(x)=Jedt(-0),求z;(3)Jed+f.cosidt=0,求崇dx2.利用牛顿一莱布尼兹公式计算下列定积分:(1) 'xdx ;(2)1+x3.设f(x)是连续函数,且f(x)=x+2/f(t)dt,求f(x)4.当x为何值时,函数1(x)=[te-dt有极值?5.设x→0时,F(x)=J(x2-)f"(t)dt的导数与x是等价无穷小,试求f"(0).6. 设αa()=(e -1)d,()=In(1+)d,求imB0α(x)["(e -1]dt-,x#0,问A到何值时,(x)在x=0处可导,并求1(0).7. 设f(x):x2A,x=083定积分的换元法与分部积分法

(A) φ (x)是 f (x) 在[a,b ]上的一个原函数;(B) f (x) 是φ (x)的一个原函数;  (C) φ (x)是 f (x) 在[a,b ]上唯一的原函数;(D) f (x) 是φ (x)在[a,b ]上唯一的原函数.  2.设 f (x) 在[-a, a] 上连续且为奇函数,则 0  ( ) ( ) x F x = f t dt Ú 是( ). (A)奇函数; (B)偶函数; (C ) 非奇非偶函数; (D) (A)、(B)、(C)都不对. 3. f (x) 为已知函数,  0  ( ) s t I = t f tx dx Ú ,其中 s > 0,t > 0 则 I 的值依赖于( ) (A)依赖于s 和t (B)依赖于s ,t, x (C ) 依赖于 x 和t ,不依赖于s (D) 依赖于 s ,不依赖于t 4. ( ) cos , x t 0  F x e tdt - = Ú 则 F(x) 在[0,p ]上有( ) (A) ( ) 2 F p 为最大值, F(0) 为最小值 (B) ( ) 2 F p 为最大值,但无最小值 (C) ( ) 2 F p 为极小值,但无极大值 (D) ( ) 2 F p 为最小值, F(0) 为最大值 5.关于函数 2 2  0  ( ) t x f x e dt - = Ú (-• Ú , 求 z ; (3) 0 0  cos 0 y x t e dt + tdt = Ú Ú , 求 dy dx .  2.利用牛顿—莱布尼兹公式计算下列定积分: (1) 8  3  1 xdx Ú - ; (2) 1 3 1  2  1 dx  + x Ú ; 3.设 f (x) 是连续函数,且 1  0  f (x) = x + 2 f (t)dt Ú ,求 f (x) . 4.当 x 为何值时,函数 2 0  ( ) x t I x te dt - = Ú 有极值? 5.设 x Æ 0 时, 2 2  0  ( ) = ( ) ( ) x F x x - t f ¢¢ t dt Ú 的导数与 2 x  是等价无穷小,试求 f ¢¢(0) . 6.设 2 2  2  0 0  ( ) ( 1) , ( ) ln(1 ) x x t a x = e - dt b x = + t dt Ú Ú ,求 0  ( ) lim  ( ) x x  x b Æ a 7.设 2  2 0  2  ( 1) , 0 ( ) , 0 x t e dt x  f x  x  A x Ï - Ô ¹ = Ì Ô = Ó Ú ,问 A 到何值时, f (x) 在 x = 0 处可导,并求 f ¢(0) .  §3 定积分的换元法与分部积分法

一、是非题1.在计算定积分/-xdx时,可以使用x=sint进行换元法计算,72. 因为I=dt=-l,从而1=0.-dx =-J-11+t1+二、填空题1.当f(x)为偶函数时,"f(x)dx=2.设f(x)可微且积分[,Lf(x)+xf(xt)]dt的结果与x无关,则(x)=(k为任意常数)三、选择题1.设f(x)在[-a,a]上连续,则[",f(-x)dx=()。(B) 2f°f(x)dx (C) -", f(x)dx (D)[, (x)dx(A)02.设f(n)在[0,1]上连续,令t=2x,则f"f(2x)dx=().(4) "(0)d (B) 5(0)d (C) 2f()d (D) (0)dr3.设(x)为连续函数,则[(1-)(+)dt=(f(D) !(4) 0(B) 1(C) nn四、解答题1.用换元法计算下列各积分:(1)xya-xdx:(2)sin.xcosxdxdxxdx(3) ((4)x/1+x25-4xdx(5) (g(6)1 Vx+1V1-x-1dxdx(7)(8)2x+2x+2x/1+Inx(10)4cosxdx;(9)【V1+cos2xdx;1/2x+1+2dx(11)1+4/2x+12.用分部积分法求下列各积分:4lnx(1)x(2)-dx ;-dx: sin'xx4)(3)「xarctan xdx ;e2*cosxdx:xnd;(6)[(5) [' sin(lnx)dx7)

