吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012-13BI试卷（答案）

吉林大学2012~2013学年第一学期《高等数学BI》试卷参考答案一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）题号123456选项DcB ACD二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）12sinzd.24.(0,0)或“填x=0”.1..y=x-3.2x1.25. 1+x+x +o(x).6. 1.21*3!三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）[x= 3t? + 2t+，确定，求1.设函数y=f(x)由方程组*dxl-0[y=e' sint+1解：方程组两边同时对1求导，得dX =6t+2·分dtdy=e'sint+e' costdtdtdy...e'cost...5分dt1-e'sintdyldye'costdtdx2dxl=0(1-e'sint)(6t+2)0·分dilo（共6页第1页）

（共 6 页 第 1 页 ） 吉林大学 2012~2013 学年第一学期《高等数学 BI》试卷 参 考 答 案 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 选 项 C B A D C D 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）. 1. y x = − 3. 2. dx x x 2 2sin . 3. 1 2 . 4. (0,0) 或“填 x = 0”. 5. 1 1 2 3 3 1 ( ) 2! 3! + + + + x x x o x . 6. 1. 三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）. 1．设函数 y = f (x) 由方程组 2 3 2 e sin 1 y x t t y t  = +   = + 确定，求 0 d d t y x = . 解：方程组两边同时对 t 求导，得 d 6 2 d x t t = + .２分 d d e sin e cos d d y y y y t t t t = + 1- sin cos e t e t dt dy y y = .５分 0 0 0 d d e cos e d d (1 e sin )(6 2) 2 d d y y t t t y y t t x t t x t = = = = = = − + .8 分

2．证明不等式2xarctanx≥h(1+x2)解：设f(x)=2xarctanx-ln(1+x)·分当x=0时，等号成立2x2x..分f'(x)=2arctan x+:= 2 arctan x1+x21+x?当xf(0)=0,当x>0时,F(x)>0, f(x)1, J(x)>F(0)=0,.·7分即 2x arctan x-In(1+x)>0·．分亦即 2xarctan x≥In(1+x)3. 求J +ng-d x.xn(- dx = n [in(1-x)d..分解：原式={-dx-[= Inx— 1n(1 x) 分dJ x(1- x)1dx= Inx= In(1x) - ·分x 1-x)=(1-)In(1-x)+C..·分4. 已知m()=dx，求常数k的值。22+x()产=m(1+)T-6解：左端lim..分YY（共6页第2页）

（共 6 页 第 2 页 ） 2．证明不等式 2 arctan ln(1 ) 2 x x  + x . 解：设 ( ) 2 arctan ln(1 ) 2 f x = x x − + x .2 分 当 x = 0 时，等号成立 x x x x x f x x 2arctan 1 2 1 2 '( ) 2arctan 2 2 = + − + = + .4 分 当 x  0 时， f '(x)  0, f (x) , f (x)  f (0) = 0, 当 x  0 时， f '(x)  0, f (x) , f (x)  f (0) = 0, .7 分 即 2 arctan ln(1 ) 0 2 x x − + x  亦即 2 arctan ln(1 ) 2 x x  + x .8 分 3. 求 2 ln(1 ) d x x x x + −  . 解：原式 2 1 ln(1 ) d d x x x x x − = −   1 ln ln(1 )d x x x = − −  .2 分 1 1 ln ln(1 ) d (1 ) x x x x x x = − − − −  .4 分 1 1 1 ln ln(1 ) d 1 x x x x x x   = − − − +     −  .6 分 1 (1 )ln(1 ) . x C x = − − + .8 分 4. 已知 1 sin 2 2 2 1 lim d 2 k x x x x x x x x → −   + +   =   +  ，求常数 k 的值. 解：左端 1 1 1 1 sin sin lim lim 1 e k k k x x x x x → → x x     +     = + =     .3 分

x+x右端了2+dx=ln3·分021r2从而 k =In(ln3)..·分四、按要求解答下列各题（共4道小题，每题8分，满分32分）1.求椭圆兰=1(α>0,b>0)所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转而成h的旋转体的体积。..2分解: A= 4f=bsint(-asint)dt= 4abj, sin’tdt= 4ab:1= mab. 22V=a-xPdx=(ax-rr..分a?3=gmb..·分2. 求过点(,2,3)且平行于向量s=(1,-4,1)的直线与平面x+y+z=1的交点和夹角0.解：直线的方程为1-2三-3.．分4其参数方程x=1+t,y=2-4,z=3+t4分代入平面方程得1=号，所以交点坐标为(号-8.).5分[1x1+(-4)x1+1x1V67分sin 0=9P+1P+P/P+(-4)* +12VG故0=arcsin·分9[x+1, x≤],3.已知函数f(x)=(1)设F(x)=Jf(t)dt，求 F(x)的表达式；x>1,(5t3（共6页第3页）

