《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第四节 重积分的应用

第四节 重积分的应用第8章一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力下页返回

第8章 第四节 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力

1.能用重积分解决的实际问题的特点分布在有界闭域上的整体量所求量是对区域具有可加性2.用重积分解决问题的方法·用微元分析法（元素法）建立积分式·从定积分定义出发3.解题要点画出积分域选择坐标系、确定积分序定出积分限、计算要简便目录上页下页返回结束机动

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 所求量是 对区域具有可加性 • 从定积分定义出发 建立积分式 • 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法

一、立体体积·曲顶柱体的顶为连续曲面z=f(x,y),（x,J)ED则其体积为V = J, (x, )dxdy·占有空间有界域Q的立体的体积为dxd ydz目录上页下页返回结束机动

一、立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为  = D V f (x, y)dxd y • 占有空间有界域  的立体的体积为  V = dxd ydz

例1.求曲面 Si:z=x2+y2+1任一点的切平面与曲面S2:z=x2+y~所围立体的体积V解：曲面 S在点（xo，Jo，zo）的切平面方程为z = 2xox+2yoy+1-x - yo它与曲面 z=x2+2的交线在 xoy面上的投影为(x-xo）2+(y-yo）2=l(记所围域为D）V= [f,[2xox+2yoy+1-xo? - yo2-x? - y?]d xd yJ,[1-((x - xo)? +(y- yo)?)]dxd y令x-xo =rcos, -yo=rsin2元元J,r?.rd rd@=n-deA.2C目录上页返回结束机动下页

任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 S1 的切平面方程为 2 0 2 0 0 0 z = 2 x x + 2 y y + 1 − x − y 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 ( ) ( ) 1 2 0 2 x − x0 + y − y = V   x y D d d   = 2 2 − x − y 2 0 2 0 0 0 2 x x + 2 y y + 1 − x − y   x y D 1 d d  = − ( ) 2 0 2 0 ( x − x ) + ( y − y ) =  − cos , sin  0 0 令 x − x = r y − y = r 2  = (记所围域为D ) 在点   D r r d r d  2 例1. 求曲面 =  − d r d r 1 0 3 2 0    

例2.求半径为α的球面与半顶角为α的2ai内接锥面所围成的立体的体积:M解：在球坐标系下空间立体所占区域为0≤r≤2acosa2:0≤≤αVX0≤0≤2元dy=rsinoded@d则立体体积为2acosp2元rα2v= JI.de1drdxdydzsinodgJOJO16元a4元aQcos'psin pd p1-cosα303目录上页下页返回结束机动

x o y z 2a 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为  : 则立体体积为  V = dxd ydz  2 cos 0 2 d a r r      cos sin d 3 1 6 0 3 3  = a (1 cos ) 3 4 4 3   = − a 0  r  2a cos  0     0    2     0 sin d  =   2 0 d d v r sin d d dr 2 =      r M

二、曲面的面积设光滑曲面 S:z=f(x,y),(x,y)DSMS则面积A可看成曲面上各点M（x,y,z）处小切平面的面积dA无限积累而成2设它在D上的投影为do，则dg1do =cosy·dAnCOSY=(1+ fx(x,y)+ f,(x,y)AdAdA= /1+ f2(x,y)+ f,(x,y) doMIdo2（称为面积元素）目录上页下页返回结束机动

 M d A z d n 二、曲面的面积 x y z S o 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M ( x, y, z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d  = cos   d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y  = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则   M n  d

故有曲面面积公式A= J, /1+ f?(x, y)+ f,2(x,y) dc+()2即1+()2 +dxdyA=J若光滑曲面方程为x= g(y,z),(y,z) D=,则有X)dydz目录上页下页返回结束机动

故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2  = + + D x y A f x y f x y x y y z x z A D 1 ( ) ( ) d d 2 2    +   = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , D y z x = g y z y z  则有 Dy z 即

若光滑曲面方程为 =h(z,x)（z,x)ε D=x,则有+()222dzdxax若光滑曲面方程为隐式 F(x,y,2)=0,且 F,≠0,则H?azd拉(x, y) e DxyaxFVd1F?+F,?+F?dxdyDxy目录上页下页返回结束机动

z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2   +   = +  若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = h z x z x  若光滑曲面方程为隐式 则 则有 x y z y z x x y D F F y z F F x z = −    = −   , , ( , )   A = Dx y Dz x z x y z F F F F 2 2 2 + + 且 dx d y

例3.计算双曲抛物面z=xy被柱面x2+2=R2所截出的面积A解：曲面在xoy面上投影为Dx2+2≤R2,则A=[J,/1+=?+z,2 dxdyJJ, V1+x?+y2 dxdydefeVi+r?rdr2元[(1+ R2)% -1)]3目录上页下页返回结束机动

例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 : , 2 2 2 D x + y  R 则 A z z x y D x y 1 d d 2 2  = + + x y x y D 1 d d 2 2  = + + r r r R d 1 d 0 2 2 0   = +   [(1 ) 1)] 3 2 2 3 2 =  + R − 出的面积 A

例4.计算半径为α的球的表面积asinpde解：方法1利用球坐标方程de二★设球面方程为r=aasing球面面积元素为DdA=α’ sinddadp21九Vdelsin pdpA=ax=4元α2方法2利用直角坐标方程（见书P109）目录上页下页返回结束机动

例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = a 球面面积元素为 d sin  d d 2 A = a    =      0 2 0 2 A a d sin d 2 = 4 a a sin ad 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程.   a x y z o d a sin d