吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2014级七、八年医用数学A2（答案）

2014-2015学年第二学期《医科数学AII》试卷2015年6月30日三五六总分得填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.设A是三阶方阵，且A=3，则aiA.+242+a34s2.若n阶矩阵A满足A°=O，则A+E)=E-A(a 1 1)3.设齐次线性方程组1α1x=0的基础解系含有2个解向量，则a11a4. 设 A,B为随机事件，P(A)+P(B)=0.7，P(AB)=0.3，则 P(AB)+P(AB)5．设随机变量X在区间[0,2]上服从均匀分布，则Y=X的概率密度函数为(0)-1(4), 0<<4t6.设X,X,X,X,是来自正态总体X~N(0.4)的样本，Y=a(X++2X,) +a(X,-2X.)~x (2),112则a:得分、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分)式4142=2，则行列式a1．设二阶行列式). Aa21 +2a1a2 +2aj2a22(B)。2;(C). 2;(D). 4.(A). -4:2.设向量组aa,a,的秩为2，则a,a,a，中（C(A)。必有一个零向量；(B)。任意两个向量都线性无关(C)：存在一个向量可由其余向量线性表示：(D)。每个向量均可由其余向量线性表示x+x+x=0,3.若齐次线性方程组ax+2xz+3x,= 0,有非零解，则=(). D[ax+4x, +9x,=0.(A).-2或-3;B-2或3;(C). 2 或-3 ;(D) 2或3.(共6页第页)

(共 6 页 第1页) 2014- 2015 学年第二学期《医科数学 AⅡ》试卷 2015 年 6 月 30 日 一 二 三 四 五 六 总分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设 A 是三阶方阵，且 A = 3，则 a A a A a A 11 11 12 12 13 13 + + = ．3 2．若 n 阶矩阵 A 满足 2 A O= ，则 1 ( ) A E − + = _． E A − 3．设齐次线性方程组 1 1 1 1 0 1 1     =       a a x a 的基础解系含有 2 个解向量，则 a = _．1 4. 设 AB, 为随机事件， P A P B ( ) + = ( ) 0.7， P AB ( ) = 0.3 ，则 P AB P AB ( ) + = ( ) _．0.1 5．设随机变量 X 在区间 [0,2] 上服从均匀分布，则 2 Y X = 的概率密度函数为_． ( ) 1 4 , 0 4 ( ) 0, Y y y f y     =   其他 6. 设 1 2 3 4 X X X X , , , 是来自正态总体 X ~N(0,4) 的样本， ( ) ( ) 2 2 1 2 3 4 Y a X X a X X = + + − 2 2 ~ ( ) 2  2 ， 则 a =_． 1 20 二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．设二阶行列式 11 12 21 22 = 2 a a a a ，则行列式 21 22 21 11 22 12 2 2 = + + a a a a a a （ ）．A （A）． −4 ； （B）． −2 ； （C）． 2 ； （D）． 4 ． 2．设向量组 1 2 3 a a a , , 的秩为 2，则 1 2 3 a a a , , 中（ ）． C (A)．必有一个零向量； (B)．任意两个向量都线性无关； (C)．存在一个向量可由其余向量线性表示； (D)．每个向量均可由其余向量线性表示． 3．若齐次线性方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0 2 3 0 4 9 0.  + + =   + + =   + + = x x x ax x x a x x x ， ，有非零解，则  = ( )．D （A）． −2 或 −3 ； （B）． −2 或 3 ； （C）． 2 或 −3 ； （D） 2 或 3． 得 分 得 分

