吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2015-16BII试卷（答案）

吉林大学2015~2016学年第二学期《高等数学BII》试卷2016年6月28日三四总分二得分、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1.函数f(x,J)=J+在点(0,0)处的偏导数（B)（A）F(0,0)存在，f(0,0)不存在（B）f(0,0)不存在，f(0,0)存在(C）(0,0)，;(0,0)都存在(D）J(0,0)，(0,0)都不存在2.设方程xyz+e=1确定≥是x，y的函数，则=( C).ax(A)_兰(B)yz(D) (C) --exy+eixy+e"3.空间区域Q=(x,,=)4--,+1,z≥0)的体积是（A)(A) 4f dofr/4-rd(B) J" dof"r-/4-rdr(C) 4fe dof"V4-rdr(D) J" dof"V4-rdr4.设空间区域Q=(x,y,)x2+y+2≤2,=≥+)，J(x,y,=)为连续函数，则三重积分J[(x,y,=)dV=（D).V+(A) L'dx)N_dyf(x, y,z)dz[2-x2-y2(共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2015~2016 学年第二学期《高等数学 BII》试卷 2016 年 6 月 28 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，下列每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） 1. 函数 ( ) 2 4 f x y x y , = + 在点(0,0)处的偏导数（ B ）. （A） (0,0) x f  存在， (0,0) y f  不存在 （B） (0,0) x f  不存在， (0,0) y f  存在 （C） (0,0) x f  ， (0,0) y f  都存在 （D） (0,0) x f  ， (0,0) y f  都不存在 2．设方程 e 1 z xyz + = 确定 z 是 x，y 的函数，则 z x   =（ C ）． （A） e z yz − （B） e z yz （C） e z yz xy − + （D） e z yz xy + 3. 空间区域 2 2 2 2  =  − − +   {( , , ) 4 , 1,z 0} x y z z x y x y 的体积是（A） （A） 1 2 2 0 0 4 d 4 d r r r   −   （B） 2 2 2 0 0 d 4 d r r r   −   （C） 1 2 2 0 0 4 d 4 d r r   −   （D） 2 2 2 0 0 d 4 d r r   −   4.设空间区域 2 2 2 2 2  = + +   + {( , , ) 2, } x y z x y z z x y ， f x y z ( , , ) 为连续函 数，则三重积分 f x y z V ( , , )d  =  （ D ）． （A） 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 d d ( , , )d x x y x x y x y f x y z z − +    − − − − − 得 分

(B) 4f.dx d/ (xy,z)d(C) J"dof'dr]j," f(rcos,rsino,z)dz(D)df,dj(rsinpcoso,rinpsino,rcos)rsinddb zdxdy =5.设为球面x+y2+22=9的外侧，则曲面积分(B）3元(A) 0(C)9元(D)36元6.如果级数(-1(p>0)绝对收敛，则常数p的取值范围是（np-(A) p>1(B) 0<p<1(C) p≥1(D) 0<p≤1二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分，请将答案写在题后得分的横线上.）sin(xy) 1.极限lim→2．函数u=x-xy+2yz在点(1,1,1)处的方向导数的最大值为_V6K=cos(0≤),则[xds=3．设曲线L的方程为(y=sint[x2, 0≤x<]"s()=号+a,cosmx，其中4. 设函数f(x)=)x,1≤x<1,a,=2f。 J(x)cosnx dx, n=0,1,2.., 则 S(-↓)= _3/8展开成(x-2)的幂级数的形式为5.将函数(s)=="(-1)"(a-2),(x-2/2),(共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） （B） 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 4 d d ( , , )d x x y x y x y f x y z z − − −    + （C） 2 2 1 2 0 0 d d ( cos , sin , )d r r r f r r z z     −    （D） 2 2 4 2 0 0 0 d d ( sin cos , sin sin , cos ) sin d f r r r r r              5. 设  为球面 2 2 2 x y z + + = 9 的外侧，则曲面积分 z x y d d  =  （ D ）． （A）0 （B） 3π （C） 9 （D） 36 6. 如果级数 1 ( 1) ( 0) n p n p n  = −   绝对收敛，则常数 p 的取值范围是（ A ）. （A） p  1 （B） 0 1   p （C） p 1 （D） 0 1   p 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，请将答案写在题后 的横线上.） 1. 极限 lim sin( ) x y xy → x → 0  =  . 2. 函数 2 u x xy yz = − + 2 在点 (1,1,1) 处的方向导数的最大值为 6 . 3. 设曲线 L 的方程为 cos , (0 ) sin 2 x t t y t  =      = ，则 d L x s =  1 . 4. 设函数 2 1 , 0 , 2 ( ) 1 , 1, 2 x x f x x x     =      0 1 ( ) cos π 2 n n a S x a n x  = = + ，其中 1 0 2 ( )cos π d , 0,1,2, n a f x n x x n = =  ，则 1 ( ) 2 S − = 3/8 . 5. 将函数 1 f x( ) x = 展 开 成 ( 2) x − 的幂级数 的形式为 1 0 ( 1) ( 2) ,( 2 2) 2 n n n n x x  + = −  − −  . 得 分

