吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2015-16AII试卷（答案）

吉林大学2015~2016学年第二学期《高等数学AIl》试卷2016年6月28日三四二总分得分一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.1.函数f(x,J)=+在点(0,0)处的偏导数（B）（A）(0,0)存在，J(0,0)不存在（B）J(0,0)不存在，;(0,0)存在(C）(0,0)，J(0,0)都存在(D）J(0,0)，J;(0,0)都不存在2.设方程xyz+e=1确定z是x，y的函数，则=( C)(D)2(A)-兰(B)兰VE(C) --eixy+ee'xy+e"3.空间区域Q=((x,y,=)=≤/4-x-y,x2+y1,z≥0)的体积是（B(A) J."dof"'rv4-r'dr(B) 4fe dof"r-V4-rd(C) J"dof4-rdr(D) 4fe dof" V4-rdr[n(x+)] dxdy, 1= [(+)'ddy, {= [sn(++)] dy, 其4. 1,=[平面区域D由直线x+y=1,x+y=x=0.y=0所围成，则（A）(A) I,≤I,≤I,(B) I,≤I,≤1(C) /≤1,≤1,(D) 1,≤/,≤12（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉 林 大 学 2015~2016 学年第二学期《高等数学 AII》试卷 2016 年 6 月 28 日 一 二 三 四 总 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，下列每小题 给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） 1. 函数 ( ) 2 4 f x y x y , = + 在点(0,0)处的偏导数（ B ）. （A） (0,0) x f  存在， (0,0) y f  不存在 （B） (0,0) x f  不存在， (0,0) y f  存在 （C） (0,0) x f  ， (0,0) y f  都存在 （D） (0,0) x f  ， (0,0) y f  都不存在 2. 设方程 e 1 z xyz + = 确定 z 是 x，y 的函数，则 z x   =（ C ）． （A） e z yz − （B） e z yz （C） e z yz xy − + （D） e z yz xy + 3. 空间区域 2 2 2 2  =  − − +   {( , , ) 4 , 1,z 0} x y z z x y x y 的体积是（B ） （A） 2 2 2 0 0 d 4 d r r r   −   （B） 1 2 2 0 0 4 d 4 d r r r   −   （C） 2 2 2 0 0 d 4 d r r   −   （D） 1 2 2 0 0 4 d 4 d r r   −   4.   9 1 ln( ) d d D I x y x y = +  ， 9 2 ( ) d d D I x y x y = +  ，   9 3 sin( ) d d D I x y x y = +  ，其中 平面区域 D 由直线 1 1, , 0, 0 2 x y x y x y + = + = = = 所围成，则（ A ）． （A） 1 3 2 I I I   （B） 3 2 1 I I I   （C） 1 2 3 I I I   （D） 3 1 2 I I I   得 分

5.设空间区域Q=(x,y,2)++≤2,z≥+)，(x,,2)为连续函数，则三重积分[[f(x,y,=)dV= （ D L()d2-2-1VZ-X-(B) 4f'd()d(c) J"dof'drf" f(rcoso,rsino,)d(D) "dofa dof,f(rsin pcose,rsin gsing,rcosp)rsinpdr6. 如果反常积分 r° e-kxdx收敛，则必有(B(A) k>0(C) k≥0(B)k<0(D)k≤0二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分，请将答案写在题后得分的横线上.） sin(xy)1.极限limy→-1 y-5=三+8与平面:-x-+2==1的夹角为2.直线L：元/63.曲线:++2=4在0e平面上的投影柱面方程为x+#+2=2.(y=z+x4.由曲线y=x?与x=y所围成的图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积3元/10元是5．曲面≥=xy在点M(-1,-1,1)处的切平面方程为_x+y+z+1=0=6. J,dxf'edy=-(1-e)--(共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 5. 设空间区域 2 2 2 2 2  = + +   + {( , , ) 2, } x y z x y z z x y ， f x y z ( , , ) 为连续函 数，则三重积分 f x y z V ( , , )d  =  （ D ）． （A） 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 d d ( , , )d x x y x x y x y f x y z z − +    − − − − − （B） 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 4 d d ( , , )d x x y x y x y f x y z z − − −    + （C） 2 2 1 2 0 0 d d ( cos , sin , )d r r r f r r z z     −    （D） 2 2 4 2 0 0 0 d d ( sin cos , sin sin , cos ) sin d f r r r r r              6. 如果反常积分 0 e d k x x − − 收敛，则必有( B ). （A） k  0 （B） k  0 （C） k  0 （D） k  0 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，请将答案写在题后 的横线上.） 1. 极限 lim sin( ) x y xy → x → 0  =  . 2. 直线 1 5 8 : 1 2 1 x y z L − − + = = − 与平面  − − + = : 2 1 x y z 的夹角为  /6 . 3. 曲线 2 2 2 4, : x y z y z x  + + =    = + 在 Oxz 平面上的投影柱面方程为 2 2 x xz z + + = 2 . 4. 由曲线 2 y x = 与 2 x y = 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积 是 3 /10  . 5. 曲面 z xy = 在点 M ( 1, 1,1) − − 处的切平面方程为 x y z + + + =1 0 . 6. 2 2 2 0 d e dy x x y −   = ( ) 1 -4 1 e 2 − . 得 分

