《高等数学》课程试卷习题（无答案）第4章 不定积分习题

S1 不定积分的概念与性质一、填空题1. J f(3x)dx =2.设F(x)是f(x)的一个原函数，则[f(1-2x)dx=3. 若[f(x)dx=x +C,则[xf(1-x)dx=4. 设[f(x)dx=x-x+C，则f(x)=5.若e-*是f(x)的一个原函数，则x"f(lnx)dx=6.若(x)是e*的一个原函数，则[(nx)dx=二、选择题1.已知f(x)存在，则[[df(x)"=（）(B) f'(x)(C) f(x)+C(D) f'(x)+C(A) f(x)12.-dx = ():sin"xcos"x(B)cotx+tanx+C(C) 2cot2x+C(D) 2tan 2x+C(A) -cot x+ tan x+C3. 若[dx=In(x+1)+C,贝).则f(x)=(x2 ±1(C) x(D) x/2(B) 2x(A) x24.设f(x)的导函数为e-2，则下列函数中是f(x)的一个原函数的是（)127￥1(A)(B)+1(D)(C)+1+12A425.若incos2x是f(t)=ktan2x的一个原函数，则k=（)(B)-2a)4(C)(D) -,3！的原函数的是（）6.下列函数中不是f(x)=A(A) F(x)= In |x|(B) F(x)= In /Cx/ (C+0,I)(C) F(x)=CInx/(C+ 0,I)(D) F(x)=ln /x|+C (C+0)7.若ln|x|是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的另一个原函数是（)(B) =ln ax(A) In [ ax|(C) In| x+al(D) =(ln x)22a8.已知[xf(x)dx=sinx+C，则f(x)=().(4) sinx(B) COS.X(C) xsinx(D) xcosx+x9. 若「f(x)dx=F(x)+C则[e*f(e-")dx= ( )

§1 不定积分的概念与性质 一、填空题 1． f '(3x)dx Ú =_  ． 2．设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (1- 2x)dx = Ú ． 3．若 2  f (x)dx = x +C Ú ，则 2  xf (1- x )dx = Ú ． 4．设 3 4  f ¢ (x )dx = x - x +C Ú ，则 f (x) =_  _． 5．若 x  e - 是 f (x) 的一个原函数，则 2  x f (lnx)dx = Ú ． 6．若 f (x) 是 x  e - 的一个原函数，则 f (lnx ) dx  x = Ú ． 二、选择题 1．已知 f ¢(x)存在，则 [ df (x)]¢ = Ú ( ) ． (A) f (x) (B) f ¢(x) (C) f (x) +C (D) f ¢(x) +C 2． 2 2  1 sin cos dx  x x = Ú ( ) ． (A) -cot x + tan x + C (B) cot x + tan x +C (C) 2cot 2x +C (D) 2 tan 2x + C 3．若 2  2  ( ) ln( 1) 1 f x  dx x C x = + + + Ú ，则 f (x) = ( ) ． (A) 2 x (B) 2x (C ) x (D) x 2 4．设 f (x) 的导函数为 2 x  e - ，则下列函数中是 f (x) 的一个原函数的是（ ） ． (A) 1 2  1 2 x e - - + (B) 1 2  1 4 x e - + (C) 1 2  1 2 x e - + (D) 1 2  1 4 x e - - + 5．若 2 ln cos 2 3 x 是 f (x) = k tan 2x 的一个原函数，则k = （ ） ． (A) 2 3 (B) 2 3 - (C) 4 3 (D) 4 3 - 6．下列函数中不是 1 f (x ) x = 的原函数的是（ ） (A) F(x) = ln | x | (B) F(x) = ln |Cx | (C ¹ 0,1) (C) F(x) = Cln | x | (C ¹ 0,1) (D) F(x) = ln | x | +C (C ¹ 0) 7．若ln | x |是函数 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的另一个原函数是（ ） ． (A) ln | ax | (B) 1 ln | ax |  a (C) ln | x + a | (D) 1 2  (ln ) 2 x 8．已知 xf (x)dx = sin x + C Ú ，则 f (x) = ( ).  (A) sin x  x (B) cos x  x (C) x sin x (D) x cos x 9．若 f (x)dx = F(x) + C Ú 则 ( ) x x e f e dx - - = Ú （ ） ．

