吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012-13CII试卷（答案）

吉林大学2012~2013学年第二学期《高等数学CI》试卷参考答案与评分标准一、单项选择题1. (A);2. (D);3. (C);4. (B);5. (A);6. (B)二、填空题11.1;2.dz=dx+dy:3.；4.x<0或填(-00,0);63e;5. 2(-1) (-l<xs1): 6. y=ln+1三、按要求解答下列各题1.解：直线的参数方程为x=1+t,y=2-4t,z=3+t,..2分代入平面方程解得t=3.从而所求交点为（4，-10,6)..5 [1×1+(-4)×1+1×1V6..7分sinp=/1 +(-4) +1 // +1 +12从而所求爽角 =aresin..．分92.解a-f+y-(+x.0+=-='+p...2分o%-++*(-)+-00-4分(---..6分一axoy2.8 分*ar+yaroy=0.(共3页第1页）

（共 3 页 第 1 页 ） 吉林大学 2012~2013 学年第二学期 《高等数学 CII》试卷参考答案与评分标准 一、单项选择题 1.（A）； 2.（D）； 3.（C）； 4.（B）； 5.（A）； 6.（B）. 二、填空题 1. 1； 2. d d d z x y = + ； 3. 1 1 . 6 3e − ； 4. x  0 或填 ( ,0) − ； 5. 1 0 ( 1) ( 1 1) 1 n n n x x n  + = − −   +  ； 6. 1 y x = . 三、按要求解答下列各题 1.解：直线的参数方程为 x t y t z t = + = − = + 1 , 2 4 , 3 , .2 分 代入平面方程解得 t = 3. 从而所求交点为（4，-10,6） .5 分 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 4) 1 1 1 6 sin 1 ( 4) 1 1 1 1 9   + −  +  = = + − + + + .7 分 从而所求夹角 6 arcsin . 9  = .8 分 2.解： 2 z x x 1 f y f x f f y y x y      = +  − +  = − +          .2 分 2 z y y 1 yf x f x y x x        =  + +   − = + −          2 2 2 2 2 2 3 z y y y y y 1 1 f f x y x x x x y x          =  +  − + −  − = +                .4 分 2 2 2 2 z x y x y 1 1 1 f f x y y x x x x y x        =  − +  − − = − −             .6 分 2 2 2 0 z z x y x x y   + =    . .8 分

3.解：积分区域关于x轴对称，被积函数关于y为奇函数，所以1=[[ xda+ [ +y- -2d= [] +y~-2dg.3分D 分割D:2≤x+y≤3,D, :x +y2<2... 分则 1= J[(x +y2 -2)da+ [(2 -x2 -y°)do=" do[Fr dr-J。do],FPdr-2(3元-2元)+2(2元).7分-学...·8分4.解：设K=J(x,y,)dv,则 f(x,y,2)=+y+K.3分两端积分有=++=+6K=J"dof'drf'rdr+f"z'dz=+k.分64解得K=_2元.分12-3元2元即f(x,y,)= /x2 +y +..8分12-3元四、按要求解答下列各题f'=2x-y=01. 解：解得D内可疑点（1,2）2分[5'=2y-x-3=0,在x=0上，f=y-3y，令J,=2y-3=0，得到可疑点(0,)(0,0),(0,4)在y=0上,=x,令=2x=0，得到可疑点(0,0),(4,0)..4分(共3页第2页)

（共 3 页 第 2 页 ） 3.解：积分区域关于 x 轴对称，被积函数关于 y 为奇函数，所以 2 2 2 2 d 2 d 2 d D D D I xy x y x y = + + − = + −       .3 分 D 分割 2 2 2 2 1 2 D x y D x y : 2 3, : 2  +  +  则 1 2 2 2 2 2 ( 2)d (2 )d D D I x y x y = + − + − −     .5 分 2 3 2 2 3 3 0 2 0 0 d d d d 2(3 2 ) 2(2 ) r r r r   = − − − +          .7 分 5 2  = .8 分 4．解：设 K f x y z v ( , , )d  =  ， 则 2 2 f x y z x y Kz ( , , ) = + + .3 分 两端积分有 2 2 d d 6 4 D D K x y V K z V K   = + + = +   2 1 1 1 2 3 0 0 0 d d d d r 6 4 K r r r K z z K    = + = +       .6 分 解得 2 12 3 K   = − .7 分 即 2 2 2 ( , , ) 12 3 f x y z x y z   = + + − .8 分 四、按要求解答下列各题 1. 解： 2 0, 2 3 0, x y f x y f y x    = − =    = − − =  解得 D 内可疑点（1,2） .2 分 在 x = 0 上， 2 f y y = −3 ， 令 2 3 0 y f y  = − = ，得到可疑点 3 (0, ),(0,0),(0, 4) 2 在 y = 0 上， 2 f x = ， 令 2 0 x f x  = = ，得到可疑点(0,0),(4,0) .4 分

在x+y=4上，f=3x-9x+4,令"=6x-9=0，得到可疑点（号）.6分f(1,2)=-3, f(0,0)=0, f(4,0)=16-/----A.8分故(4,0)=16, (1,2)=3..2分2.解：收敛域为(-2,0)Znt-I-Z(")={Zn(x+1)-t=x+1(1-t....分-1<<1(1-t)2)-2<x<0.Zn(x+1)"--..8分3.解：将方程两端求导有()=(x)+号(cx)+1,整理得 [(n)-(x)=-2..分解得其通解为f(x)=x(C+..分将()=3，代入得C=2，即()=2x+2......·分4.解：特征方程为r+6r+9=0，解得特征根r=r,=-3...3分..分故方程的通解为y=(C+C,x)e-代入初始条件，解得C,=1,C,=0,从而所求特解为y=e-...·分（共3页第3页）

（共 3 页 第 3 页 ） 在 x y + = 4 上， 2 f x x = − + 3 9 4， 令 6 9 0 x f x  = − = ，得到可疑点 3 5 ( , ) 2 2 . 6 分 又 (1,2) 3, (0,0) 0, (4,0) 16, 3 9 3 5 11 (0,4) 4, (0, ) , ( , ) 2 4 2 2 4 f f f f f f = − = = = = − = − ， 故 max min f f (4,0) 16, (1,2) 3. = = − .8 分 2. 解：收敛域为 ( 2,0) − .2 分 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( ) 1 n n n n n n t n x t x nt t t    − − = = =    + = + = =     −    2 1 , 1 1. (1 ) t t = −   − .6 分 1 2 1 1 ( 1) , 2 0. n n n x x x  − =  + = −   .8 分 3. 解：将方程两端求导有 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 x f x f x f x = + +  ， 整理得 1 2 f x f x ( ) ( ) x x  − = − .2 分 解得其通解为 2 f x x C ( ) ( ) x = + .6 分 将 1 ( ) 3 2 f = ，代入得 C = 2 ，即 f x x ( ) 2 2. = + .8 分 4. 解：特征方程为 2 r r + + = 6 9 0， 解得特征根 1 2 r r = = −3 .3 分 故方程的通解为 3 1 2 ( )e x y C C x − = + . .6 分 代入初始条件，解得 1 2 C C = = 1, 0, 从而所求特解为 3 e . x y − = .8 分