得分三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）1.设了为c)类函数，且==(x+yx-)，求d=和axoy[解】%=+%--.分2oy故dz=ff)d+f-)dy.....4分02--+-1··分= f- fu...组(+2+-10 侧定的隐面数,求密,患。2.设y=y(x),z=z(x)是由方程组[x+y+z=0【解】对方程组两端关于x求导得[2x+4ydz=0dr+dx.4分1+4+牛=0dxdx[dy1-x解得层· S3.求过点(-12.3)垂直于直线于-号-，，且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程。【解】直线的方向ijkS-45 ---,.5分789（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1．设 f 为 (2) C 类函数，且 z f x y x y = + − ( , ) ，求 d z 和 2 z x y    . 【解】 1 2 1 2 , , z z f f f f x y   = + = −       .2 分 故 1 2 1 2 d ( )d ( )d z f f x f f y = + + −     .4 分 2 11 12 21 22 z f f f f x y  = − + −       11 22 = − f f  .8 分 2．设 y y x z z x = = ( ), ( ) 是由方程组 2 2 2 2 10, 0 x y z x y z  + +   = + + = 确定的隐函数，求 d d , d d y z x x ． 【解】对方程组两端关于 x 求导得 2 0, 4 2 1 0 dy dz y dx dx dy dz dx dx x  + +     = + + = .4 分 解得 1 2 1 2 2 1 , dy x dx y dz x y dx y  −   −  −   − = = .8 分 3．求过点 ( 1,2,3) − 垂直于直线 4 5 6 x y z = = ，且平行于平面 7 8 9 10 0 xyz + + + = 的 直线方程. 【解】 直线的方向 4 5 6 3(1, 2,1) 7 8 9 = = − − i j k S .5 分 得 分

所求直线方程为—.8分-21+X4.设平面区域D=((x,)x +≤1,x≥0)，计算二重积分』dxdy1+x2+y2【解】是变量的偶函数，积分区域D关于x轴对称，函数f(x,J)=1+x+yx1是变量的奇函数，函数 g(x,J)=1+x +y22d=元ln2- dxdy = 2[[1+++y ddy=2f.dof4分刘们Ji+x?+y?Jo1+r2.ddy. .分.J1+x+yddy=zln2-i+r+ddy+J··8分D1+x2+v22得分四、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）1.求心脏线r=2(1+cos0)的全长。【解】r'=-2sing..分ds=/P+r°do=4/losgldo2·．分4g-14do-40=6Ose2.设n是曲面2x+3y2+2°=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,6x2 +8y2求函数u=在点P处沿方向n的方向导数.2（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） 所求直线方程为 1 2 3 1 2 1 x y z + − − = = − .8 分 4. 设平面区域   2 2 D x y x y x = +   ( , ) 1, 0 ，计算二重积分 2 2 1 d d 1 + + +  D xy x y x y . 【解】 积分区域 D 关于 x 轴对称，函数 2 2 1 ( , ) 1 f x y x y = + + 是变量 y 的偶函数， 函数 2 2 ( , ) 1 xy g x y x y = + + 是变量 y 的奇函数， 则 1 2 2 2 2 1 1 d d 2 d d 1 1 = + + + +   D D x y x y x y x y 1 2 2 0 0 ln 2 2 d d 1 2   = =  +   r r r .4 分 2 2 d d 0 1 D xy x y x y = + +  ，.6 分 故 2 2 2 2 2 2 1 1 ln 2 d d d d d d 1 1 1 2 D D D xy xy x y x y x y x y x y x y +  = + = + + + + + +    .8 分 四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1. 求心脏线 r = + 2(1 cos )  的全长. 【解】 2 2 2sin d d 4 cos d 2 r s r r      = − = + =  .4 分 2 2 0 0 4 cos d 4cos d 4cos 16 2 2 2 s        = = − =      .6 分 2. 设 n 是曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 在点 P(1,1,1) 处的指向外侧的法向量, 求函数 2 2 6 8 x y u z + = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. 得 分

