吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2014级医用数学A1（答案）

2014一2015学年第一学期《医科数学AI》试卷2014年12月30日四五六总分得分、填空题(共6道小题，每小题3分，满分18分)(1+sin2x)x0,为连续函数，则常数α=1. f(x)=x=0a2.设y=f(x)，(0)=0,F(0)=1,则limx()3.曲线y=f(x)过点(0,1)且其上任一点(x,y)处切线斜率为xsinx，则f(x)=cosx+4f(x) =4.定积分「(xcosx+4-x)dx2元5.函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极大值点为-126.幂级数>的收敛半径R==12″得分二、选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1.若点(xo,J(xo))为曲线y=f(x)的拐点，则（C)（A).必有f"(x）存在，且等于零：（B）.必有f"（x）存在，但不等于零：(C).若"(xo）存在，则必等于零：（D)。若了"(xo）存在，则必不等于零2. xe"dx=（A(共6页第1页)

(共 6 页 第1 页) 2014—2015 学年第一学期《医科数学 AⅠ》试卷 2014 年 12 月 30 日 一 二 三 四 五 六 总 分 一、填空题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1． 3 (1 sin 2 ) , 0, ( ) , 0 x x x f x a x   +  =   = 为连续函数，则常数 a = ． 6 e 2．设 y f x = ( ) ， f (0) 0 = ， f (0) 1 = ，则 2 lim ( ) x xf → x = ．2 3．曲线 y f x = ( ) 过点 (0,1) 且其上任一点 ( , ) x y 处切线斜率为 2 3 x x sin ，则 f x( ) = ． 1 4 3 ( ) = cos 3 3 f x x − + 4．定积分 2 3 2 2 ( cos 4 )d x x x x − + − =  ．2 5．函数 3 2 f x x x x ( ) 3 9 5 = − − + 的极大值点为 _．−1 6．幂级数 2 1 1 2 n n n x  − =  的收敛半径 R = _． 2 二、选择题(共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分) 1．若点( x 0 , ( ) 0 f x )为曲线 y = f ( x )的拐点，则 ( C )． （A）．必有 ( ) 0 f  x 存在，且等于零； （B）．必有 ( ) 0 f  x 存在，但不等于零； （C）．若 ( ) 0 f  x 存在，则必等于零； （D）．若 ( ) 0 f  x 存在，则必不等于零． 2． 1 2 0 d x x e x + − =  （ A ）． 得 分 得 分

(A).;(B). 3V/元,(C). (D) N元.3.由曲线y=lnx，与直线x=0和y=1围成平面图形绕y轴旋转，所得旋转体体积为（B）.(A).;(B),(e-1);(C): e2-1;(D)。 (e~ -1).4.级数之曾严的敏敏性是（B）.n（A).条件收敛；(D)。不能确定。(B)。绝对收敛；(C).发散；5.由方程F(x,J,=)=0确定=是x，的函数，F是可微函数，则%(D).(A).F(B).-5(C)F:(D). -F'6.曲项柱体的顶为连续曲面≥=f(x,J)，底为有界闭区域D，则曲项柱体的体积为（C）(A). (xddy:(B)J(x)ddy:(), ()]ddy:(D)(x)d得分三、计算下列各题（共5道小题，每小题各6分，满分 30分)1. 设(x)=J。sint’dt,g(t)=J。(+cos1)dt,当x→0时,试比较无穷小量f()与g(x)的阶I, sint'dt2xsin x4lim Z(a) _(2分)0x+x.cosxx-0 g(x)T'(f + cost)dtsinxt(4分)=21i0 x4 X01+coSx所以无穷小量f(x)与g(x)是等价无穷小量.(6分)(共6页第2页)