F(x)(D)+C(A) -F(e')+C(B) F(e')+C(C) F(e-")+Cx三、解答题1.求下列不定积分：1(1) /dx(2)XXJx2[2-3 -5-2 dx3(3) [(4))dh3*1+rV1- x3dx(5) Jcos*2=dx(6) n(x+1)(x-2)5+x-8xdx0(8)(x+1)(x+2)(x+3)2. 设(x)的一个原函数为sin，求[g(2x)d3.一曲线通过点(e,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程13元求F(x)4.已知F(x)在[-1,1]上连续，在(-1,1)内F(x)=且 F(1)=2Vi-x282换元积分法一、填空题1.[(tang+cot0)do=2. [cos'xdx=x-23.[dx=x+2x+3二、选择题).1.下列各式中，计算正确的是（A)-d(1-x)= In|1-x|+C(B) [cos2xdx=sin2x+Ctanxdx -{ tan' xd tan x =(C)dx = In(1+e*)+C(D)tanx+C1-sinx1+e1dx= ()2.1+sinx(A) tanx-+C(B) tan x++Ccosxcosx11(C)tanx-+C(D) tanx++Csinxsinx(A) In|e* +1|+C(B) In|e*-1|+C(C) x-2In|e*+1]+C(D) 2In[e* +1/-x+C

(A) ( ) x -F e + C (B) ( ) x F e +C (C) ( ) x F e C - + (D) F(x ) C x + 三、解答题 1．求下列不定积分： (1) 2  1 dx  x x Ú (2) 2  2  1 x  dx  + x Ú (3) 2  2  3 2 ( ) 1 1 dx  x  x - + - Ú (4) 2 3 5 2 3 x x x dx × - × Ú (5) 2  cos  2 x dx Ú (6) ( 1)( 2) dx  x + x - Ú (7) 5 4  3  x x  8 dx  x x + - - Ú (8) ( 1)( 2)( 3) xdx  x + x + x + Ú 2．设 f (x) 的一个原函数为 sin x  x  ，求 xf ¢ (2x)dx Ú 3.一曲线通过点 2  (e , 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 4．已知 F(x) 在[-1,1] 上连续，在(-1,1 ) 内 2  1 ( ) 1 F x  x ¢ = - ，且 3 ( ) 2 F p 1 = ，求 F(x) ． §2 换元积分法 一、填空题 1． 2  (tanq + cotq ) dq = Ú ． 2． 3  cos xdx = Ú ． 3． 2  2 2 3 x  dx  x x - = + + Ú ． 二、选择题 1．下列各式中，计算正确的是（ ）． (A) 1 1 (1 ) ln 1 1 1 dx d x | x | C x x = - = - + - - Ú Ú (B) cos 2xdx = sin 2x +C Ú (C) 1 ln(1 ) 1 x x dx e C e = + + + Ú (D) 2  2 3  2  tan 1 tan tan tan 1 sin 3 x  dx xd x x C x = = + - Ú Ú 2． 1 1 sin dx  + x Ú =（ ） (A) 1 tan  cos x C x - + (B) 1 tan  cos x C x + + (C) 1 tan  sin x C x - + (D) 1 tan  sin x C x + + 3． 1 1 x x e  dx  e - = + Ú ( ) (A) ln | 1| x e + +C (B) ln | 1| x e - +C (C) 2 ln | 1| x x - e + +C (D) 2ln | 1| x e + -x +C

