吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2014级医用数学BI试题（答案）

2014-2015学年第一学期《医用数学BI》试卷2014年12月30日总分得分一、填空题（共5道小题，每小题3分，满分15分)[1.极限 limarctan x_0.2.设/x=/2三h，期安-3.曲线y=ax*+bx有拐点(13),则a=-号4.设(c)存在，则m)-1(+Am)=-f(x)Ax5. L xe' cos xdx =0.6.过XOY平面外一点P(a,b,c)作垂直于XOY的垂线,则垂足的坐标为(a,b,0)得分二、选择题（共5道小题，每小题3分，满分15分）[tan2xx+0，当a为何值时，F(x)在x=0处连续(B)1.设 f(x)=x=0(A) 1;(B) 2;(C) 0,(D)-4.2.函数y=x+1在x=0处满足条件（A）(A)连续但不可导；(B)可导但不连续；(C)不连续也不可导；(D)既连续又可导.3.设 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d),且 f(k)=(c-a)(c-b)(c-d),则k=(C)(A)a;(B)b;(C)c;(D)d.(共6页第1页)

(共 6 页 第1页) 2014-2015 学年第一学期《医用数学 BI》试卷 2014 年 12 月 30 日 一 二 三 四 五 总分 一、填空题(共 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分) 1.极限 arctan lim x x → x = 0. 2.设 2 ln x t y t  =   = ,则 1 3 dy dx t = . 3.曲线 3 2 y ax bx = + 有拐点 (1,3),则 a = 3 2 − 4.设 0 f x ( ) 存在，则 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x f x x  → x − +  =  0 − f x ( ) . 5. 2 2 2 cos d x xe x x − =  0. 6.过 XOY 平面外一点 P a b c ( , , ) 作垂直于 XOY 的垂线,则垂足的坐标为 ( , ,0) a b . 二、选择题(共 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分) 1.设 tan 2 0 ( ) 0 x x f x x a x    =    = ，当 a 为何值时, f x( ) 在 x = 0 处连续( B ). (A) 1; (B) 2; (C) 0; (D) −4 . 2.函数 y x = + | | 1 在 x = 0 处满足条件( A ). (A)连续但不可导; (B)可导但不连续; (C)不连续也不可导; (D)既连续又可导. 3.设 f x x a x b x c x d ( ) ( )( )( )( ) = − − − − ,且 f k c a c b c d ( ) ( )( )( ) = − − − ,则 k = (C). (A) a ; (B) b ; (C) c ; (D) d . 得 分 得 分

4设()=ix，则x=0是(A)(A)可去间断点；(B)无穷间断点；(C)振荡间断点；(D)跳跃间断点5.x→0时，下列各式中无穷小量的是（C）.1(c) -cos x.(A)+cosx.(B) Sin:xxx26.向量a=(1,-1,k)与b=[2,-2,-1)相互重直,则k=(C)(A)3;(B)-1;(C)4;(D)2.三、计算题(共6道小题，每小题6分，满分36分)得分1.设方程y-xe'=1确定函数y=(x),求f(0)解由题y'-e-xe"y'=0e则y(3 分)1-xey则 f(0)=e(6分)mcosmx2. lim Insi mxX =limsinmx(3分)0 Insin nxT-0ncosnxsin nxm sinnx=1(6分)o n sin mx3.求积分『解:设t=Vx,x=f,dx=2idtJdx=2 ie'dl =-2[ ide (3 分)=-2te'" +2Je'dt(共6页第2页)

(共 6 页 第2页) 4.设 sin ( ) x f x x = ，则 x = 0 是( A ). (A)可去间断点; (B)无穷间断点; (C)振荡间断点; (D) 跳跃间断点. 5. x →0 时，下列各式中无穷小量的是( C ). (A) x x cos x + ; (B) sin x x ; (C) 1 2 1 cos x x − ; (D) 1 2 1 x − . 6.向量 a k = − {1, 1, } 与 b = − − {2, 2, 1} 相互重直,则 k = ( C ) (A) 3 ; (B) −1 ; (C) 4 ; (D) 2 . 三、计算题(共 6 道小题，每小题 6 分，满分 36 分) 1．设方程 1 y y xe − = 确定函数 y f x = ( ) ,求 f (0) . 解:由题 0 y y y e xe y   − − = 则 1 y y e y xe = − (3 分) 则 f e (0) = (6 分) 2． 0 ln sin lim x ln sin mx → nx 0 cos sin lim cos sin x m mx mx n nx nx → = (3 分) 0 sin lim 1 x sin m nx → n mx = = (6 分) 3．求积分 1 d x x e  解:设 2 t x x t dx tdt = = = , , 2 1 d 2 t x x te dt e − =   2 t tde− = −  (3 分) 2 2 t t te e dt − − = − +  得 分

=-2te'-2e" +c=-2Vxe-F-2e- +c (6分)Vx-94.求积分『解设x=3sect,dx=3secttan[/- dx= 3tan secr anidl 3 tan d (3 )xJ3sect=3J(sec* t-1)dt = 3 tant-31+c=3 (sect-1)dt =3tant-31 +c=x2-9-3arccos=+c（6分)5. 积分 J x(nx-1 drdx= In(lnx-1), (3 分)Je x(ln x-1)=In2(6 分)6. 计.积分 (一-g -d：Tag-ha+a-e（3分）2a- (-1 +(共6页第3页)