(共 6 页 第2 页) （A）． 2  ； （B）． 3 4  ； （C）． 4  ； （D）．  ． 3．由曲线 y x = ln ，与直线 x = 0 和 y = 1 围成平面图形绕 y 轴旋转，所得旋转体体积为( B ). (A)． 2 1 2 e − ； (B)． 2 ( 1) 2 e  − ； (C)． 2 e −1 ； (D)． 2  ( 1) e − . 4．级数   =1 4 sin n n na 的敛散性是（ B ）． （A）．条件收敛； （B）．绝对收敛； （C）．发散； （D）．不能确定． 5．由方程 F x y z ( , , ) 0 = 确定 z 是 x，y 的函数，F 是可微函数，则 z x  =  （ D ）． （A）． x y F F   ； （B）． x y F F  −  ； （C）． x z F F   ； （D）． x z F F  −  ． 6．曲顶柱体的顶为连续曲面 z f x y = ( , ) ，底为有界闭区域 D，则曲顶柱体的体积为（ C ）． （A）． ( , )d d D f x y x y  ；（B）． ( , )d d D − f x y x y  ；（C）． ( , ) d d D f x y x y  ；（D）． ( , )d d D f x y x y  . 三、计算下列各题 (共 5 道小题，每小题各 6 分，满分 30 分) 1．设 2 2 0 ( ) sin d x f x t t =  ， 5 5 0 ( ) ( cos )d x g x t t t t = +  ，当 x →0 时，试比较无穷小量 f x( ) 与 g x( ) 的阶． 解 2 2 4 0 5 5 0 0 0 5 5 0 sin d ( ) 2 sin lim lim lim ( ) cos ( cos )d x x x x x t t f x x x g x x x x t t t t → → → = = + +   (2 分) 4 4 0 0 sin 1 2lim lim 1 1 cos x x x → → x x = = + (4 分) 所以 无穷小量 f x( ) 与 g x( ) 是等价无穷小量． (6 分) 得 分

2.求积分J(4-x3)解设x=2sint，则dx=2costdt，于是r2d 2 an d(3分)J"(2cost)3(4-x2)3=J(sec° t-1) d = tant-1+Carcsin三+C(6 分)4-x23.若广号·求e解设e-i=t，则x=ln(1+)，dx=d,x=a时，t=Ve-1：x=2ln2时，1=V5，于是-=2d(3 分)= 2arctan /f-2arctan Ve-1=所以arctan Ve-1-，即a=ln2.(6 分)4.求积分[-do，其中D=[0,1;0,2]D[0≤x≤1 了0≤x≤1解积分区域如图，D(rsys2和fosys.J-xdo= af,-)dy+J daf (-dy(3分)=-x[d+'y- d=J (2-2x +→+)dx+J。 号dx =f" (2-2x*+x)dx-[2-+l-(6分)(共6页第3页)

(共 6 页 第3 页) 2．求积分 2 2 3 d (4 ) x x − x  ． 解 设 x t = 2sin ，则 d 2cos d x t t = ，于是 2 2 3 d (4 ) x x − x  2 2 3 4sin 2cos d tan d (2cos ) t t t t t t = =   (3 分) 2 = − = − + (sec 1) d tan t t t t C  2 arcsin 4 2 x x C x = − + − (6 分) 3.若 2ln 2 1 d a x 1 6 x e  = −  ，求 a ． 解 设 1 x e t − = ，则 2 x t = + ln(1 )， 2 2 d d 1 t x t t = + ， x a = 时， 1 a t e = − ； x = 2ln 2 时， t = 3 ，于是 2ln 2 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 d d 2 d 1 1 1 a a a e e x t x t t e t t t − − =  = − + +    (3 分) 3 1 2arctan a e t − = 2 2arctan 1 3 6 a e   = − − = 所以 arctan 1 4 a e  − = ，即 a = ln 2 ． (6 分) 4．求积分 2 d D y x −   ，其中 D = [0,1;0,2]． 解 积分区域如图， 2 0 1 2 x D x y        和 2 0 1 0 x y x        ，则 2 d D y x −   2 2 1 2 1 2 2 0 0 0 d ( )d d ( )d x x = − + − x y x y x x y y     (3 分) 2 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 ( ) d ( ) d 2 2 x x = − + − y x y x x y y x   1 1 2 4 4 0 0 1 1 (2 2 )d d 2 2 = − + + x x x x x   1 2 4 0 = − + (2 2 )d x x x  1 3 5 0 2 1 23 [2 ] 3 5 15 = − + = x x x (6 分)

