《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第6章 向量代数与空间解析几何 第五节 平面及其方程

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第6章 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角

平面的点法式方程设一平面通过已知点 M。（xo，o，2。）且垂直于非零向量n=（A,B,C),求该平面II的方程n任取点M(x,y,z)eⅡI,则有LDMCMoMInO故XMoM.n=0MoM=(x - xo,- yo,z- zo)A(x - Xo)+ B(y - yo)+C(z- zo)= 0称n为平面Ⅱ的法向量称式为平面Ⅱ的点法式方程目录上页返回结束机动下页

 z x y o M 0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 A x − x + B y − y + C z − z = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点 M ( x, y, z)   , 法向量. 量 n = ( A , B , C ) , M M ⊥ n 0 0 M 0M  n = 则有 故 称 n 为平面  的

例1.求过三点M(2.-1,4),M2(-1,3.-2),M3(0,2,3)的平面Ⅱ的方程n解：取该平面ⅡI的法向量为n=M,M2×M,MM1M3k1Ⅱ4-6-3二-23-1=(14, 9, -1)又M,EII，利用点法式得平面IⅡI的方程14(x -2) +9(v +1) -(z -4) = 0即14x+9y-z-15=0目录上页下页返回结束机动

i j k = 例1.求过三点 , 又 M 1   = (1 4 , 9 , − 1) 即 M1 M 2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M 1M 2  M 1M 3

此平面的三点式方程也可写成说明：x-2y+1 z-44=0-63-1一般情况：过三点 Mk(xk,k,zk）（k=1,2,3)的平面方程为x-Xiy-yiZ-Z1=0X2-X1Z2 - Z12-y1X3-Xi y3-y1Z3-Z1目录上页下页返回结束机动

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y + 1 z − 4 一般情况 : 过三点 M ( x , y , z ) (k = 1, 2 , 3) k k k k 的平面方程为 说明:

特别，当平面与三坐标轴的交点分别为ZRP(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时，平面方程为福O==1(a,b,c±0)此式称为平面的截距式方程分析：利用三点式X-OLC二(x -a)bc-y(-a)c+ zab = 0按第一行展开得即bcx+acy+abz=abc目录上页下页返回结束机动

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + = 1 c z b y a x 时, (a , b , c  0) ( x − a)b c − y (−a)c + zab = 0 bcx + acy +ab z = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c

平面的一般方程·设有三元一次方程Ax+ By+Cz+ D = 0(A? +B? +C2± 0)任取一组满足上述方程的数xo,yo,2o，则Axo + Byo + Czo + D= 0以上两式相减，得平面的点法式方程A(x - xo)+ B(y-yo)+C(z -zo) = 0显然方程②与此点法式方程等价因此方程②的图形是法向量为n=（A,B,C)的平面此方程称为平面的一般方程目录上页返回结束机动下页

二、平面的一般方程 • 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 A x + B y + C z + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 A x0 + B y 0 + C z 0 + D = 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0 ) 2 2 2 A + B + C  ② n = ( A, B,C ) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程

Ax+By+Cz+D = 0 (A2+B2+C20)特殊情形·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面·当A=0时,BV+Cz+D=0的法向量n=（O,B,C）li,平面平行于x轴·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面·Ax+By+D=0表示平行于轴的平面·Cz+D=0表示平行于xoV面的平面·Ax+D=0表示平行于yoz面的平面；·By+D=0表示平行于zox面的平面目录上页返回结束机动下页

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 A x + B y + C z + D = 0 ( 0 ) 2 2 2 A + B + C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0, B,C ) ⊥ i

例2.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程解：[因平面通过x轴，故A=D=0设所求平面方程为By+Cz= 0代入已知点（4，-3,-1)得C=-3B化简，得所求平面方程y-3z=0例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程（P327例4，自己练习）目录上页下页返回结束机动

例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 B y + C z = 0 代入已知点 (4 , − 3 , − 1) 得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练习)

三、 丙两平面的夹角两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角设平面的法向量为 ni=（A,B,C)nin0.平面的法向量为 n2=（A2,B2,C2）则两平面夹角0的余弦为12ni·n2COSA=I01nin2即AjA2 + B,B2 +C,C2cosO=A? + B? +C2 A2?+ B,?+C2目录上页返回结束机动下页

三、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 + C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B + C 2 1 2 1 2 A1 + B + C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2  n2 n1  ( , , ) 1 A1 B1 C1 n = ( , , ) 2 A2 B2 C2 n = 1 2 1 2 cos n n n  n  =

II : ni =(Aj, Bi, Ci)ni·n2cosO=niinII2 : n2 =(A2, B2, C2)特别有下列结论n21(I) ,>2AA2+BB2+ Ci C2= 011ni // n2V(2) 11, // 112nAi= Bin=CCB2A2112II目录上页返回结束机动下页

2 特别有下列结论 ： 1 2 (1)  ⊥  0 A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 1 2 (2)  //  2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = : ( , , ) : ( , , ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n A B C n A B C  =  = 1 1 2 1 2 1 2 cos n n n  n  = 1 2 n ⊥ n 1 2 n // n n2 n1 n2 n1