《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第6章 向量代数与空间解析几何 第六节 空间直线及其方程

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第6章 第六节 空间直线及其方程 一、空间直线方程 二、线面间的位置关系

一、空间直线方程1.一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程Aix+ Biy+Ciz+ D, = 0Azx+B2y+C2z+D2=0(不唯一)LⅡ目录上页下页返回结束机动

一、空间直线方程 x y z o 0 A1 x + B1 y + C 1 z + D 1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一)

2.对称式方程已知直线上一点M。（xo,yo,zo）和它的方向向量s=(m,n,p)，设直线上的动点为M(x,y,2)则MoM//s(M (x,y,z)x-xoZ-Zo-y-yo故有Mo(xo,yo,zo)mpn此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程说明：莫某些分母为零时，其分子也理解为零例如,当m=n=0,p±0时，直线方程为x= Xo(y= yo目录上页下页返回结束机动

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x − 0    = = 0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M ( x , y , z ) n y y − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M ( x, y, z) 例如, 当 m = n = 0, p  0 时, 和它的方向向量

3.参数式方程x-xo-y-yoZ120设一1mnp得参数式方程：x=xo+mty= yo+ntz = zo +pt上页目录下页返回结束机动

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + m t 0 y = y + n t 0 z = z + p t 0

例1.用对称式及参数式表示直线x+y+z+l=02x-y+3z+4=0解：先在直线上找一点y+z=-2得 =0, z= -2令x=1,解方程组y- 3z = 6故（1,0,-2)是直线上一点再求直线的方向向量s交已知直线的两平面的法向量为ni =(1, 1, 1),nz =(2, -1,3)$ini,sn2.: s=nixn2目录上页下页返回结束机动

例1.用对称式及参数式表示直线 解:先在直线上找一点. 3 6 2 − = + = − y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = 0 , z = −2 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . s . 1 2  s ⊥ n , s ⊥ n 1 2  s = n  n

ki=nixn2=１１=(4,-1,-3)2 -13x-1Z+2y故所给直线的对称式方程为x=1+4t参数式方程为y=-tz=-2-3t解题思路：先找直线上一点；再找直线的方向向量目录上页下页返回结束机动

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = t 4 x −1 −1 = y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. = (4 , − 1, − 3) 1 2 s = n  n 2 1 3 1 1 1 − = i j k

线面间的位置关系·1.两直线的夹角两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角设直线L，，L，的方向向量分别为LSSi=(mi, ni,Pi), S2 =(m2, n2, P2)L5则两直线夹角?满足S2S1·S2COS@=Sil32m,m2 +njn2 + PiP2m+nj+ piVm,"+n+p1目录上页返回结束机动下页

L2 L1  二、线面间的位置关系 • 1. 两直线的夹角 则两直线夹角  满足 1 2 设直线 L , L = 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 m m + n n + p p 2 1 2 1 2 1 m + n + p 2 2 2 2 2 2 m + n + p 1 2 1 2 cos s s s  s  = 1 s 2 s

特别有：(1) 2mjm2 + njn2 + P1P2 = 0(2) L/ // L2 <> Si / 2mi-ni-Pim2n2 P2上页结束机动目录下页返回

特别有: 1 2 (1) L ⊥ L 1 2 (2) L // L 0 m1m2 + n1 n2 + p1 p2 = 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 1 2 s ⊥ s 1 2 s // s

例2.求以下两直线的夹角x+y+2=0Z+3x-1VVL1X+2z=0-4解：直线L的方向向量为 Si=(1, -4,1)ijk直线L,的方向向量为,=11C=(2,-2,-1)02二直线夹角?的余弦为1×2 +(-4)×(-2)+1×(-1)12cos2/12 +(-4)2 +12 /22 +(-2)2 +(-1)2元从而（参考P332例2）4目录上页下页返回结束机动

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 (参考P332 例2 )    + = + + = 2 0 2 0 : 2 x z x y L cos = 从而 4   = 的方向向量为 的方向向量为 = (2 , − 2 , − 1) 1 2 + (−4)  (−2) + 1 (−1) 2 2 2 1 + (−4) + 1 2 2 2 2 + (−2) + (−1) 1 0 2 1 1 0 2 i j k s =

2.直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线所夹锐角?称为直线与平面间的夹角元当直线与平面垂直时，规定其夹角nS设直线L的方向向量为=（m,n,p)D平面II的法向量为 n=（A,B,C）II自?满足则直线与平面夹角sin@=cos( s, nAm+Bn+Cps.nSTm"+n"+p*A?+B?+C2目录上页下页返回结束机动

当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; L  2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向向量为 平面  的法向量为 则直线与平面夹角  满足  2 2 2 2 2 2 m n p A B C Am Bn C p + + + + + + = 直线和它在平面上的投影直 s = (m , n , p) n = ( A , B ,C ) ︿ sin  = cos( s , n ) s n s  n = s n