《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第3章 微分中值定理与导数的应用 第三节 泰勒公式

第三节泰勒公式第3章理论分析用多项式近似表示函数一应用近似计算一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用返回下页

第3章 二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算

泰勒公式的建立一、在微分应用中已知近似公式y= f(x)f(x)= f(xo)+ f'(xo)(x -xopi(x)p,(x)x的一次多项式+x特点: Pi(xo)= f(xo)Xo x以直代曲pi(xo)= f'(xo)如何提高精度需要解决的问题如何估计误差?目录上页下页返回结束机动

特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f  x 一、泰勒公式的建立 f ( x ) x y y = f ( x ) o ( ) ( ) ( ) 0 0 0  f x + f  x x − x 以直代曲 x0 ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式

1.求n次近似多项式Pn(x）要求：Pn(xo)= f(xo), P(xo) = f(xo), ..,p(m)(xo)= f(n) (x0)Pn(x)= ao+ ai(x -xo)+a2(x - xo)? + ...+an(x - xo)令a+2a2(x-xo)+..+nan(x-xo)n-1则pn(x) =2!a2 + ..+n(n -1)an(x - xo)n-2pn(x) =n!anp(")(x) =ao = pn(xo)= f(xo)ai = pn(xo)= f(o)a2 =P"(xo)="(xo), . ,an=pmm)(xo)= f(n)(xo)故 Pn(x)= f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+ 2f"(xo)(x - xo)?+ .+ f(n)(xo)(x- xo)目录上页下页返回结束机动

1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n =  ( ), 0 = f  x  , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f  x x − x +  2! 1 ! 1 n n n f ( x ) ( x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f ( x ) ( x − x ) 2! 1 令 pn ( x) = 则 pn  ( x) = pn ( x) = n p (n) ( x) = n!a n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n =  ( ), 0 = f  x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n  n a x x 2 2 !a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n  n n a x x a0 n n a ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 +  + −

2.余项估计令R,(x)= f(x)- P,(x)(称为余项)，则有R,(xo)= R′(xo) = ... = R(n)(xo)= 0R,(x)(x-xo)n+iR'(E)Rn(x)- R,(xo)(5i在x与x之间）(x-xo)n+1- 0 ((n + 1)(51 - xo)R"(52)R,(1) - R'(xo)(52 在xo与(n+ 1)(5i - xo)"- 0 (n+ 1)n(52 - xo)"-1I1之间)..R("(E,)- R"(xo) _ R(n+)(E)（在xo与x之间）(n+1)...2(5n - xo)- 0(n+l)!上页目录下页返回结束机动

) 0 ( 在 x 与  n 之 间 ( ) ( ) 1 0 + − = n nx x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n nn + − =   2. 余项估计 R ( x) f ( x) p ( x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n =  ( ) 0 0 ( ) = = R x = n  n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + −  =  ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R+ −  =   1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + −  = n n n n x R  =  ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R nn  则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n −  − 0( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在 x 与 x 之 间) 12 0 ( 之间在 与  x

Rn(x)= f(x)- pn(x)R(n+1)(5)R,(x)(在xo与x之间）(x-xo)n+1(n+1)!(n+1)(x)=0, :. R(n+1)(x)= f(n+)(x)2f(n+)(E)(x-x0)n+1R,(x)=(在x。与x之间)(n +1)! / f(n+I)(x)|≤M 时当在xo的某邻域内Mn+1[R,(x)/≤x-Xo(n + 1)!: Rn(x) = o((x - xo)")(x→ Xo目录上页下页返回结束机动

R ( x) f ( x) p ( x) n = − n ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ( ) 0 , ( 1) = + p x n  n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + +  = 当 在 x0 的某邻域内 f ( n+1) ( x)  M 时 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 1 0 ( 1)! ( ) + − +  n n x x n M R x ( ) ( ( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n  n = − →

泰勒中值定理若f(x）在包含xo的某开区间（a,b）内具有直到n+1阶的导数,则当 xE(αa,b)时,有+f"(xo)(x)= f(xo) + f'(xo)(x - xo) +x-x2!Xo(x - xo)"+ R,(x)1n!f(n+)(E)(x -x0)n+1其中R,(x)=（在X。与x之间）(n +1)!公式①称为f(的n阶泰勒公式公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项目录上页下页返回结束机动

公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f  x x − x 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x −  + +  n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R ( x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  ② 则当 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间

注意到R,(x) = o[(x- xo)n]在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为J()= (0)+ (x0)(x-x0) +"(c)+：(x-xo2!Xo(x- xo)" +o[(x - xo)"]+4n!公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano）余项*可以证明f(x）在点xo有直到n阶的导数④式成立目录上页下页返回结束机动

公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x − x0 ) +  2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [ ( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立

f"(xof(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+·(x -xo)2！(nx- 0)*+ (()Xo)n+1(x- xo)Xn!(n+l)!（在xo与x之间）特例：(1）当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理f(x)= f(xo) + f'()(x - xo)（在Xo与x之间）(2）当n=1时，泰勒公式变为f"(E)f(x) = f(xo)+ f'(xo)(x - xo)+x-Xo2（在xo与x之间） f(x)~f(xo)+ f'(xo)(x-xo)可见dfR(x)=(5)误差(x-xo)2（在xo与x之间）2!上页目录下页返回结束机动

特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 + f   x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f  x x − x 2 0 ( ) 2 ! ( ) x x f −  +  可见 误差f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f  x x − x +  1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f  2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间) 0 ( 在 x 与 x 之 间 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间

又 xo = 0 ,= 0 x (0<0<1),则有在泰勒公式中若取(n) (0)f"(O)福nf(x)= f(O)+ f'(0)x -人2!n!f(n+1 (0 x)gn+(n+l)!）公式，称为麦克劳林（Maclaurin由此得近似公式(0f(x) = f(O) + f'(o)x +2！n!若在公式成立的区间上f(n+1)(x）≤M.则有误差估计式Mn+1[R,(x)|≤?(n+1)目录上页下页返回结束机动

称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 =  =  x    则有 f (0) + f (0) x 2 +  2 ! (0) x f  + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f ( x) = ( ) 0 f x ( ) ( ) 0 0 + f  x x − x +  1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f  2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 f ( x)  f (0) + f (0) x +  ( ) , ( 1) f x M n  + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + +  n n x n M R x 2 2 ! (0) x f  + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 由此得近似公式

二、几个初等函数的麦克劳林公式(l) f(αx)=erf(k)(x)=e*, f(k)(0)=1 (k =1,2,..)+ R,(x)1+x+2!3!n0xen+1其中(0<0<1)Rn(x)=(n+l)!目录上页下页返回结束机动

二、几个初等函数的麦克劳林公式 ( ) , (k ) x  f x = e (0) 1 ( 1, 2 , ) f ( k ) = k =  x  e = 1 + x 3! 3 x + +  n! x n + R ( x) + n 2! 2 x + 其中