4. 设 A,B为对立事件，,0<P(B)<1,则下列概率值为 1 的是(). C(A) P(A|B): (B) P(BIA): (C) P(AIB);(D) P(AB).5.设随机变量X~N(1,1)，概率密度为f(x)，分布函数F(x)，则下列正确的是().B(A) P(X ≤0)= P(X ≥0);(B) P(X≤1)= P(X ≥1);(C) f(x)=f(-x), xeR:(D) F(x)=1-F(-x), xeR.6. 设随机变量(X,Y)的方差D(X)=4,D(y)=1,相关系数Px=0.6,则方差D(3X-2Y)=（).D(A) 40;(B) 34;(C) 17.6;(D) 25.6得分三、计算与证明（共3道小题，第1小题6分，第2小题7分，，第3小题9分，满分22分）1.若A是n阶方阵，且AA=E，A=-1，其中为n阶单位阵，试证A+E=0证因AA =E，[A|=-1(2分)（4分）则|A+E|=|A+ AA"|=|A|E+ A|=-{(A+E)|=-|A+E],(6分)所以[4+E|=02.设A=diag(1,-3,1)，且满足ABA+BA'=-6E，求B.解A=-30，则A可逆两边同时用A右乘等式的两端，得-3AB-3B=-6A,即(A+E)B=2A(3分由A+E=diag(2,-2,2)，则A+E=-8+0，所以A+E可道(+)'-dae+-)故B=2(A+E)-"A= diag(1,3,1).(7分)3.已知向量组α,=(1,0,1)，α,=(3,1,1)，α,=(4,0,3)，β=(8,1,5),(1)。试验证α,α2,α,是R的一个基；(2).求此基到自然基的过渡矩阵；(3).求β在此基上的坐标.(1348100)(13(αα,α,β)=0101010~0101010解(1135001(0-2-1-3-101(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 4．设 AB, 为对立事件, 0 1   P B( ) , 则下列概率值为 1 的是( )．C (A) P A B ( | ) ; (B) P B A ( | ) ; (C) P A B ( | ) ; (D) P AB ( )． 5．设随机变量 X ~ N (1,1) ，概率密度为 f x( ) ，分布函数 F x( ) ，则下列正确的是( )．B (A) P X P X { 0} { 0}  =  ; (B) P X P X { 1} { 1}  =  ; (C) f x f x ( ) = −( ), x R  ; (D) F x F x ( ) = − − 1 ( ), x R  ． 6. 设随机变量 ( X Y, ) 的方差 D X( ) = 4，D Y( ) =1 ，相关系数 0.6  XY = ，则方差 D X Y (3 2 − =) ( ) ．D (A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6． 三、计算与证明(共 3 道小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 7 分，第 3 小题 9 分，满分 22 分) 1.若 A 是 n 阶方阵，且 = T AA E ， A =−1 ，其中为 n 阶单位阵，试证 A E+ = 0 ． 证 因 = T AA E ， A =−1， （2 分） 则 + = + = + = − + = − + ( ) T T T A E A AA A E A A E A E ， （4 分） 所以 A E+ = 0 （6 分） 2. 设 A = − diag(1, 3,1) ，且满足 * * ABA BA E + = −6 ，求 B . 解 A = − 3 0，则 A 可逆. 两边同时用 A 右乘等式的两端，得 − − = − 3 3 6 AB B A，即 ( ) 2 A E B A + = （3 分） 由 A E+ = − diag(2, 2,2) ，则 A E+ = − 8 0 ，所以 A E+ 可逆. 1 1 1 1 ( ) diag( , , ) 2 2 2 − A E + = − 故 1 2( ) diag(1,3,1) − B A E A = + = . （7 分） 3.已知向量组 1 2 3     = = = = ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , 1 0 1 3 1 1 4 0 3 8 1 5 T T T T ⑴．试验证 1 2 3    , , 是 R3 的一个基；⑵．求此基到自然基的过渡矩阵； ⑶．求 在此基上的坐标． 解 1 2 3 1 3 4 8 1 0 0 1 3 4 8 1 0 0 ( , , , 0 1 0 1 0 1 0 ~ 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 5 0 0 1 0 2 1 3 1 0 1         =             − − − −    ） 得 分

