吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）高等数学AI2015-2016（答案）

2015-2016学年第一学期《高等数学AI》答案2016年1月13日四五总分三得分一、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.设函数(x),g(x)在点x=0 的某邻域内连续,且当x→0时,f(x)是g(μ)的高阶无穷小,则当x-→0时，J。f()sintdt是J。g(t)tdt 的（B），(A）低阶无穷小(B)高阶无穷小（C）同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小x" sin-, x>0,2. 设函数f(x)=在x=0处有连续的一阶导数，则（D）x≤0[0,(B) α>1(C) α≥2(A) α>0(D) α>2x2-3.曲线y:有（A-2x-(A）一条水平渐近线，一条铅直渐近线(B)一条水平渐近线,两条铅直渐近(C）两条水平渐近线，一条铅直渐近线(D）没有水平渐近线,两条铅直渐近线4.设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0,1]上（D）(A)当F(x)≥0时，(x)≥g(x)(B)当f(x)≥0时，f(n)≤g(x)(C)当 F"(x)≥0时, f(x)≥g(n)(D)当 F"(x)≥0时, F(x)≤g()5.如图，连续函数y=f()在区间[-3,-2]、[2,3]上的图形分别是直径为1的上、(共6页第1页)

(共 6 页 第1页) 2015– 2016 学年第一学期《高等数学 AI》答案 2016 年 1 月 13 日 一 二 三 四 五 总分 一、选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．设函数 f x( ), g x( ) 在点 x = 0 的某邻域内连续,且当 x →0 时, f x( ) 是 g x( ) 的 高阶无穷小,则当 x →0 时, ( ) 0 sin d x f t t t  是 ( ) 0 d x g t t t  的（ B ）. (A) 低阶无穷小 (B)高阶无穷小 (C) 同阶但不等价无穷小 (D)等价无穷小 2．设函数 1 sin , 0, ( ) 0, 0 x x f x x x     =     在 x = 0 处有连续的一阶导数，则（ D ）. (A)   0 (B)  1 (C)   2 (D)   2 3．曲线 2 2 1 2 3 x y x x − = − − 有（ A ）. (A)一条水平渐近线,一条铅直渐近线 (B)一条水平渐近线,两条铅直渐近 (C) 两条水平渐近线,一条铅直渐近线 (D) 没有水平渐近线,两条铅直渐近线 4．设函数 f x( ) 具有二阶导数， g x f x f x ( ) (0)(1 ) (1) = − + ，则在区间 [0,1] 上（ D ）. (A)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (B)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (C)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  (D)当 f x ( ) 0  时， f x g x ( ) ( )  5．如图，连续函数 y f x = ( ) 在区间 [ 3, 2] − − 、[2,3] 上的图形分别是直径为 1 的上、 得 分

下半圆周，在区间[-2,0]、[0,2]上图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=,f(t)d则下列结论正确的是(℃)(A) F(3)=-F(-2)(B) F(3)=F(2)(D) F(-3) =-F(-2)(C) F(-3)=F(2)6.设lima,=a,且a+0,则当n充分大时有（A）Ja(B a /(c) a,>a-(D)a,<a+-n得分二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分），1.若曲线y=x+ax+bx+1上有拐点(-1,0)，则b=2. lim(1+3x)=3.曲线tan(x+y)=e’在点(0,0)处的切线方程为4. 设f(x)=sin x,则(m(α)-_2 sin(2x+5. TCT+xdx=一1+#6. 设F(x)=,cost'dt,则 F(1)=—-2cos1(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 下半圆周，在区间 [ 2,0] − 、 [0, 2] 上图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ， 则下列结论正确的是( C ). 3 2 1 O 1 2 3 x 1 1 y （A） 3 (3) ( 2) 4 F F = − − （B） 5 (3) (2) 4 F F = （C） 3 ( 3) (2) 4 F F − = （D） 5 ( 3) ( 2) 4 F F − = − − 6. 设 lim , n a a = 且 a  0, 则当 n 充分大时有（A ）. （A） 2 n a a  （B） 2 n a a  （C） 1 n a a n  − （D） 1 n a a n  + 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1．若曲线 3 2 y x ax bx = + + +1 上有拐点 ( 1,0) − ,则 b = _3_ . 2． 2 sin 0 lim(1 3 ) x x x → + =_ e 6 _. 3．曲线 tan( ) e 4 y x y  + + = 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=-2x . 4．设 2 f x x ( ) sin = ,则 ( ) ( ) f x n = _ -1 1 2 sin(2 ) 2 n n x  − + _. 5． 1 2 1 1 sin d 1 x x x − x   +   +   +  = 1 2  + . 6．设 ( ) cos d 2 0 2 x F x t t =  ,则 F(1) = _-2cos1_. 得 分