sin xcos X dx =(4.01+cosx(4) =In(1+ sin x)+C(B) -In(I-cos*x)+C2(C) arctan(cos x)+C(D) -In(1+cos* x)+C25. 若[f(x)dx=x +C，则[x"f(1-x)dx=()(A) 3(1-x3) +C(B) -3(1-x) +C(C) (1-x)+C-(1-x)+C(D) -36.已知f(cosx)=sinx则)f(cosx)=(1(A) -cosx+C(C) (sin xcosx-x)+C(D) =(x-sinxcosx)+C(B) cosx+C7. 已知f(lnx)=x,1<x<+0,f(0)=0，则f(x)=()(A) er(B) e-1,1<x<+00(C) e*-1,0<x<+00(D) et,1<x<+008.设f(cosx+2)=sinx+tan"x，则f(x)=（）11sin'++(x-2)_tan'x+C+C(B) -(A)x-23(x-2)(x-2)3 +(D)*C(C)*Cx-2x-2三、计算题1.利用凑微分法求下列不定积分：dx(2x-3)dx(2) fe-tdx :(1)(3)(2x+3)°-3x+8dx2x-1(4)[x/1+x dx(5)(6)1/2-3x2dx(9) / arctan vdx(7)「(8) [dx(1+x)sin xcosxsin'(-2x)4dx1+InxIn tanx(10) /(11)(12) dx;drxInxInInx(x+In x)2cosxsinxdxVinxcos'osinade;(14)(15)(13)「dx ;xcos*x1+2tanxx+1dxsinx(16) [(17)d(18)-dxx(1+xe*)a"cosx+b'sin"x1+sinx+cosxarctanx1-Xdx(19)arctan(21) [sin' xcos' xdx(20) [d1+x2"1+xx(1+x)(22)[e2*(tan x+1)’dx2.利用第二换元法求下列不定积分：dxdxdx(1)(2) (3)V1+2x-x2/x(1- x)+Vi-x2

4． 2  sin cos  1 cos x x dx  x = + Ú ( ).  (A) 1 2  ln(1 sin ) 2 + x + C (B) 1 2  ln(1 cos ) 2 - - x +C (C) arctan(cos x) +C (D) 1 2  ln(1 cos ) 2 - + x + C 5．若 2  f (x)dx = x +C Ú ，则 2 3  x f (1- x )dx = Ú ( ) (A) 3 2  3(1- x ) + C (B) 3 2  -3(1- x ) + C (C) 1 3 2  (1 ) 3 - x + C (D) 1 3 2  (1 ) 3 - - x +C 6．已知 f ¢(cos x) = sin x 则 f (cos x) = ( ) (A) -cos x + C (B) cos x +C (C) 1 (sin cos ) 2 x x - x +C (D) 1 ( sin cos ) 2 x - x x +C 7．已知 f ¢(ln x) = x,1 < x < +•, f (0) = 0 ，则 f (x) = ( ) (A) x  e (B) 1,1 x e - < x < +• (C) 1,0 x e - < x < +• (D) ,1 x e < x < +• 8．设 2 2  f ¢ (cos x + 2) = sin x + tan x ，则 f (x) = （ ）.  (A) 1 3  1 ( 2) 3 2 x C x - - - + - (B) 1 3 1 3  sin tan  3 3 - x + x + C (C) 1 3  1 ( 2) 3 2 x C x - - + - (D) 1 3  1 ( 2) 3 2 x C x - - + + - 三、计算题 1．利用凑微分法求下列不定积分： (1) 9  (2 3) dx  x + Ú ； (2) 2 x e dx - Ú ； (3) 2  (2 3) 3 8 x dx  x x - - + Ú ； (4) 3  2  x 1+ x dx Ú (5) 2  2 3 dx  - x Ú (6) 2  2 1 1 x  dx  x - - Ú (7) 2  sin ( 2 ) 4 dx  x p - Ú ； (8) sin cos dx x x Ú ； (9) arctan (1 ) x dx  x + x Ú ； (10) ln ln ln dx  x x x Ú ； (11) ln tan cos sin x  dx  x x Ú ； (12) 2  1 ln ( ln ) x  dx  x x + + Ú ； (13) 3  cos q sinq dq Ú ； (14) ln x dx  x Ú ； (15) 2  cos 1 2 tan dx  x + x Ú ． (16) 1 (1 ) x x  dx  x xe + + Ú (17) 2 2 2  cos sin dx  a x b x 2 + Ú (18) sin 1 sin cos x  dx  + x + x Ú (19) 2  1 1 arc tan  1 1 x dx  x x  - + + Ú (20) 2 2  arc tan  (1 ) x  dx  x + x Ú (21) 5 3  sin x cos xdx Ú (22) 2 2  (tan 1) x e x + dx Ú 2．利用第二换元法求下列不定积分： (1) 2  1 2 dx  + x - x Ú ； (2) (1 ) dx  x - x Ú ； (3) 2  1 dx  x + - x Ú ；

