《高等数学》课程教学实验指导（下）

第八章1.利用计算机作出下列二元函数的图形以及它们的等量线图：-3y(1) f(x, y) = -xye-r(2) f(x,y) =x2 + y2+1(3) f(x, J)=sin /x2 +y2解这三题作图方法一样，先定义函数，再作等量线图，所选区域不同。(1)键入Clear[f];f[x_,y_]:=-x y Exp[-x^2-y^2];ContourPlot[f[x,y],(x,-1,1),(y,-1,1),ContourShading->False]等量线见图8-1.(2)源程序为Clear[f];f[x_,y_]:=-3 y/(x^2+y^2+1)ContourPlot[f[x,y],(x,-10,10),(y,-5,5),ContourShading->False,Contours->20]等量线见图8-2.(3）源程序为Clear[f]; f[x_y_ ]:=Sin[(x^2+y^2)(1/2)]ContourPlot[f[x,y],(x,-1,1),(y,-1,1),ContourShading->False]等量线见图8-3.0.50.5图8-1图8-2图8-321.设f(x,)=x2+xy3-2y2，求出f，J,JyJ和,并用计算机作出这5个函数的图形，从图上观察偏导数的几何解释解计算f，f,f,fy,fu和fw，源程序为Clear["*",x,y];f[x_,y_]:=x±2+x2 y^3-2 y^2fx[x_,y_ J-D[f[x,y],x];fy[x_,y ]=D[f[x,y],y];fxx[x_,y_J=D[fx[x,y],x];fxy[x_,y_]=D[fx[x,y],y];fyy[x_y_]-D[f[x,y],(y,2];定义函数前，首先要清除已定义的函数，否则无法重新定义函数．f(x,J)的作图程序为Plot3D[f[x,y],(x,-1,1),(y,-1,1)]

第八章 1. 利用计算机作出下列二元函数的图形以及它们的等量线图： (1) 2 2 ( , ) x y f x y xye − − = − ; (2) 1 3 ( , ) 2 2 + + − = x y y f x y ; (3) 2 2 f (x, y) = sin x + y . 解 这三题作图方法一样，先定义函数，再作等量线图，所选区域不同． (1)键入 Clear[f];f[x_,y_]:=-x y Exp[-x^2-y^2]; ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourShading->False] 等量线见图 8-1． (2) 源程序为 Clear[f];f[x_,y_]:=-3 y/(x^2+y^2+1) ContourPlot[f[x,y],{x,-10,10},{y,-5,5},ContourShading->False,Contours->20] 等量线见图 8-2． (3) 源程序为 Clear[f]; f[x_,y_]:=Sin[(x^2+y^2)^(1/2)] ContourPlot[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1},ContourShading->False] 等量线见图 8-3． 图 8-1 图 8-2 图 8-3 21.设 2 2 3 2 f (x, y) = x + x y − 2y ，求出 x y xy xx f , f , f , f 和 yy f 并用计算机作出这 5 个函数的 图形，从图上观察偏导数的几何解释． 解 计算 x y xy xx f , f , f , f , f 和 yy f ，源程序为 Clear[“f*”,x,y]; f[x_,y_]:=x^2+x^2 y^3-2 y^2 fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; fxx[x_,y_]=D[fx[x,y],x]; fxy[x_,y_]=D[fx[x,y],y]; fyy[x_,y_]=D[f[x,y],{y,2}]; 定义函数前，首先要清除已定义的函数，否则无法重新定义函数． f (x, y) 的作图程序为 Plot3D[f[x,y],{x,-1,1},{y,-1,1}]