5.求积分[V+ydxdy，其中D是由曲线产+y=2y围成的区域，[0≤0≤元解积分区域为D0≤≤2sino°于是J+ydxdy=Jdoforrdr（4分）sin(cosdo-o -o0-(6分）G得分四、(共2道小题，每小题6分，满分 12分)0z1.设z=(x+,e)，其中了具有连续偏导数，试证y=0axay解-+x-20+(2分)- (+ c-2+（4分）则y%-+%=y.2x(f+ef)-x:2++et+f)=0(6分)axay2.设z+lnz-J"e-"dt=0,求dz.解方程两边关于x求导(2分)%+%+=，%-方程两边关于y求导(4分）ayt=ayoy+1+(6分)axo得分五、(共1道小题，满分8分)(共6页第4页)

(共 6 页 第4 页) 5．求积分 2 2 d d D x y x y +  ，其中 D 是由曲线 2 2 x y y + = 2 围成的区域． 解 积分区域为 0 0 2sin D r           ，于是 2sin 2 2 0 0 d d d d D x y x y r r r   + =      （4 分） 3 0 1 8sin d 3  =    2 0 8 (cos 1)dcos 3  = −    3 0 8 1 32 ( cos cos ) 3 3 9  = − =   （6 分） 四、 (共 2 道小题，每小题 6 分，满分 12 分) 1．设 2 2 2 2 ( , ) x y z f x y e + = + ，其中 f 具有连续偏导数，试证 0 z z y x x y   − =   . 解 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) z x y x y f x f e x x f e f x  + + =  +  = +      ， （2 分） 2 2 2 2 1 2 1 2 (2 ) 2 2 ( ) z x y x y f y f e y y f e f y  + + =  +  = +      （4 分） 则 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 ( ) 0 z z x y x y y x y x f e f x y f e f x y   + + − =  + −  + =       （6 分） 2．设 2 ln d 0 x t y z z e t − + − =  ，求 dz . 解 方程两边关于 x 求导 1 2 0 z z x e x z x   − + − =   ，即 2 1 z z x e x z  − =  + ； （2 分） 方程两边关于 y 求导 1 2 0 z z y e y z y   − + + =   ，即 2 1 z z y e y z  − = −  + ． （4 分） 所以 2 2 d d d ( d d ) 1 z z z x y z = x y e x e y x y z   − − + = −   + ． （6 分） 五、(共 1 道小题，满分 8 分) 得 分 得 分

求方程y"-y=e满足初始条件y==e，==2e的特解.解令y=P，则y=，于是dx-P=e(2分）dx-dP_P=0,=dx, nP=+nc.对应齐次方程pdx对应齐次方程通解P=C,er令非齐次方程通解P=C(x)e，则C(x)e'=e，C(a)=1，C(x)=x+C非齐次方程通解P=(x+C)e将Pl====2e，代入上式C,=1P=(x+D)et,即=(x+1)e*,(6分)y=J(x+1)e'dx+C,=xe*+C,将以-=e，代入上式C,=0所求特解为：y=xet(8分）得分六、应用题(共2道小题，每小题7分，满分14分)1. 将[(a)=tn告+arcanx展成关于x的级数41-x解 (x)=(ln1+x(2分）G+arcan=(+因为六？-， xe(-1),所以-Z+", xe(-1,1)。f(0)=0(4分)- d---4n+1(共6页第5页)