Y-dx(5) (4) dx;(6)J(1+x)(l+er)?dxx+1(8) Jemr cos'x-sindax: (7)dx;(9)x2x2 -1cosx(2+cosx)sinxVP+adx-(12)(10)(11)dxdxx2x-/3x+21-x)1- x283分部积分法一、填空1.对被积函数是一个反三角函数与对数函数的乘积，若利用分部积分公式计算，则选为u，而凑成微分dv。2.Inxdxarccosxdx3.[sinedo=4.5.若(t)的一个原函数为sinx，则[x(x)=二、选择题1.若e*是f(x)的一个原函数，则「xf(x)dx=（）.(D) -e"*(1-x)+C(A) e(I-x)+C(B)e(l+x)+C(C) e(x-1)+C2.已知xe*是f(x)的一个原函数，则[f(3x)dx=().(A) xe** +C(B) 3xe' +C(C) xe* +C(D) 3xe* +C3.若是()的一个原函数，则[()=（）Inx(4) 1-2Inx(B) I +Inx+C+C(C)+C(D)x2xx1-(1+xlnx)dx=().4.(A) xe +C(B) Inx+C(D) eInx+C(C) e*Inx+C5. [xarctan xdx=().1(A) _(x +1)arctanx-x+C(B) (x + 1)arctan x+ -x+C22(x +1)arctan x-(x* +1)arctanx+(C) -x+C(D) -x+C22三、计算题1．求下列不定积分x+lnx(1) [xarc tan xdxb2(1 + x)xe(3) In(1+x)dx(4)e+1)

(4) 3  8 2  (1 ) x  dx  + x Ú ； (5) 3x e dx Ú ； (6) 2  (1 ) x dx  + e Ú ； (7) 2 2  1 1 x  dx  x x + - Ú ； (8) 3  sin  2  cos sin cos x x x x  e dx  x - Ú ； (9) (2 cos )sin dx  + x x Ú ． (10) 3  3 2 dx  x - x + Ú (11) 2  1 (1 ) 1 dx  - x - x Ú (12) 2 2  2 x a dx  x + Ú §3 分部积分法 一、填空 1． 对被积函数是一个反三角函数与对数函数的乘积， 若利用分部积分公式计算， 则 选为u ， 而 凑成微分dv ． 2． ln xdx = Ú ． 3． arccos xdx = Ú ． 4． sin q dq = Ú ． 5．若 f (x) 的一个原函数为 sin x  x  ，则 xf ¢ (x)dx = Ú _． 二、选择题 1．若 x  e - 是 f (x) 的一个原函数，则 xf (x)dx = Ú （ ）． (A) (1 ) x e x C - - + (B) (1 ) x e x C - + + (C) ( 1) x e x C - - + (D) (1 ) x e x C - - - + 2．已知 x  xe 是 f (x) 的一个原函数，则 f (3x)dx = Ú ( )． (A) 3x  xe +C (B) 3 x  xe +C (C ) x  xe + C (D) 3 3 x  xe +C 3．若 ln x x  是 f (x) 的一个原函数，则 xf ¢ (x)dx Ú =( )． (A) 1 2ln x  C x - + (B) 2  1 ln x  C x + + (C) ln x  C x + (D) 1 C x + 4． (1 ln ) x e  x x dx  x + Ú =( )． (A) x  xe + C (B) ln x +C (C) ln x  e x C - + (D) ln x  e x + C 5． x arctan xdx = Ú ( )． (A) 1 2  1 ( 1) arctan  2 2 x + x - x + C (B) 1 2  1 ( 1) arctan  2 2 x + x + x +C (C) 1 2  1 ( 1) arctan  2 2 - x + x - x +C (D) 1 2  1 ( 1) arctan  2 2 - x + x + x + C 三、计算题 1． 求下列不定积分 (1) 2  x arc tan xdx Ú (2) 2  ln (1 ) x x dx  x + + Ú (3) 2  3  1 ln(1 x )dx  x + Ú (4) 2  ( 1) x x xe dx  e + Ú

