《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第5章 定积分及其应用 第一节 定积分的概念及性质

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第5章 第一节 定积分的概念及性质 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质

一、定积分问题举例h矩形面积=ahh梯形面积==(a+b)bCh1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线Vy= f(x)y=f(x) (f(x)≥0)A=?及x轴，以及两直线x=a,x=b0所围成，求其面积A，ba目录上页下页返回结束机动

一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . A = ? y = f ( x ) 矩形面积 梯形面积

解决步骤：1）大化小在区间[a，b]中任意插入n-1个分点a = Xo < Xi < X2 <..<Xn-1 < Xn = b用直线x=x将曲边梯形分成n个小曲边梯形2)常代变。在第i个窄曲边梯形上任取iE[xi-1，xi]V作以[xi-1,x,]为底，f(并以此小为高的小矩形，梯形面积近似代替相应oaxbxXi-1 XiAi,得窄曲边梯形面积5iAA, = f(S)Axi(△xi = Xi - Xi-1i=1,2,.,n目录上页返回结束机动下页

1 x i x i−1 a x y o 解决步骤 : 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b = 0  1  2    n−1  n = [ , ] i i 1 i x x  −  用直线 i x = x 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 [ , ] i 1 i x x − 为底 , ( )i f  为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 ( ) ( )  i  i  i  i = i − i−1 A f  x x x x i

3）近似和nnA=ZAA; ~Zf(E)Axii=1i=-14）取极限.令元=max△x则曲边梯形面积l<i<nnA= limAA1-0i=1nEJlimf(E)Axi10oaxi-1bxXi-1 XiSi目录上页下页返回结束机动

3) 近似和.  = =  n i A Ai 1  =   n i i i f x 1 ( ) 4) 取极限.令 则曲边梯形面积  → = =  n i A Ai 1 0 lim   → = =  n i i i f x 1 0 lim ( )  a y o 1 x i x i−1 x i

2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动已知速度 =v(t)EC[T,T], 且v(t)≥0，求在运动时间内物体所经过的路程s解决步骤：1)大化小.在[T，T]中任意插入n-1个分点，将它分成n个小段【ti-1,t,](i=l,2,",n),在每个小段上物体经过的路程为 △si(i=l,2,.",n)2)常代变任取;[ti-1,ti]，以v(s)代替变速，得△s, ~ v(E)Ati(i=l,2,.".,n)目录上页下页返回结束机动

2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 常代变. 得 i i i  s  v( )t (i = 1, 2,  , n) 已知速度 n 个小段 过的路程为

3）近似和nXv(s)Ati52i-14）取极限n>s= lim(a= max △t)v(si)Ati2>0i<nl上述两个问题的共性·解决问题的方法步骤相同“大化小，常代变，近似和，取极限·所求量极限结构式相同特殊乘积和式的极限目录上页下页返回结束机动

3) 近似和. 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

二、定积分定义(P225)设函数f(x)定义在[a,b]上，若对[a,b]的任一种分法α= xo <xi<x2<..<xn =b,令△x; = x;-xi-1,任取nZf()Ax;5,[xi,xi-1] ,只要=max{△x}→0时l≤i≤ni-1总趋于确定的极限I，则称此极限I为函数f（x）在区间rb，记作f(x)dx[a,b]上的定积分5inxi-Ix bxCaXbZ即f(x)dx= limf(5)Axi2-01-1此时称f（x）在［a，b］上可积目录上页下页返回结束机动

o a b x 二、定积分定义 ( P225 ) 任一种分法 , 0 1 2 a x x x x b =      n = 任取 i 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 1 x i−1 xi x  b a f (x) dx 即 =  b a f (x) dx i n i i  f x → =1 0 lim ( )  此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作

[a，b]称为积分区间积分上限n+≥f(5)Ax;f (x)dx= lim10i=1积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即~f(x)dx = ~f(t)dt= f(u)du目录上页下页返回结束机动

=  b a f (x) dx i n i i  f x = → 1 0 lim ( )  积分上限 积分下限 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 积 分 和 [a , b] 称为积分区间 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即  b a f (x) dx  = b a f (t) d t  = b a f (u) d u

定积分的几何意义f(x)>0, Tf(x)dx = A曲边梯形面积曲边梯形面积的负值f(x)<0, /f(x)dx=-AA5HA2bxQ~ f(x)d x = Al - A2 + A3 - A4 + As各部分面积的代数和目录上页下页返回结束机动

定积分的几何意义: 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 a b y x A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 f (x) d x A A A A A b a = − + − +  各部分面积的代数和

可积的充分条件：定理l.函数f(x)在[a,b]上连续>f(x在[a,b]可积定理2.函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点>f(x）在[a,b|可积（证明略）1例1.利用定义计算定积分dx01解：将[0,1] n等分,分点为x;=i(i=0,1,...,n)取5; =, Ax, =n (i=1,2,..,n)1则i1xf(5)Ax; = 52Ax, =Nn目录上页下页返回结束机动

o 1x y n i 定理1. 定理2. 且只有有限个间断点 可积的充分条件: (证明略) 例1. 利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取 2 y = x i i i i f x = x 2 则 ( )  3 2 n i =