(共 6 页 第5 页) 求方程 x y y e   − = 满足初始条件 x 1 y e = = ， 1 2 x y e =  = 的特解． 解 令 y P  = ，则 dP d y x  = ，于是 dP d x P e x − = （2 分） 对应齐次方程 dP 0 d P x − = ， dP dx P = ， 1 ln ln P x C = + 对应齐次方程通解 1 x P C e = 令非齐次方程通解 1 ( ) x P C x e = ，则 1 ( ) x x C x e e  = ， 1 C x ( ) 1 = ， 1 1 C x x C ( ) = + 非齐次方程通解 1 ( ) x P x C e = + 将 1 1 2 P y e x x = = = =  ，代入上式 1 C =1 ( 1) x P x e = + ，即 d ( 1) d y x x e x = + ， （6 分） 2 2 ( 1) dx x y x e x C xe C = + + = +  ， 将 x 1 y e = = ，代入上式 2 C = 0 所求特解为： x y xe = （8 分） 六、 应用题 (共 2 道小题，每小题 7 分，满分 14 分) 1．将 1 1 1 ( ) ln arctan 4 1 2 x f x x x + = + − 展成关于 x 的幂级数 解 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ln arctan ) 4 1 2 2 1 1 1 x f x x x x x x +     = + = + =   − − + −   （2 分） 因为 0 1 1 n n x x  = = −  ， x −( 1,1) ，所以 4 4 0 1 1 n n x x  = = −  ， x −( 1,1) 。 f (0) 0 = （4 分） 则 4 1 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( )d (0) d d d 1 4 1 n x x x x n n n n n x f x f x x f x x x x x x n    + = = = = + = = = =  − +        ， 得 分

X4nD由于(±1)无意义（或x=±1，级数发散）=0 4n+1= 4n+1Fy4n+l所以f(x)=)(7分)xe(-1,1)。4n+12．某药片刚制成时，每片含有效成份400单位，两个月后测得有效成份为380单位。已知药片的分解速率与当时药片含有效成份成正比，若药片中有效成份的含量低于300单位时，药片无效，求药片的有效期为多少个月？解：设1个月药片中有效成份的含量为：J=N(0)(dy=-kydi由题意：l。=400(3分) =380=kd，两边积分：Iny=-k+IhC，所以y=Ce由已知以。=400，以==380将其代入上式，有400=Ce°=C，380=Ce-2k，得C=400，k=ln /20/19所以1个月药物含量y=400e-"，（k=ln/20/19），(5分)4=21n4/1m20令300=400e-k，则1=（个月）19所以此药片有效期为2n /10 个月,(7分）(共6页 第6页)

(共 6 页 第6 页) 由于 f ( 1)  无意义（或 x =1 ，级数 4 1 0 0 1 4 1 4 1 n n n x n n   + = = = + +   发散） 所以 4 1 0 ( ) 4 1 n n x f x n  + = = +  ， x −( 1,1)。 （7 分） 2．某药片刚制成时，每片含有效成份 400 单位，两个月后测得有效成份为 380 单位．已知药片 的分解速率与当时药片含有效成份成正比，若药片中有效成份的含量低于 300 单位时，药片无效， 求药片的有效期为多少个月？ 解：设 t 个月药片中有效成份的含量为： y N t = ( ) 由题意： 0 2 d d 400 380 t t y ky t y y = =  = −    =  =   ， （3 分） d d y k t y = − ，两边积分： ln ln y kt C = − + ，所以 kt y Ce− = 由已知 0 400 t y = = ， 2 380 t y = = 将其代入上式， 有 0 400 = = Ce C ， 2 380 k Ce− = ，得 C = 400， k = ln 20 /19 所以 t 个月药物含量 400 , ( ln 20 /19) kt y e k − = = ， （5 分） 令 300 400 kt e − = ，则 1 4 4 20 ln 2ln / ln 3 3 19 t k = = （个月） 所以此药片有效期为 4 20 2ln / ln 3 19 个月． （7 分）