0100010100(3分)显然，α,,)~E，所以,αα,线性无关，故α,azα,是R的一个基。6分）(-3 540(α,2,a,)"=0, 又(e,e2,e)=(α,,a,)(a,a,α,)",(1-2-1(-354则此基到自然基的过渡矩阵为」010(1 -2 -1)且 β=αi+α2+α3、所以β在此基上的坐标为1,1,1(9分)得分四、(共1道小题，满分10分)2=0线性方程组x+2y+az=0，与x+2y+2=α-1有公共解，求a之值，并求出公共解+x+ 4y+ a’z= 0,2=0X+x+ 2y+ az= 0(*)解，将两个线性方程组联立，得方程组x+ 4y+ a2= 0,x+2y+ z= a-1若方程组（*）有解，则两个方程组有公共解，且方程组（*）的解是其全部的公共解：（3分）0a- 12a000(A,b)=4α(5分)00 0 (a- 2)(a- 1)0a-盼机1- aa- 1C(1）当α=1时，有R(A)=R(A,b)=2<3，则方程组（+）有无穷多解，即两个方程组有无穷多个公共解，其全部的公共解为方程组（*）的通解(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 1 3 4 8 1 0 0 ~ 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1           − − 1 3 0 4 3 8 4 ~ 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1   −         − − 1 0 0 1 3 5 4 ~ 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 2 1   −         − − ． （3 分） 显然， 1 2 3 ( , , )    E ，所以 1 2 3    , , 线性无关，故 1 2 3    , , 是 R3 的一个基。（6 分） 1 1 2 3 3 5 4 ( , , ) 0 1 0 1 2 1 −   −   =       − −    ，又 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , )( , , )− e e e =       ， 则此基到自然基的过渡矩阵为 3 5 4 0 1 0 1 2 1   −         − − 且  =1+2+3． 所以 在此基上的坐标为 1，1，1 （9 分） 四、(共 1 道小题，满分 10 分) 线性方程组 2 0, 2 0, 4 0, x y z x y az x y a z ìï + + = ï ïï í + + = ï ï ï + + = ïî 与 x y z a + + = - 2 1 有公共解，求 a 之值，并求出公共解． 解 将两个线性方程组联立，得方程组 2 0, 2 0, 4 0, 2 1. x y z x y az x y a z x y z a ìï + + = ï ï ï + + = ï í ï + + = ï ï ï ï + + = - î （*） 若方程组（*）有解，则两个方程组有公共解，且方程组（*）的解是其全部的公共解． （3 分） 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 ( , ) 1 4 0 0 0 ( 2)( 1) 0 1 2 1 1 0 0 1 1 a a A b a a a a a a 骣 骣 珑珑珑珑 鼢鼢鼢鼢鼢 - = 珑珑珑珑 鼢鼢鼢鼢 - - 珑珑珑桫 桫 - - - 鼢鼢鼢 : ． （5 分） ⑴ 当 a = 1 时，有 R R (A) (A,b) 2 3 = = < ，则方程组（*）有无穷多解，即两个方程组有无穷多个公共 解，其全部的公共解为方程组（*）的通解． 得 分

0(A,b) :000x则其基础解系x，取二1.V=01饿1则两个方程组的全部公共解：#k沙(2)当α=2时，有R(A)=R(A,b)=3则方程组（*）有唯一解，即两个方程组有唯一的公共解，此时蛋0。0(A,b):001。美啤物故方程组（*）的解为，即两个方程组的公共解为：(10分)1游秒！粉秒！得分五、（共3道小题，第1小题11分，第2，3小题各7分，满分25分)1.设二维随机变量(X,Y)的密度函数：A,0<x<2,以<x(x.)={0.其他(1）求常数A的值：（2）求边缘概率密度fx(x),J,(y)：（3）X和Y是否独立？解：(1）由厂(x,J)dy=1，得A=1/4(3分)J1/4dy, 0≤x≤2_J x/2, 0≤x≤2(6 分)(2) Jx (μ)= [f(x,y)dy其他-[0, 0,其他[1/4d, -2≤y<0 [(2+)/4, -2≤y<0()=(x,)dx=i1/4d, 0<2(9分)=)(2-y)/4, 0≤y<2其他0,其他0,(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A b 骣 骣 珑珑珑珑珑珑珑珑珑珑珑桫 桫 鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢 : : ， , 0. x z y ìï = - ï í ï = ïî ，取 z = 1 ，则 1, 0. x y ìï = - ï í ï = ïî 则其基础解系 1 0 1 x 骣- ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷÷ ç ÷ ç桫 ÷ ， 则两个方程组的全部公共解： 1 0 1 x y k z 骣 骣 珑鼢 - 珑珑珑 鼢鼢鼢鼢= 珑珑珑桫 桫 鼢鼢鼢 ． ⑵当 a = 2 时，有 R R (A) (A,b) 3 = = 则方程组（*）有唯一解，即两个方程组有唯一的公共解，此时 1 0 0 0 0 1 0 1 ( , ) 0 0 1 1 0 0 0 0 A b 骣ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ç ÷ ç - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç桫 ÷ : 故方程组（*）的解为 0 1 1 x y z 骣 骣 珑珑珑珑 鼢鼢鼢鼢鼢= 珑珑珑桫 桫 鼢鼢鼢 - ，即两个方程组的公共解为： 0 1 1 x y z 骣 骣 珑珑珑珑 鼢鼢鼢鼢鼢= 珑珑珑桫 桫 鼢鼢鼢 - ． （10 分） 五、(共 3 道小题，第 1 小题 11 分，第 2，3 小题各 7 分，满分 25 分) 1. 设二维随机变量 ( , ) X Y 的密度函数： , 0 2, ( , ) 0, A x y x f x y     =   其他 （1）求常数 A 的值；（2）求边缘概率密度 ( ), ( ) X Y f x f y ； （3） X 和 Y 是否独立? 解:（1）由 f x y dy ( , ) 1 + − =  ，得 A =1/ 4 (3 分) (2) ( ) ( , ) X f x f x y dy + − =  1/ 4 , 0 2 0, x x dy x −     =    其他 / 2, 0 2 0,  x x   =   其他 (6 分) ( ) ( , ) Y f y f x y dx + − =  2 2 1/ 4 , 2 0 1/ 4 , 0 2 0, y y dx y dx y −  −     =         其他 ( ) ( ) 2 / 4, 2 0 2 / 4, 0 2 0, y y y y  + −    =  −     其他 (9 分) 得 分