（共 6 页 第 3 页 ） 右端 2 2 2 0 2 2 d 2 d ln 3 2 2 x x x x x x x − + = = + +   .6 分 从而 k = ln(ln3) .8 分 四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每题 8 分，满分 32 分）. 1.求椭圆 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b + =   所围成的图形的面积及该图形绕 x 轴旋转而成 的旋转体的体积. 解： 0 2 2 0 2 A b t a t t ab t t 4 sin ( sin )d 4 sin d  = − =   .2 分 ab ab  =   = 2 2 1 4 .4 分 2 2 2 2 2 3 2 1 [ ] d [ ] 3 a a a a b b V a x x a x x a a   − − = − = −  .6 分 2 3 4 = ab .8 分 2. 求过点 (1,2,3) 且平行于向量 s = − (1, 4,1) v 的直线与平面 x + y + z =1 的交点和 夹角  . 解：直线的方程为 1 3 4 2 1 1 − = − − = x − y z .２分 其参数方程 x =1+ t, y = 2 − 4t,z = 3+ t .４分 代入平面方程得 2 5 t = ，所以交点坐标为 ) 2 11 , 8, 2 7 ( − .５分 9 6 1 1 1 1 ( 4) 1 1 1 ( 4) 1 1 1 sin 2 2 2 2 2 2 = + + + − +  + −  +   = .７分 故 6 arcsin . 9  = .8 分 3.已知函数 , 1, 2 1 1, 1, ( ) 2       +  = x x x x f x （1）设 0 ( ) ( )d x F x f t t =  ，求 F(x) 的表达式；

(2)计算[,J(x+1)dx解：（1)）当x≤1时，F(x)=(+1)dt=2分当x>1时，F()=(+1)d+rdr=+-=+426663[+ ×s.即 F(x)=..分2.4x>1,6+[x+2,x≤0(2) f(x+1)=)·分I(x+1),x>019J,(x+)dx=(x+2)dx+(+1)dx=..·分6注：此题也可以先利用变量代换，再计算4.设函数(1)处处可导，且0≤T()（k>0为常数），又设x为任意一点，数列x)满足x,=f(x-）（n=1,2,L)，试证：limx,存在证：先证(x)单调。由x,=(x)-(x)=(x)(5.)，其中,在x,与x之间又由题设，(a)处处可导，且0≤(0)，于是知(G.）≥0，从而(x.-x)与(x-x)同号，故(x）单调。.分1x H(x-)()+J(x)dx4(x)+[F(x)dx()+(()dx=）+k元...7分故由极限存在准则知，limx,存在..·分注：此题用归纳法可证单调性，酌情给分。（共6页第4页）

（共 6 页 第 4 页 ） （2）计算 1 2 f x x ( 1)d −  + . 解：（1）当 x 1 时， 2 0 ( ) ( 1)d 2 x x F x t t x = + = +  .2 分 当 x 1 时， 3 3 1 2 0 1 1 3 1 4 ( ) ( 1)d d 2 2 6 6 6 3 x x x F x t t t t = + + = + − = +   即 2 3 , 1, 2 ( ) 4 , 1, 6 3 x x x F x x x  +    =   +   .4 分 （2） 2 2, 0 ( 1) 1 ( 1) , 0 2 x x f x x x  +   + =  +    .6 分 1 0 1 2 2 2 0 1 19 ( 1)d ( 2)d ( 1) d . 2 6 f x x x x x x − −    + = + + + = .8 分 注：此题也可以先利用变量代换，再计算. 4.设函数 f x( ) 处处可导，且 2 0 ( ) 1 k f x x    + （ k  0 为常数），又设 0 x 为任意一 点，数列 x n 满足 1 ( ) n n x f x − = ( 1, 2, ) n = L ，试证： lim n n x → 存在． 证：先证 { }n x 单调． 由 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n x x f x f x x x f + − − − = − = −   ，其中 n  在 n x 与 n 1 x − 之间． 又由题设， f x( ) 处处可导，且 2 0 ( ) 1 k f x x    + ，于是知 ( ) 0 n f    ， 从而 1 ( ) n n x x + − 与 1 ( ) n n x x − − 同号，故 { }n x 单调． .4 分 1 1 0 0 1 0 0 | | | ( ) | ( ) ( )d | ( ) | ( )d n n x x n n x x x f x f x f x x f x f x x − − − = = +  +     1 0 0 0 0 2 | ( ) | | ( ) | d | ( ) | d | ( ) | . 1 n x x k f x f x x f x x f x k x  − +  −   +  + = +  +   .7 分 故由极限存在准则知， lim n n x → 存在． .8 分 注：此题用归纳法可证单调性，酌情给分