一、是非题 1.在计算定积分 3 3  2  0  1- x dx Ú 时,可以使用 x = sin t 进行换元法计算. ( ) 2.因为 1 1 1  2 2  1 1  1 1 1 1 t  x I dx dt I x t = - - = = - = - + + Ú Ú ,从而 I = 0 . ( ) 二、填空题 1.当 f (x) 为偶函数时, ( ) a  a  f x dx - = Ú . 2.设 f (x) 可微且积分 1  0 [ f (x) + xf (xt)]dt Ú 的结果与 x 无关,则 f (x) = (k 为任意常数) . 三、选择题 1.设 f (x) 在[-a, a] 上连续,则 ( ) a  a  f x dx - - = Ú ( ) . (A) 0  (B) 0  2 ( ) a  f x dx Ú (C) ( ) a  a  f x dx - -Ú (D) ( ) a  a  f x dx Ú- 2.设 f (x) 在[0,1]上连续,令t = 2x ,则 1  0  f (2x)dx = Ú ( ) . (A) 2  0  f (t)dt Ú (B) 1  0  1 ( ) 2 f t dt Ú (C) 2  0  2 f (t)dt Ú (D) 2  0  1 ( ) 2 f t dt Ú 3.设 f (x) 为连续函数,则 1  2  1 1 (1 ) ( ) n  n  f t dt t t - + = Ú ( ) . (A) 0  (B) 1  (C) n  (D) 1 n 四、解答题 1.用换元法计算下列各积分: (1) 2 3  0  sin x cos xdx p Ú ; (2) 2 2 2  0 a x a - x dx Ú ; (3) 3  1  2 2  1 dx  x + x Ú ; (4) 1  1  5 4 xdx  x - - Ú ; (5) 4  1  1 dx x + Ú ; (6) 1  3  4  1 1 dx  - x - Ú ; (7) 2 1  1 ln e dx  x + x Ú ; (8) 0  2  2  2 2 dx  x x - + + Ú ; (9) 0  1 cos 2xdx p + Ú ; (10) 2  4  2  4cos xdx p p - Ú ; (11) 4  1  0  4  2 1 2 1 2 1 x  dx  x + + + + Ú . 2.  用分部积分法求下列各积分: (1) 3  2  4  sin x  dx  x p Ú p ; (2) 4  1  ln x dx  x Ú ; (3) 1  0 x arctan xdx Ú ; (4) 2 2  0  cos x e xdx p Ú ; (5) 1 sin(ln ) e x dx Ú .  (6) 1  2  0  1 ln 1 x  x dx  x + - Ú ; (7) 0  arctan a  a x dx  a x - + Ú .

3.设函数f(x)在[0,"}上连续且满足f(x)=ecosx+[f(t)dt.试求f(x)4.设连续函数f(x)满足ff(tx)dt=f(x)+xsinx,f(0)=0.试求出f(x)的表达式。五、证明题1.若f(x)在[0,1]上连续,证明:1) (sin x)d=(cos x)dx;2) xF(sinx)dx=号(sin x)dxx≥02. 设函数f(x)=4正明f(x-2)dx = tan-1 0)2.求下列各广义积分:dxdx(1)(2) [.(3) [xe-dx(1+x)Wxx(1+x)dxarctgxdx:(5) [(6) f.ear cos bxdx(α >0)(4) [x+2x+2x3.利用[dx=与,计算[xerdx2dx当k为何值时,反常积分[收敛?当k为何值时,反常积分发散?又当k为何值时,这4.x(Inx)*

