吉林大学数学院：《高等数学》课程教学资源（试卷习题）2012-13BII试卷（答案）

吉林大学2012~2013学年第二学期《高等数学BI》试卷参考答案与评分标准、单项选择题1. (D); 2. (C);3. (A); 4. (B);5. (A); 6. (B)二、填空题1. dz=dx+dy;2. (2,1);3.4.x<0或填(-00);2V32(-1(-1<x≤1);: 6. y=1.5.nti(三、按要求解答下列各题1.解-→+-+.分++*（+-0)()4分Oxa?2X++0--..·分aro=xaxxa2az=0...8 xx+yaxoy2.解：积分区域关于x轴对称，被积函数关于y为奇函数，所以1= [[ xydo+ J[]x + y2 -2do = [[]x + y2 -2do..3分D 分割D :2≤x +≤3,D, :x +y<2则1=J[(2 +y2-2)do+J[(2-x-y)do5分-J" do[,Fr dr-J。" do],r dr-2(3元 -2元)+2(2元)....7分-号..·8分(共3页第【页

（共 3 页 第 1 页 ） 吉林大学 2012~2013 学年第二学期 《高等数学 BII》试卷参考答案与评分标准 一、单项选择题 1.（D）； 2.（C）； 3.（A）； 4.（B）； 5.（A）； 6.（B）. 二、填空题 1. d d d z x y = + ； 2. （2,1）； 3. 1 2 3 ； 4. x  0 或填 ( ,0) − ； 5. 1 0 ( 1) ( 1 1) 1 n n n x x n  + = − −   +  ； 6. 1 y x = . 三、按要求解答下列各题 1.解： 2 z x x 1 f y f x f f y y x y      = +  − +  = − +          .2 分 2 z y y 1 yf x f x y x x        =  + +   − = + −          2 2 2 2 2 2 3 z y y y y y 1 1 f f x y x x x x y x          =  +  − + −  − = +                .4 分 2 2 2 2 z x y x y 1 1 1 f f x y y x x x x y x        =  − +  − − = − −             .6 分 2 2 2 0 z z x y x x y   + =    . .8 分 2.解：积分区域关于 x 轴对称，被积函数关于 y 为奇函数，所以 2 2 2 2 d 2 d 2 d D D D I xy x y x y = + + − = + −       .3 分 D 分割 2 2 2 2 1 2 D x y D x y : 2 3, : 2  +  +  则 1 2 2 2 2 2 ( 2)d (2 )d D D I x y x y = + − + − −     .5 分 2 3 2 2 3 3 0 2 0 0 d d d d 2(3 2 ) 2(2 ) r r r r   = − − − +          .7 分 5 2  = .8 分

3. 解: 设K=J f(x,y,2)dv则 f(x,,2)=++K....3分两端积分有+av+=v=+kK-f"dof'drf'rdr+kf"元2'dz-"... T+K2元解得K=1....7分12-3元2元即(x,,)=++...8分12-3元4. 解：山临标公式 一1%一-号)4a..分..5分=J[(e*cosy-e°cosy+8)do=8J]d...7分=8元...8分四、按要求解答下列各题1.解：这里P=xz,0=xy-2,R=2xy+yz,补充平面Z,:2=0，取下侧...2分由高斯公式，有=(x+y+)dv=dofsinpdofrdr=..5分又 -[2ydxdy=-2]ydxdy=0,..7分从而原式--『-..分2．解：将方程两端求导有()=()+(x)+1,（共3页第2页）

（共 3 页 第 2 页 ） 3．解：设 K f x y z v ( , , )d  =  ， 则 2 2 f x y z x y Kz ( , , ) = + + .3 分 两端积分有 2 2 d d 6 4 D D K x y V K z V K   = + + = +   2 1 1 1 2 3 0 0 0 d d d d r 6 4 K r r r K z z K    = + = +       .6 分 解得 2 12 3 K   = − .7 分 即 2 2 2 ( , , ) 12 3 f x y z x y z   = + + − .8 分 4．解：由格林公式 ( )d D Q P I x y    = −    .2 分 (e cos e cos 8)d x x D = − +  y y  .5 分 8 d D =   .7 分 = 8 .8 分 四、按要求解答下列各题 1. 解：这里 2 2 3 2 P xz Q x y z R xy y z = = − = + , , 2 ， 补充平面 1  = : 0 z ，取下侧. .2 分 由高斯公式，有 1 2 1 2 2 2 4 2 0 0 0 2 ( )d sin d d 5 x y z V d r r        +   = + + = = Ò     .5 分 又 1 1 2 d d 2 d d 0 D xy x y xy x y   = = − =    ， .7 分 从而原式= 1 2 2 . 5 5    − =  .8 分 2. 解：将方程两端求导有 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 x f x f x f x = + + 

整理得F(x)-f(x)=-...2分解得其通解为f()=x(C+3.分将()=3，代入得C=2，即(x)=2x+2...·分3．解：收敛域为(-2,0)...2分m-(y-()2n(x+1)_ 1=x+1"(-1,-1<1<1...分Zn(x+1)...8分2,-2<x<0.f'=2x-y=0,4.解：解得D内可疑点（1,2)..2分f'=2y-x-3=0,在x=0上,f=y2-3y,令f,=2y-3=0，得到可疑点(0,=),(0,0),(0,4)在y=0上，=x,...分令f=2x=0，得到可疑点(0,0),(4,0)在x+y=4上，f=3x2-9x+4令」’=6x-9=0，得到可疑点（·分(,2)=-3, f(0,0) = 0, (4,0)=16,11f(0,4) = 4, f(0. ) -故m(4,0)=16, m(,2)=3,.8分(共3页第3页）

（共 3 页 第 3 页 ） 整理得 1 2 f x f x ( ) ( ) x x  − = − .2 分 解得其通解为 2 f x x C ( ) ( ) x = + .6 分 将 1 ( ) 3 2 f = ，代入得 C = 2 ，即 f x x ( ) 2 2. = + .8 分 3. 解：收敛域为 ( 2,0) − .2 分 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ( ) 1 n n n n n n t n x t x nt t t    − − = = =    + = + = =     −    2 1 , 1 1. (1 ) t t = −   − .6 分 1 2 1 1 ( 1) , 2 0. n n n x x x  − =  + = −   .8 分 4. 解： 2 0, 2 3 0, x y f x y f y x    = − =    = − − =  解得 D 内可疑点（1,2） .2 分 在 x = 0 上， 2 f y y = −3 ， 令 2 3 0 y f y  = − = ，得到可疑点 3 (0, ),(0,0),(0, 4) 2 在 y = 0 上， 2 f x = ， 令 2 0 x f x  = = ，得到可疑点 (0,0),(4,0) .4 分 在 x y + = 4 上， 2 f x x = − + 3 9 4， 令 6 9 0 x f x  = − = ，得到可疑点 3 5 ( , ) 2 2 . 6 分 又 (1,2) 3, (0,0) 0, (4,0) 16, 3 9 3 5 11 (0,4) 4, (0, ) , ( , ) 2 4 2 2 4 f f f f f f = − = = = = − = − ， 故 max min f f (4,0) 16, (1,2) 3. = = − .8 分