得分解答题（共6道题，每小题8分，满分48分）。1+31.求lim1-0+?-l+e-1+xlimli-elim(1-e-*)x1+2x-e-x-1+6AO2xx2+e_3lm22[ x= In(1+),d1所确定的函数，求兴，2.已知 y=(x)是由参数方程dx'dx?ly=t-arctant*--11-.2_11+E2t21"2dr1+r()11+rdr4tE1+73．计算不定积分「edx解令x=t,x=,dx=3t'dJedx=Je -3Pdt=3Jrde = 3e'-6je' idt=3e't'-6[ tde'=3e'f -6te' +6[e'dt=3e'? -6te' +6e' +C=3e派/x2-6/xe派+6e派+C(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 三、 解答题（共 6 道题，每小题 8 分，满分 48 分）. 1. 求 0 1 1 lim 1 e x x x x → −   +   −   − . 2 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1 lim lim 1 (1 ) 1 1 2 lim lim 2 2 3 lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x x e e x e x x x e x e x x e − → → − − − − → → − →   + + − +   − =   − − + − + + − = = + = = 2．已知 y = y(x) 是由参数方程 2 ln(1 ), arctan x t y t t  = +   = − 所确定的函数，求 d d y x ， 2 2 d d y x . 2 2 2 2 2 2 2 d 1 1 d d 1 d 2 2 d 2 d 1 d d 1 ( ) d 1 d d 2 d 4 d 2 d 1 y y t t t t x t x t t t y y t t x x t x t t t − + = = = = + + = = = + 3．计算不定积分 e dx x  . 解 令 3 2 , ,d 3 d 3 x t x t x t t = = = 3 3 3 3 2 2 3 2 3 e d e 3 d 3 de 3e 6 e d 3e 6 de 3e 6 e 6 e d 3e 6 e 6e 3e 6 e 6e x t t t 2 t t 2 t t 2 t t t 2 t t x x x x t t t t t t t t t t t t t C x x C =  = = −  = − = − + = − + + = − + +       得 分

[+, x0.由单调有界准则知limx存在.记为A递推公式两边取极限得A=sinA，A=C() 原式=n(r),为*" 型,x(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 4. 设 1, 0, ( ) , 0. x x f x x x  +  =    求 1 ( ) ( )d x F x f t t − =  在 [ 1,1] − 上的表达式. 2 -1 2 2 2 0 -1 0 -1 0 ( ) ( 1)d ( 1) 2 -1 +2 +1 ( 1) 2 2 1 0 1 ( ) ( 1)d d 2 2 x x t x x F x t t x x x x x x F x t t t t   = + = + + + = =   = + + = +    时， 时， 5．计算定积分 2 3 2 cos cos d . x x x   − −  2 2 3 2 2 2 2 0 0 3 2 cos cos d cos sin d 2 cos sin d 2 cos d(cos ) 4 4 (cos ) 2 3 3 0 x x x x x x x x x x x x        − − − = = = − = − =     6. 设数列 xn 满足： 1 1 0 , sin ( 1,2, ). n n   = = x x x n  + (1)证明 lim n n x → 存在,并求此极限值. (2)计算 2 1 1 lim n x n n n x x + →       . 解 由于 0  x  时， 0 sin  x x ，于是 1 0 sin n n n x x x  =  + ,说明数列 xn 单 调减少且 0 n x  . 由单调有界准则知 lim n n x → 存在.记为 A . 递推公式两边取极限得 A A A =  = sin , 0 (II) 原式 2 1 sin lim( ) n x n n n x → x = ，为“ 1  ”型

sint因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑imlim2/.s.(rcos-sine）emmem-cossin x)=lim((sinx-e:lim()=lim所以xaXXa得分四、（本题满分10分）：[0(x)-cosx+00其中p(x)具有二阶连续导数，(0)=1.设f(x)=)a,x=0,(1)求a的值,使(x)在x=0连续；(2)已知f(x)在x=0连续，求f(x)并讨论f(x)在x=0的连续性p(x)-cos)解(1) lim/(x)=linlim(p'(x)+sin x)=p(0)故当α=p(0)时f(x)在x=0处连续.(2) *0时()=()+sin[()-1x=0时(x)-cosx -0(0)f(x)-f(0)f(0)= lix= lim (x)-cos x-xp(0) m 9'(x)+sin x-0(0)2xp"(x)+cosx_,[β(0) +1]-lim[0(x)+sinx]-[o(x)-cosx]lim J(x)= lim 0()+0s[(0(0)+1= (0)=lin2x(共6页第页)