(3) Jx(x)fr(u)f(x,J),不独立(11 分)2.设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为：[1, 0<y<1,0-620-6fx(x)=10，其他,求随机变量Z=X+Y的概率密度解：由于随机变量X与Y相互独立,所以Z=X+Y的密度函数为(2 分)fz(=)=f fx(x)f(z-x)dx.edy, 0<z<1[1-e",0<z<1=edy, 221=fel-e, =21(7分)0z≤010,Z≤0[e,2而,是来自总体的简单随机样本，3. 设总体X的概率密度为 f(x)=0x<0,知参数Q的矩估计量.解：因为只有一个未知参数，所以只要求总体一阶矩即可：EX=J, xe-(x-0)dx=0+1故0=EX-1=μ-1(4分)而儿=所以=X-1(7分)得分六、计算题(共1道小题，满分7分)采用尾容积测压法测得大白鼠的血压(kpa)如下：15.6,16.9,18.8,14.3,14.7,15.2,15.3,17.1,16.9,16.3试求大白鼠血压总体均值95%的置信区间。解：同样本数据算得X= 16.11,s* =1.834, s =1.354又已知n=10，α=0.05，查分布表得临界值to.02s(9)=2.262则大白鼠血压总体均值95%的置信区间为x±f,(n-1)=16.11±0.97(4分)即大白鼠血压总体均值95%的置信区间(15.14,17.08)(7分)(共6页第顶)

(共 6 页 第5页) (3) ( ) ( ) ( , ) X Y f x f y f x y  ，不独立 (11 分) 2. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,概率密度分别为: , 0 ( ) 0, 0 x X e x f x x −   =    , 1, 0 1, ( ) 0, Y y f y    =   其他, 求随机变量 Z X Y = + 的概率密度． 解: 由于随机变量 X 与 Y 相互独立,所以 Z X Y = + 的密度函数为 f z f x f z x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) + − = −  (2 分) 0 1 , 0 1 , 1 0, 0 z x z x z e dy z e dy z z − − −      =         1 1 , 0 1 , 1 0, 0 z z z e z e e z z − − −  −    = −      (7 分) 3.设总体 X 的概率密度为 ( ) , , ( ) 0, , x e x f x x    − −   =    而 1 2 , , , X X X n 是来自总体 X 的简单随机样本，求未 知参数  的矩估计量. 解：因为只有一个未知参数，所以只要求总体一阶矩即可： ( ) 1 x EX xe dx    + − − = = +  故   = − = − EX 1 1, （4 分） 而 1 1 n i i X X n  = = =  所以  = − X 1 (7 分) 六、计算题(共 1 道小题，满分 7 分) 采用尾容积测压法测得大白鼠的血压(kpa)如下：15.6,16.9,18.8,14.3,14.7,15.2,15.3,17.1,16.9,16.3 试求大白鼠血压总体均值 95%的置信区间. 解：同样本数据算得 2 x s s = = = 16.11, 1.834, 1.354 又已知 n =10， = 0.05 ，查分布表得临界值 0.025 t (9) 2.262 = 则大白鼠血压总体均值 95%的置信区间为 2 ( 1) 16.11 0.97 s x t n n  − =   （4 分） 即大白鼠血压总体均值 95%的置信区间 (15.14,17.08) . (7 分) 得 分