【解】设F(x,y,2)=2x2 +3y +22-6,则F,=4x,F,=6y,F,=2z，在点P(1,1,1)处，指向外侧的法向量为(4,6,2)，单位化32.得n=.分本(2,31)即 cosα =-Vi4.COs B=-Vi.COSY=V146x8y/6x2+8，点P(1,1,1)处6“---- 分628-V4×=3方向导数为u.cosα+u,cosβ+u.cos=*不4+不4*不4V14-7.··分3.曲面≥是由曲线(α=→-(1≤2≤3)统=轴旋转一周所形成的曲面。[x=0 （1）写出≥的方程；（2）设区域Q是由曲面≥与平面z=3围成的区域，计算e'dxdydz【解】()≥的方程=1×+,≤2≤3)；4分(2) Jfe'dxdyd -'e'dJ dxdy=元f'e(z-1)d =e+e...8 分4.已知a,b满足,xdx==(a≤0≤b)，求曲线y=x+ax与直线y=bx所围区域面积的最大值和最小值，【解】xkx=J.-xdx+'xdx=(a +b)=2.·分α?+b =1（共6页第5页）

（共 6 页 第 5 页 ） 【解】 设 2 2 2 F x y z x y z ( , , ) 2 3 6 = + + − ， 则 4 , 6 , 2 F x F y F z x y z = = = ，在点 P(1,1,1) 处，指向外侧的法向量为 (4,6, 2) ，单位化 得 1 (2,3,1), 14 n = 即 2 3 1 cos ,cos ,cos 14 14 14    = = = .3 分 2 2 2 2 2 2 2 1 6 1 8 1 , , 6 8 6 8 6 8 x y z x y u u u x y z z z x y x y = = = − + + + ，点 P(1,1,1) 处 6 8 , , 14 14 14 x y z u u u = = = − ．.6 分 方向导数为 6 2 8 3 1 6 cos cos cos 14 14 14 14 14 14 7 x y z u u u    + + =  +  −  = .8 分 3. 曲面  是由曲线 1,(1 z 3) 0 y z x  = −     = 绕 z 轴旋转一周所形成的曲面. （1）写出  的方程； （2）设区域  是由曲面  与平面 z = 3 围成的区域，计算 e d d d z xyz   . 【解】 （1）  的方程 2 2 z x y z = + +   1 ,(1 3) ；.4 分 （2） 3 3 3 1 1 e d d d e d d d e (z 1)d z z z z D x y z z x y z e e   = = − = +     .8 分 4.已知 a b, 满足 1 d ( 0 ) 2 b a x x a b =    ，求曲线 2 y x ax = + 与直线 y bx = 所围区域 面积的最大值和最小值. 【解】 0 2 2 0 2 2 1 1 d d d ( ) 2 2 1 b b a a x x x x x x a b a b = − + = + = + =    .2 分

曲线y=x+ax与直线y=bx所围区域面积.- 4 分s=J(bx--2-ax)dx =令 F(a,b,2)=(b-a) +(a’ +b -1), 则F, =-{(b-a) +2aa=0,F,-(b-a)2b=0, .6分a2 +62 -1=0得驻点, α=0,b=1,s=a=-1,b=0,s-面积最大值为22，最小值为s=...·分（共6页第6页）

（共 6 页 第 6 页 ） 曲线 2 y x ax = + 与直线 y bx = 所围区域面积 2 3 0 1 ( )d ( ) 6 b a s bx x ax x b a − = − − = −  .4 分 令 1 3 2 2 ( , , ) ( ) ( 1) 6 F a b b a a b   = − + + − ，则 2 2 2 2 1 ( ) 2 0, 2 1 ( ) 2 0, 2 1 0 a b F b a a F b a b a b    = − − + =     = − + =   + − =   .6 分 得驻点 2 2 ( , ) 2 2 − ， 2 3 s = , 1 1 0, 1, , 1, 0, 6 6 a b s a b s = = = = − = = , 面积最大值为 2 3 s = ，最小值为 1 6 s = .8 分