6.微分方程xy+y=xe*满足初始条件y(l)=0的特解为x-lerx得分三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）和1.设f为C(2)类函数，且z=f(x+y,x-)，求d=和axay[解】%=+%f"-f'.....2分yoy故dz=(f'+J)dx+(f-f)dy.·4分a?z=-倍+-axoy- -. 2.在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面×+3y+z+9=0，并写出该法线方程。【解】.，法线的方向向量为…分它与已知平面的法向量平行，所以片-—-，解之得x=-3.y=-1==3.所求点的坐标为.，·5分法线方程为±+3+三-3.·分1+x3.设平面区域D=(,)+≤1,x≥0)，计算二重积分」IxdyY【解】积分区域D关于x轴对称，函数f(x,J)=是变量y的偶函数，1+x?+yx1函数g(x,y)=是变量y的奇函数，1+x?+y2（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 6. 微分方程 e x xy y x  + = 满足初始条件 y(1) 0 = 的特解为 x 1 x e x − . 三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1．设 f 为 (2) C 类函数，且 z f x y x y = + − ( , )，求 d z 和 2 z x y    . 【解】 1 2 1 2 , , z z f f f f x y   = + = −       .2 分 故 1 2 1 2 d ( )d ( )d z f f x f f y = + + −     .4 分 2 11 12 21 22 z f f f f x y  = − + −       11 22 = − f f  .8 分 2．在曲面 z = xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x + 3y + z + 9 = 0 ，并 写出该法线方程． 【解】 x y z y x z =   =   , ，法线的方向向量为 n={y, x,−1} ,.3 分 它与已知平面的法向量平行， 所以 1 1 1 3 − = = y x ，解之得 x = −3, y = −1,z = xy = 3． 所求点的坐标为(-3,-1,3)，.5 分 法线方程为 1 3 3 1 1 3 − = + = x + y z ．.8 分 3．设平面区域   2 2 D x y x y x = +   ( , ) 1, 0 ，计算二重积分 2 2 1 d d 1 + + +  D xy x y x y . 【解】 积分区域 D 关于 x 轴对称，函数 2 2 1 ( , ) 1 f x y x y = + + 是变量 y 的偶函数， 函数 2 2 ( , ) 1 xy g x y x y = + + 是变量 y 的奇函数， 得 分

元ln2分dxdy = 2[3 dLxdy=1+1+x2+)+x+1··分-dxdy=0,TIn··分故+*+, dxdy = [- dxdy+ [[]-dxdy1+x?+y21+x?+y4．求幂级数之的收敛域与和函数.=m"=1,收敛区间为(-1)【解】 R=lima n当-—时级数发散，当x-1时级数收敛，故收敛域为[-,]…2分设S(x)=)1≤x0,y>0,z>0，用Lagrange乘数法求函数u=xyz在约束条件x+y+z=12下的最大值【解】令(,,2)=yz+(+y+-12), .3 分(共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 则 1 2 2 2 2 1 1 d d 2 d d 1 1 = + + + +   D D x y x y x y x y 1 2 2 0 0 ln 2 2 d d 1 2   = =  +   r r r .4 分 2 2 d d 0 1 D xy x y x y = + +  ，.6 分 故 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 d d d d d d 1 1 1 2 D D D xy xy x y x y x y x y x y x y +  = + = + + + + + +    .8 分 4. 求幂级数 1 1 n n x n  − =  的收敛域与和函数. 【解】 1 1 lim lim 1 n n n n a n R → → a n + + = = = ，收敛区间为 ( 1,1) − 当 x =1 时级数发散，当 x =−1 时级数收敛，故收敛域为 [ 1,1) − .2 分 设 1 1 ( ) , 1 1, n n x S x x n  − = = −    则 1 ( ) ln(1 ), 1 1, n n x xS x x x n  = = = − − −    且 x  0 ， ln(1 ) ( ) x S x x − − = .5 分 1 (0) 1, ( 1) lim ( ) ln 2 x S s S x →− + = − = = − 从而 1 1 ln(1 ), 0, 1 1, 1, 0. n n x x x x x n x  − =  − −  −   =    =  .8 分 四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，满分 32 分）. 1. （本小题 9 分）设 x y z    0, 0, 0 ，用 Lagrange 乘数法求函数 u x y z 3 2 = 在约束条件 x y z + + =12 下的最大值. 【解】令 ( , , ) ( 12) 3 2 F x y z = x y z +  x + y + z − ，则.3 分 得 分