(共 6 页 第3页) 2 2 t t te e c − − = − − + 2 2 x x xe e c − − = − − + (6 分) 4．求积分 2 9 d x x x −  解:设 x t dx t tdt = = 3sec , 3sec tan , 2 9 3tan 2 d 3sec tan 3 tan 3sec x t x t tdt tdt x t − = =    (3 分) 2 = − = − + 3 (sec 1) 3tan 3 t dt t t c  2 = − = − + 3 (sec 1) 3tan 3 t dt t t c  2 3 x c 9 3arccos x = − − + (6 分) 5. 求积分 3 2 1 d (ln 1) e e x x x −  3 3 2 2 1 d ln(ln 1) (ln 1) e e e e x x x x = − −  (3 分) = ln 2 (6 分) 6. 计算积分 2 2 0 1 d (1 ) x − x  解： 2 2 0 1 (1 ) dx − x  1 2 2 2 0 1 1 1 (1 ) (1 ) dx dx x x = + − −   (3 分) 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 lim lim | (1 ) (1 ) 1 dx dx x x x     + + − − → → = = − − −   0 1 lim 1   → +   = − = +    

-dx发散，所以「dx发散。(6分)故-xJo (1-x)2得分四、解答题（共2 道小题，每小题7分，满分14分)一平行四边形以向量 a =(2,1,-1)和 b=(1,一2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦解：两对角线向量为l=a+b=3i-j，,=a-b=i+3j-2k(3分)因为|4×,2i+6j+10k/=/140,(5分)14 10, 1 14/14014, ×1, 1所以sin:(7分)121121710.V14即为所求对角线间夹角的正弦2.求过点(4,1,-2)且与平面 3x-2y+6z11平行的平面方程解：所求平面与平面 3x-2)+6=11 平行故 n=(3,-2,6),(3分)又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(2+2)=0(5 分)(7分)即 3x-2y+62+2=01五、应用题(共2道小题，第1小题6分，第2小题8分,满分14分)得分1.求圆(x-b) +y2=α2(0<a<b)绕y轴旋转所成的旋转体的体积。解：圆的方程可改写成：x=b±a2-y2(2分)其中x=b+a2-y右半圆，x=b-a2-y是左半圆方程。环的体积是两个半圆旋转体的差，积分区间为[-a,a]，因此V="(b+ya-y)y-"(b-Ja2-)dy (4分)=~[ 4b/a2-ydy=4rbf, Va -y'dy(共6页第4页)

(共 6 页 第4页) 故 1 2 0 1 (1 ) dx − x  发散，所以 2 2 0 1 (1 ) dx − x  发散。(6 分) 四、解答题(共 2 道小题，每小题 7 分，满分 14 分) 1. 一平行四边形以向量 a =(2,1,－1)和 b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的 正弦. 解：两对角线向量为 1 l a b i j = + = − 3 ， 2 l a b i j k = − = + − 3 2 (3 分) 因为 1 2 | | | 2 6 10 | 140 l l i j k  = + + = , (5 分) 1 2 | | 10, | | 14 l l = = 所以 1 2 1 2 | | 140 sin 1 | || | 10 14   = = =  l l l l . (7 分) 即为所求对角线间夹角的正弦. 2.求过点(4,1,-2)且与平面 3x-2y+6z=11 平行的平面方程. 解：所求平面与平面 3x-2y+6z=11 平行 故 n={3,-2,6}， (3 分) 又过点(4,1,-2) 故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0 (5 分) 即 3x-2y+6z+2=0. (7 分) 五、应用题(共 2 道小题，第 1 小题 6 分，第 2 小 题 8 分,满分 14 分) 1. 求圆 ( ) (0 ) 2 2 2 x −b + y = a  a  b 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积。 解：圆的方程可改写成： 2 2 x = b  a − y (2 分) 其中 2 2 x = b + a − y 右半圆， 2 2 x = b − a − y 是左半圆方程。 环的体积是两个半圆旋转体的差，积分区间为[-a,a]，因此 − − = + − − − − a a a a V b a y dy b a y dy 2 2 2 2 2 2  ( )  ( ) (4 分) − = − a a b a y dy 2 2  4 − = − a a b a y dy 2 2 4 得 分 得 分

a?-y?-arcsin=4元b,a' aresi 1-a arcsin(-1)=2元’a"b(6分)2.求曲线y=Vx的一条切线1，使该曲线与切线1及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小。解：设切点的坐标为(,Vi)，则切线的斜率为k=，所以切线方程为2/t"(3分)+当x=2时，y=当y=0时，x=-t,所以，三角形的面积为1+10)=1(+4+4)S=(t+2)一(6分)Vt2d_132/2+21-21)=0解得t1=-2(舍去)即当1t=时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线1及直线x=0，x=2所围成的平面图形的面积最小，此时切线方程为：V6+6(8分)V4#46(共6页第5页)

(共 6 页 第5页) a a a a y b y a y −         = − + arcsin 2 2 1 4 2 2 2  b a a a b 2 2 2 2 arcsin( 1)] 2 2 1 arcsin 1 2 1 = 4 [ − − =  (6 分) 2.求曲线 y = x 的一条切线 l ，使该曲线与切线 l 及直线 x = 0, x = 2 所围成的平面图 形的面积最小. 解：设切点的坐标为 (t, t) ，则切线的斜率为 t k 2 1 = ，所以切线方程为 x t t y 2 1 2 1 = + (3 分) 当 x = 2 时， t t y 2 1 1 = + 当 y = 0 时， x = −t ， 所以，三角形的面积为 ( 4 4 ) 4 1 ) 2 1 1 ( 2)( 2 1 2 1 2 1 2 3 − = + + t = t + t + t t S t (6 分) 令 2 2 ) 0 2 3 ( 4 1 2 3 2 1 2 1 = + − = − − t t t dt dS 解得 , 2( ) 3 2 t = t = − 舍去 即当 3 2 t = 时，三角形的面积最小，从而该曲线与切线 l 及直线 x = 0, x = 2 所围成 的 平面图形的面积最小，此时切线方程为： 6 6 4 6 y = x + (8 分)