《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第2章 导数与微分 第四节 隐函数和参数方程求导

第四节隐函数和参数方程求导第2章一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率返回下页

第2章 第四节 隐函数和参数方程求导 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率

一、隐函数的导数若由方程F(x,)=0可确定y是x的函数，则称此函数为隐函数由V=f（x）表示的函数，称为显函数例如,x-3-1=0可确定显函数=3/1-x+2y-x-3x=0可确定是x的函数但此隐函数不能显化隐函数求导方法：F(x,y)=0两边对x求导dF(x)=0（含导数的方程）dx目录上页下页返回结束机动

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y  的方程)

例1.求由方程5+2-x-3x=0确定的隐函数dyy=(x）在x=0处的导数dxx =0解：方程两边对x求导d+2y-x-3x)=0dxdy2dy-1-21x6 = 01得51dxdxdy_1+21x6dx 5y4 +2dy因x=0时y=0，故dx|x = (目录上页下页返回结束机动

例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + +  = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数

=1在点（2，号/3）处的切线方程例2.求椭圆169解：椭圆方程两边对x求导x2+jy.y'=089xx=2x=2416 yy=3V32故切线方程为X-24V3x+4y-8/3=0即目录上页下页返回结束机动

例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − ( x − 2) 即

例3. 求 y=xsinx(x>0）的导数解：两边取对数，化为隐式Iny=sinx·lnx两边对x求导sinx= cosx·lnx-xsinxy' = xsin*(cos x n x +上页目录下页返回结束机动

例3. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = cos x  l n x x sin x + ) sin (cos l n sin x x y x x x x   =  +

说明：1)对幂指函数=u可用对数求导法求导In y=vlnuu'vyy'='lnuuuyy'=u"(v'lnu+uy'=u"Inu.y' +vu"-注意:按指数函数求导公式按幂函数求导公式目录上页下页返回结束机动

1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v ln u y y  1 = v  ln u u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意:

2)有些显函数用对数求导法求导很方便(a>0,b>0,=1)例如，V=两边取对数Iny=xln=+a[lnb-Inx]+b[lnx-Inab两边对x求导bxX七nx北目录上页下页返回结束机动

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 =  y y b a ln x a − x b + + b a x ln a [ l n b − l n x ] + b [ l n x − l n a ]

(x -1)(x-2)又如,V-V(x -3)(x - 4)(In|ul)'= "两边取对数In|x-1|+ In|x-2| - In|x-3|-In x - 4|1对x求导x-2x-3(x-1)(x-2)2 V(x-3)(x-4)YX一目录上页下页返回结束机动

又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u  (ln ) =  2 1 ln y = 对 x 求导  2 1 =  y y   4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 l n x − 1 + l n x − 2 − l n x − 3 − l n x − 4  + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x  4 1 − − x

二、由参数方程确定的函数的导数x=Φ(t)若参数方程可确定一个y与x之间的函数y=y(t)关系, (t),(t) 可导, 且[p'(t)] +[y'(t)]? ±0, 则β'(t)± 0 时, 有dy_dy dt_dy ltdxdt dxdt dx@'(t)dty'(t) 0时,有dx dx dt dx 1@(t)dydydt dydty'(t)dt（此时看成x是y的函数目录上页下页返回结束机动

二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则  (t)  0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     =  (t)  0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系

若上述参数方程中(t),w(t)二阶可导，且(t)±0则由它确定的函数y=f(x）可求二阶导数x=p(t)，可得利用新的参数方程dy_ y'(t)dxo'(t)d? yddyddydxdx?dxdxdtdxdty"(t)p'(t)-y'(t)p"(t)(tDp(t)"(t)p(t)-y'(to"(t)jx-xi+5(t)D目录上页下页返回结束机动

若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2  t  (t) (t) − (t) (t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t         −   = 3 x yx xy   −  = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y     = x =  (t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得