[F, =3xy22+^=0,F,=2xy2+=0,·分F,=x'y2+a=0,x+y+z=12解得唯—驻点6.4,2)，x=6.y=4,z=2，最大值为.=6.4.2=6912.….分2．（本小题9分）求微分方程y+4y=2x满足y(0)=0,(0)=1的特解【解】特征方程4-··2分齐次微分方程通解.cos.2x.sin2.4分又微分方程的一个特解为-！.·分..·分因而非齐次通解为c.cos2x+c.sin2x+将初始条件代入上式得特解为.os2+sin2+-….9分3．（本小题9分）计算曲线积分『,sin2xdx+2(x2-1)ydy，其中L是曲线y=sinx上从点(0,0)到点(元,0)的一段弧【解】%=0.%=4y补充·.·.2分由格林公式+ sin2xdx +2(x2 -1)dy =-[ 4xydxdy ·分J sin.d2-1)yy= 'sin2xdx-..8 J, sin2xdx +2(x2 -1)dy =-·.分0-4.（本小题5分）设曲面为x+2+22-=1位于平面22-=0上方的部分，计算曲面积分= 2 ds./4+y+2 -4yz(共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ）        + + = = + = = + = = + = 12. 0, 2 0, 3 0, 3 2 3 2 2 x y z F x y F x yz F x y z z y x    .6 分 解得唯一驻点 (6,4,2) ， x = = = 6, y 4,z 2 ，最大值为 6 4 2 6912. 3 2 umax =   = .9 分 2. （本小题 9 分）求微分方程 2 y y x + = 4 2 满足 y y (0) 0, (0) 1 = =  的特解． 【解】 特征方程 2 r + = 4 0.2 分 齐次微分方程通解 1 2 c x c x cos 2 sin 2 + .4 分 又微分方程的一个特解为 1 1 2 2 4 x − .6 分 因而非齐次通解为 2 1 2 1 1 cos 2 sin 2 2 4 c x c x x + + − .8 分 将初始条件代入上式得 特解为 1 1 1 1 2 cos 2 sin 2 4 2 2 4 x x x + + − .9 分 3. （本小题 9 分）计算曲线积分 2 sin 2 d 2( 1) d L x x x y y + −  ，其中 L 是曲线 y x = sin 上从点 (0,0) 到点 (π,0) 的一段弧． 【解】 0, 4 P Q xy y x   = =   补充 1 L y x : 0, : 0 = → .2 分 由格林公式 1 2 2 sin 2 d 2( 1) d 4 d d L L 2 D x x x y y xy x y  + + − = − = −   .6 分 1 0 2 sin 2 d 2( 1) d sin 2 d 0 L x x x y y x x  + − = =   .8 分 2 2 2 sin 2 d 2( 1) d 0 L 2 2 x x x y y   + − = − − = −  .9 分 4. （本小题 5 分） 设曲面  为 2 2 2 x y z yz + + − =1 位于平面 2 0 z y − = 上方的 部分，计算曲面积分 2 2 ( 3) 2 d . 4 4 x y z I S  y z yz + − = + + − 

【解】投影区域D:x22≤。分对x++-z=1两端关于x,y求偏导，得2x+2%=0.2xaxaxaxy-2z2y+2:_Oz_2y-z-z=0,y-22ax（）+（)ds=小dxdy.3分(x+ 3)]y- 2=|LdsI=1/4+ y2 +22 -4yz[a+ly-2+y-4dxdyD J4+y2+22-4y2y-22|-J[(x+3)dxdy=J3dxdy=2元.5分（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 【解】投影区域 2 2 3 : 1 4 D x y +  。.1 分 对 2 2 2 x y z yz + + − =1 两端关于 x y, 求偏导，得 2 2 2 0, 2 2 2 2 0, 2 z z z x x z y x x x y z z z z y z y z y z y y x y z    + − = =    −    − + − − = =    − 2 2 d 1 d d z z S x y x y      = + +          .3 分 2 2 2 2 2 2 ( 3) 2 d 4 4 ( 3) 2 4 4 d d 4 4 2 ( 3)d d 3 d d 2 . D D D x y z I S y z yz x y z y z yz x y y z yz y z x x y x y   + − = + + − + − + + − = + + − − = + = =     .5 分