吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2013-2014学期高数AIII试卷（题目）

吉林大学2013-2014学年第一学期《高等数学 AI》试卷2014年1月9日二总分二填空题（每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）1. f(x*+y)ds =其中曲线L:x+y=a2设曲面≥为x2+-9介于z=0及z=3间的部分，[[G* + y +1]dS =3.级数的和为n(n+1)4.微分方程崇=+tan二的通解为-≤x0则它的Fourier级数展开式中的系数5. 设(x)=0<x<元,得选择题（每小题3分，满分15分。每小题只有一个选项符合题目要求)1．设 (s,)在曲线弧L 上有定义且连续， 的参数方程为(=0)(y=w()(α≤t≤)，其中(),()在[α,)上具有一阶连续导数，且"()+"()0则曲线积分[,(x,V)ds=（(A) J"f(o(),v()Vo"()+y"()dt.(B) J'f((0).v(0)d (C)Jf(o(0),()p"(0)+y"(dt.(D) [,f(o(0),(0)dt .(共 6页第1页)

(共 6 页 第 1 页) 吉林大学 2013~2014 学年第一学期 《高等数学 AⅢ》试卷 2014 年 1 月 9 日 一 二 三 总分 一、 填空题（每小题 3 分，满分 15 分，把答案填在题中横线上） 1．   L (x y )ds 2 2 ，其中曲线 2 2 2 L : x  y  a ． 2．设曲面  为 9 2 2 x  y  介 于 z  0 及 z  3 间的部分，      x y 1)dS （ 2 2 ． 3．级数  1 ( 1) 1 n n n 的和为 ． 4．微分方程 x y x y dx dy   tan 的通解为 ． 5．设 1, 0 ( ) 1, 0 x f x x          ， ， 则它的 Fourier 级数展开式中的系数 an  ． 二、选择题（每小题 3 分，满分 15 分．每小题只有一个选项符合题 目要求） 1．设 f (x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为      ( ) ( ) y t x t   (  t   ) ，其中(t), (t) 在[,  ]上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2  t  t  ， 则曲线积分  L f (x, y)ds （ ） （A）      f ((t), (t))  (t)  (t)dt 2 2 . （B）   f ((t), (t))dt . （C）       f ((t), (t))  (t)  (t)dt 2 2 . （D）   f ((t), (t))dt . 得 分 得 分

2.设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,J)在D上具有一阶连续偏导数，则Pdx+Qdy=（）a %-%(B) J[(%-%)drdy:Dayax0) /e-%y0) %-%3，设2是取外侧的单位球面x2+y+22=1，则曲面积分J xdydz+ ydedx+zdxdy = ()(B）2元(A)0.(C)元.(D) 4元)4.下列说法中错误的是（（A）方程xy"+2y"+x2y=0是三阶微分方程（B）方程y+×%=ysnx是一阶微分方程。（C）方程(x2+2y）)dx+(y2+3x22)dy=0是全微分方程（D）方程+→x=2是Bernoulli方程.dr26 已加缓数2(-1Vm绝对收效,级数条件收敛,则((B) <α≤1.(A) 0<α≤}C(c) 1<α≤(D)<α<22(共6页第2页)

(共 6 页 第 2 页) 2．设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成，L 取正向，函数 P(x, y),Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则   L Pdx Qdy ( ) （A）      D x y x Q y P ( )d d . （B）      D x y x P y Q ( )d d . （C）      D x y y Q x P ( )d d . （D）      D x y y P x Q ( )d d ． 3．设  是取外侧的单位球面 1 2 2 2 x  y  z  ， 则曲面积分   xdydz  ydzdx  zdxdy =（ ） （A） 0 . （B） 2 . （C） . （D）4 . 4．下列说法中错误的是（ ） （A）方程 2 0 2 xy  y  x y  是三阶微分方程. （B）方程 y x x y x x y y sin d d d d   是一阶微分方程. （C）方程( 2 )d ( 3 )d 0 2 3 2 2 2 x  xy x  y  x y y  是全微分方程. （D）方程 x y x x y 2 2 1 d d   是 Bernoulli 方程． 5．已知级数 1 1 ( 1) sin n n n n     绝对收敛，级数 2 1 ( 1)n n n       条件收敛，则（ ） （A） 1 0 2  ≤ . （B） 1 2  ≤1. （C） 3 1 2  ≤ . （D） 3 2 2  

得分三、解答下列各题（前7小题每小题9分，第8小题7分，满分70分)1.求下列微分方程的通解(1) y+ytanx = sin2x(2) (2xye-2x)dx+e"dy=02. 求级数≥(-1=2)的收敏域。2n+1(共 6页第3页)

(共 6 页 第 3 页) 三、 解答下列各题（前 7 小题每小题 9 分，第 8 小题 7 分，满分 70 分） 1.求下列微分方程的通解 （1） y' y tan x  sin 2x （2）(2 2 )d d 0 2 2 xye  x x  e y  x x 2．求级数       1 2 1 2 1 ( 2) ( 1) n n n n x 的收敛域． 得 分

3．计算1=f.二些，其中L是x0y面上的任一条无重点且分段光滑不经x+y过原点0(0,0）的正向闭曲线.4.求I=J,(e'siny-my)dr+(e'cosy-m)dy，其中L是曲线y=/ax-x?上从A(a,0)到0(0,0)的弧，m为常数(共6页第4页)

(共 6 页 第 4 页) 3．计算     L x y x y y x I 2 2 d d ，其中 L 是 xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经 过原点O(0,0) 的正向闭曲线． 4．求      L x x I (e sin y my)dx (e cos y m)dy ，其中 L 是曲线 2 y  ax  x 上从 A(a,0)到O(0,0)的弧，m 为常数．

5.计算1=JJxdyds+'ddx+2dxdy，其中是曲面x+y°=2(0≤≤a)的外侧6.计算1=+ydx+dy+xd，其中是球面×+y+=位于第一卦限部分的边界曲线，从×轴正向看去，「为逆时针方向，(共6页第5页)

(共 6 页 第 5 页) 5．计算   I  x dydz  y dzdx  z dxdy 2 2 2 ，其中 是曲面 (0 ) 2 2 2 x  y  z  z  a 的外侧． 6．计算 I y dx z dy x dz 2 2 2     ，其中 是球面 2 22 2 x  yza   位于第一卦限 部分的边界曲线，从 x 轴正向看去， 为逆时针方向．

7．设函数p(s)具有连续的二阶导数，并使曲线积分,[3g(x) -20(x)+ xe* ydx + p(x)dy与路径无关，求函数g(s).8.将函数f(x)=ln(1+x+x2+x)展开成x的幂级数(共6页第6页)

(共 6 页 第 6 页) 7．设函数(x) 具有连续的二阶导数，并使曲线积分       L x [3 (x) 2 (x) xe ]ydx (x)dy 2    与路径无关，求函数(x) ． 8．将函数 ( ) ln(1 ) 2 3 f x   x  x  x 展开成 x的幂级数．