(5)[xcos’xdx(6)sinxdxarcsinVx(7)(8)[xln(x-1)dxdJ1-xInxrInsinx dx(9)dx(10)sin'xP arecosX dxx(11)(12) [-dxV1-x2.cos"xtanxxe(13)[xtan xsec*xd(14)derInx(15) [(16) J V1-x arcsin xdxdx(1+x)(17)]d-(18)-dxx(x+1)Vx+12. 求[sin(ln x)dx与[cos(ln x)dx3.设f(nx)=-In(1+x)，计算[f(x)dx.4. 设(r"-)=n。，且f(o(x)=Inx，求[o(x)dxx2-2[1, 0<x≤1且f(0)=0，求f(x).5. 设f(lnx)=1x,1<x<0084有理函数的积分1.求下列各有理函数的积分：xdxx-5(2)[(1)「xx -3x +4(x+1)(x+2)(x+3)x2(4) [)dr.(3) 「-dx;(x2 -3x+2)1-x2.求下列各积分：dx1-cosXdx ;(1)(2)sin'xcos'x1+cosxdxtgx(3)(4)dra'sin'x+b"cos"x3+2cosx3.求下列各积分：11(1)(2)dx ;dx dx= 2tdt1+ ~x/(x+1)(x-1)*(Vx+1-Vx-1(3)d/x+1+Vx-1

(5) 2  x cos xdx Ú (6) 3  sin xdx Ú (7) arcsin 1 x dx  - x Ú (8) x ln(x -1)dx Ú (9) 2  3  ln x dx  x Ú (10) 2  ln sin sin x dx  x Ú (11) 3  2  arccos 1 x x dx  - x Ú (12) 2 3  cos tan x  dx  x x Ú (13) 4  x tan x sec xdx Ú (14) 2 x x xe dx  e - Ú (15) 3  2  2  ln (1 ) x  dx  + x Ú (16) 2  1- x arcsin xdx Ú (17) ln 1 x  dx  x + Ú (18) 7 1 ( 1) dx  x x + Ú 2．求 sin(ln x)dx Ú 与 cos(ln x)dx Ú .  3．设 1 f (ln x) ln(1 x ) x = + ，计算 f (x)dx Ú ． 4．设 2  2  2  ( 1) ln 2 x  f x  x - = - ，且 f (φ (x)) = ln x ，求 φ(x)dx Ú ． 5．设 1, 0 1 (ln ) , 1 x  f x  x x Ï < £ ¢ = Ì Ó < < • 且 f (0) = 0 ，求 f (x) ． §4 有理函数的积分 1.求下列各有理函数的积分： （1） ( 1)( 2)( 3) xdx  x + x + x + Ú ； （2） 3 2  5 3 4 x  dx  x x - - + Ú ； （3） 2  2 2  ( 3 2) x  dx  x - x + Ú ； （4） 2 4  (1 ) 1 x x  dx  x - - Ú .  2.求下列各积分： （1） 1 cos 1 cos x dx  x - + Ú ； （2） 4 4  sin cos dx x x Ú ； （3） 3 2 cos dx  + x Ú （4） 2 2 2 2  sin cos tgx  dx  a x + b x Ú ； 3.  求下列各积分： （1） 1 1 dx  + x Ú ； （2） 3  2 4  1 ( 1) ( 1) dx  x + x - Ú dx = 2tdt （3） 1 1 1 1 x x  dx  x x + - - + + - Ú