3.设函数 f (x) 在[0, ] 2 p 上连续且满足 2 0  ( ) cos ( ) x f x e x f t dt p = + Ú .试求 f (x) . 4.  设连续函数 f (x) 满足 1  0  f (tx)dt = f (x) + x sin x Ú , f (0) = 0 .试求出 f (x) 的表达式. 五、证明题 1.  若 f (x) 在[0,1]上连续, 证明: 1) 2 2  0 0  f (sin x)dx f (cos x)dx p p = Ú Ú ;  2) 0 0  (sin ) (sin ) 2 x f x dx f x dx p p p × = Ú Ú .  2.  设函数 2 ,      0 ( ) ,  1 1 0 1 cos x xe x  f x  x  x - Ï ³ Ô = Ì Ô Ó - Ú (2) 2  2 2 dx  x x +• -• + + Ú (3) ( ) x x x e dx +• - -• + Ú 2.求下列各广义积分: (1) 1  ; (1 ) dx  x x +• + Ú (2) 2  1  ; (1 ) dx  x x +• + Ú (3) 2 1  ; x xe dx +• - Ú (4) 2  1  ; arctgx dx  x +• Ú (5) 2  ; 2 2 dx  x x +• -• + + Ú (6) 0  cos ( 0) x e bxdx a a +• - > Ú 3.利用 2 0  2 x e dx +• - p = Ú ,  计算 2 2  0 x x e dx +• - Ú 4. 当k 为何值时,  反常积分 2  (ln ) k dx  x x +• Ú 收敛? 当 k 为何值时,  反常积分发散? 又当k 为何值时,  这

反常积分取得最小值?85定积分的应用一、是非题1.由曲线y=6-x2y=x2与直线x=0,x=1所围成的平面图形面积是8-)(2.由曲线y=6-x,y=×与直线x=0,x=1所围成的平面图形面积是7(33.由y=4x与y=8x-4所围成的平面图形,绕x轴旋转所形成的旋转体的体积是元:()二、填空题1.由曲线y=x,y轴与直线y=8所围成的平面图形面积是2.由抛物线Vx+=Va(a>0)与x轴、y轴的平面图形面积是3.星形线x2/3+2/3=(a>0)的长度是三、选择题1.曲线y=y=lnx与直线xx=e,y=0所围成的区域的面积().(D) I+!(B) e_!(C) e+!(4)2(1-1)eee2.椭圆兰+之=1(a>b>0)分别绕x轴、绕y轴旋转所得的旋转体的体积为V,V,则它们间的关ab?系是().(A) V/>V)(B) V,0、y=g(x)>0[f(x)≥g(x)]所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是().(B) [" [F3(x)- g(x) dx(A) [元[F(x)-g(x)Pdx(D) [" [元 f(x)-ng(x)] dx(C) [[f(x)dx-[[g(x)P dx5.曲线y2=4-x与y轴所围部分的面积为(-(A) JVx(x-4)dx(B) JVx(4-x)dx(C)2fVx(x-4)dx(D) 2JVx(4-x)dx6.矩形闸门宽α米,高h米垂直放在水中,上沿与水面平齐,则该闸门所受的水压力((A) ["ahdh(B) J"ahdh(C) f"ahdh(D) [2ahdh0-7.横截面面积为S、深为h的水池装满水,其中S、h为常数,水密度为1.若将水全部抽到距原水面高为H的水塔,则所做的W功为()(4) J'gs(H+h-)dy (B) "gs(H+h-)dy (C) J'g(H+)dy (D) J'gs(H+)dy四、计算题

反常积分取得最小值? §5 定积分的应用 一、是非题 1.由曲线 2 2  y = 6 - x , y = x 与直线 x = 0, x = 1所围成的平面图形面积是 1 8 3 . ( ) 2. 由曲线 2 2  y = 6 - x , y = x 与直线 x = 0, x = 1所围成的平面图形面积是 2 3 . ( ) 3.由 2  y = 4x 与 2  y = 8x - 4 所围成的平面图形,绕 x 轴旋转所形成的旋转体的体积是p . ( ) 二、填空题 1.由曲线 3 y = x , y 轴与直线 y = 8所围成的平面图形面积是 . 2.由抛物线 x + y = a (a > 0) 与 x 轴、 y 轴的平面图形面积是 . 3.星形线 2 3 2 3 2 3  x + y = a (a > 0) 的长度是 . 三、选择题 1.曲线 y= y = | ln x |与直线 1 x , x e, y  0 e = = = 所围成的区域的面积( ). (A) 2  1 (1 ) e - (B) 1 e  e - (C) 1 e  e + (D) 1 1 e + 2.椭圆 2 2  2 2  1( 0) x y  a b a b + = > > 分别绕 x 轴、绕 y 轴旋转所得的旋转体的体积为 1 2  V ,V ,则它们间的关 系是( ). (A) V1 >V2 (B) V1 0 、 y = g(x) > 0 [ f (x) ³ g(x) ]所 围图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( ). (A) 2 1 2  [ ( ) ( )] x x p f x - g x dx Ú (B) 2 1 2 2  [ ( ) ( )] x x p f x - g x dx Ú (C) 2 2 1 1 2 2  [ ( )] [ ( )] x x x x p f x dx - p g x dx Ú Ú (D) 2 1 [ ( ) ( )] x x p f x -p g x dx Ú 5.曲线 2  y = 4 - x 与 y 轴所围部分的面积为( ). (A) 4  0  x (x - 4)dx Ú (B) 4  0  x (4 - x)dx Ú (C) 2  4  0  x (x - 4)dx Ú (D) 2  4  0  x (4 - x)dx Ú 6.矩形闸门宽a 米,高 h 米垂直放在水中,上沿与水面平齐,则该闸门所受的水压力 ( ). (A) 0 h ahdh Ú (B) 0 a ahdh Ú (C) 0  1 2 a  ahdh Ú (D) 0  2 a  ahdh Ú 7.横截面面积为S 、深为h 的水池装满水,其中S 、h 为常数,水密度为 1.若将水全部抽到距原 水面高为 H 的水塔,则所做的W 功为( ). (A) 0  ( ) h gS H + h - y dy Ú (B) 0  ( ) H gS H + h - y dy Ú (C) 0  ( ) h  S g H y dy  h + Ú (D) 0  ( ) h gS H + y dy Ú 四、计算题