(共 6 页 第5页) 因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑 2 1 0 sin lim( )t t t → t 2 1 0 sin lim( )t t t → t 2 0 1 sin lim ln( ) t t t t e → = 2 0 1 1 ( cos sin ) lim t 2 sin t t t t t t t e → − = 3 0 cos sin lim t 2 t t t t e → − = 2 0 0 cos sin cos sin lim lim t 6 6 t t t t t t t t e e → → − − − = = 1 6 e − = 所以 2 2 2 1 1 1 1 0 1 6 sin sin lim( ) lim( ) lim( ) n n x x n n x n n x n n x x x x x x e + → → → − = = = 四、 （本题满分 10 分）. 设 ( ) cos , 0, ( ) , 0, x x x f x x a x  −   =    = 其中 ( ) x 具有二阶连续导数,(0) 1 = . (1) 求 a 的值,使 f x( ) 在 x = 0 连续; (2) 已知 f x( ) 在 x = 0 连续,求 f x ( ) 并讨论 f x ( ) 在 x = 0 的连续性. 解 (1) 0 0 0 ( ) cos lim ( ) lim lim( '( ) sin ) '(0) x x x x x f x x x x    → → → − = = + = 故当 a =  '(0) 时 f x( ) 在 x = 0 处连续. (2) x  0 时 2 [ '( ) sin ] [ ( ) cos ] '( ) x x x x x f x x   + − − = x = 0 时 0 0 2 0 0 0 ( ) cos '(0) ( ) (0) '(0) lim lim ( ) cos '(0) '( ) sin '(0) lim lim 2 ''( ) cos 1 lim [ ''(0) 1] 2 2 x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x         → → → → → − − − = = − − + − = = + = = + 2 0 0 0 [ '( ) sin ] [ ( ) cos ] lim '( ) lim [ ''( ) cos ] 1 lim [ ''(0) 1] '(0) 2 2 x x x x x x x x f x x x x x f x     → → → + − − = + = = + = 得 分

J(x)在x=0的连续得分五、（本题满分6分）已知f(x)连续，且当x≥0时，恒有F(x)>0，证明当0[b]°f(dt-aff(d1]解令 F(x)=I"tf(t)dt-(xf" f(0)dr-af。f()d),F(a)=0.F(x)=xf()-- (0)dt-()=(x(x)-J. f(0)dl)(x)d-(di()-()d由了(x)>0知函数f(x)单调递增,当x>t有,f(x)-f()>0，有F(x)>0函数 F(x)单调递增,当0F(a)=0F(b)=I"f()dt-b]()dt-f,(d)0即J'r(od >b]' r(od-af (oa)(共6页第6页)

(共 6 页 第6页) f x'( ) 在 x = 0 的连续. 五、（本题满分 6 分）已知 f x ( ) 连续,且当 x  0 时，恒有 f x ( ) 0  ， 证明当 0  a b 时， 0 0 1 ( )d [ ( )d ( )d ]. 2 b b a a tf t t b f t t a f t t  −    解 令 0 0 1 ( ) ( )d [ ( )d ( )d ], ( ) 0. 2 x x a a F x tf t t x f t t a f t t F a = − − =    0 0 0 0 0 1 1 1 '( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] 2 2 2 1 1 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( )] . 2 2 x x x x x F x xf x f t dt xf x xf x f t dt f x dt f t dt f x f t dt = − − = − = − = −      由 f x'( ) 0  知函数 f x( ) 单调递增 , 当 x t  有 , f x f t ( ) ( ) 0 −  , 有 F x'( ) 0  函数 F x( ) 单调递增, 当 0  a b 时, F b F a ( ) ( ) 0  = 0 0 1 ( ) ( )d [ ( )d ( )d ] 0. 2 b b a a F b tf t t b f t t a f t t = − −     即 0 0 1 ( )d [ ( )d ( )d ]. 2 b b a a tf t t b f t t a f t t  −    得 分