1.一立体的底面为一半径为5的圆.已知垂直于底圆的一条直径的截面都是等边三角形,求立体的体积.2.求圆的渐伸线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(a>0)在0≤t≤2元之间的长度3.设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0,又已知该抛物线与直线x=2,x轴所围成的面积为1.求a,b,c使此图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V为最小,4.求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost).(0≤t≤2元)与x轴围成图形的重心坐标5.求曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(AC-B2>0)围成的面积6.已知星形线+y=a(a>0),求(1)它所围成的面积;(2)它的弧长;(3)它绕x轴旋转而成的旋转体体积7.求心形线p=2a(2+cos)(a>0)的全长8.计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积,9.直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽.设温度保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功?10.一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片,铅直地沉没在水中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3cm,试求它每面所受的压力11.设有一长度为l,线密度为μ的均匀细直棒,在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力12.求由曲线p=asin,p=a(cos+sin)(a>0)所围图形公共部分的面积13.求圆盘(x-2)2+y2≤1绕y轴旋转而成的旋转体的体积14.设一锥形贮水池,深15m,口径20m,盛满水,今以唧筒将水吸尽,问要作多少功?

1.一立体的底面为一半径为 5 的圆.已知垂直于底圆的一条直径的截面都是等边三角形,求立体 的体积. 2. 求圆的渐伸线 x = a(cost + tsin t), y = a(sint - t cost) (a > 0) 在0 £ t £ 2p 之间的长度. 3. 设抛物线 2 y = ax + bx + c 过原点,  当0 £ x £ 1时,  y ³ 0 ,又已知该抛物线与直线 x = 2 , x 轴所围 成的面积为 1.求a,b, c 使此图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 为最小. 4.求摆线 x = a(t - sin t), y = a(1- cost).(0 £ t £ 2p ) 与 x 轴围成图形的重心坐标. 5.求曲线 2 2 2  Ax + 2Bxy +Cy =1,(AC - B > 0) 围成的面积. 6.已知星形线 2 2 2  3 3 3  x + y = a (a > 0) ,求 ⑴ 它所围成的面积;⑵ 它的弧长;⑶ 它绕 x 轴旋转而成 的旋转体体积.  7.求心形线 r = 2a(2 + cosq) (a > 0) 的全长 8. 计算由摆线 x = a(t - sin t) , y = a(1- cost) 的一拱直线 y = 0 所围成的图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转 而成的旋转体的体积.  9. 直径为 20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为 2 10N / cm  的蒸汽.设温度保持不变,要使蒸汽体 积缩小一半,问需要作多少功? 10. 一底为 8cm、 高为 6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平行, 而 顶离水面 3cm, 试求它每面所受的压力.  11. 设有一长度为l ,线密度为m 的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ,试求这细棒对质点M 的引力.  12.求由曲线 r = asinq, r = a(cosq + sinq ) (a > 0) 所围图形公共部分的面积.  13.求圆盘 2 2  (x - 2) + y £ 1绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积.  14.设一锥形贮水池, 深15m ,口径20m ,盛满水,今以唧筒将水吸尽,问要作多少功?

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