其它函数的作图程序相似，f，f,f,,f和f,的图形见图8-4一8-9图8-4图8-5图8-5图8-6图8-7图8-9偏导数]()为交线[=*+-2产在(g)点沿本轴方向的切线斜率y=yo2.在同一屏幕上显示下列曲面、曲面在指定点处的切平面和法线，注意选取恰当的视角以清楚地显示这些图形：(1) = = 2x2 +y2,点(1,1,3),(2)xyz=6,点(1,2,3);(3)z=x3 +2xy,点(1,2,5)解（1）先定义函数及其一阶偏导数，键入Clear["f*",“"x*", “"y*", "z*", “"s*"]f[x_y_]:=2 x^2+y^2;fx[x_,y_]=D[f[x,y],x];fy[x_,y_]-D[f[x,y],y];求切平面如下x0=1; y0=1; z0=f[x0,y0];fq[x_,y_J=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0),显示曲面及指定点处的切平面和法线程序s1=Plot3D[f[x,y], (x,-1,2),(y,-1,2),PlotRange->(0,10]]s2=Plot3D[fq[x,y], (x,-1,2),(y,-1,2)]s3=ParametricPlot3D[(x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t), (t,-0.5,0.5)]叠加图程序Show[sl,s2,s3]叠加图见图8-10（2）与（1）的方法一样，源程序为Clear["f*",“"x*",“y*"“"z*"“"g*

其它函数的作图程序相似， x y xy xx f , f , f , f , f 和 yy f 的图形见图 8-4—8-9 图 8-4 图 8-5 图 8-5 图 8-6 图 8-7 图 8-9 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 为交线    = = + − 0 2 2 3 2 2 y y z x x y y 在 ( , ) 0 0 x y 点沿 x 轴方向的切线斜率． 2. 在同一屏幕上显示下列曲面、曲面在指定点处的切平面和法线，注意选取恰当的视 角以清楚地显示这些图形： (1) 2 2 z = 2x + y ,点(1,1,3); (2)xyz=6,点(1,2,3)； (3) z x 2xy 3 = + ,点(1，2，5). 解 (1) 先定义函数及其一阶偏导数，键入 Clear[“f*”, “x*”, “y*”, “z*”, “s*”] f[x_,y_]:=2 x^2+y^2; fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; 求切平面如下 x0=1; y0=1; z0=f[x0,y0]; fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0); 显示曲面及指定点处的切平面和法线程序 s1=Plot3D[f[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2},PlotRange->{0,10}] s2=Plot3D[fq[x,y],{x,-1,2},{y,-1,2}] s3=ParametricPlot3D[{x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t},{t,-0.5,0.5}] 叠加图程序 Show[s1,s2,s3] 叠加图见图 8-10 （2）与（1）的方法一样，源程序为 Clear[“f*”, “x*”, “y*”, “z*”, “s*”]

x0=1;y0=2;f[x_y_ 1:=6/(xy);fx[x_,y_J=D[f[x,y],x];fy[x_,y_]=D[f[x,y],y];z0=f[x0,y0];fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0);s1=Plot3D[f[x,yl,(x,0.1,3),(y,0.1,3),PlotRange->(1,4)]s2=Plot3D[fq[x,y], (x,0.1,3),(y,0.1,3]]s3=ParametricPlot3D[(x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t), (t,-0.6,0.6)]Show[s1,s2,s3]输出见图8-11.（3）源程序为Clear["*", “x*", "y*", “z*",“"s*"]x0=1;y0=2; f[x_y_]:=x^3+2 xy;fx[x_y_]=D[f[x,y],x];fy[x_,y_]=D[f[x,y],y];z0=f[x0,y0];fq[x_,y_=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0);s1=Plot3D[f[x,y], (x,0,4),(y,1,3)]s2=Plot3D[fq[x,y], (x,0,4),(y,1,3]s3=ParametricPlot3D[(x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t), (t,-0.2,0.2)]Show[sl,s2,s3]输出见图8-12.20图8-11图8-12图8-10

x0=1;y0=2;f[x_,y_]:=6/(x y); fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; z0=f[x0,y0];fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0); s1=Plot3D[f[x,y],{x,0.1,3},{y,0.1,3},PlotRange->{1,4}] s2=Plot3D[fq[x,y],{x,0.1,3},{y,0.1,3}] s3=ParametricPlot3D[{x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t},{t,-0.6,0.6}] Show[s1,s2,s3] 输出见图 8-11. （3）源程序为 Clear[“f*”, “x*”, “y*”, “z*”, “s*”] x0=1;y0=2; f[x_,y_]:=x^3+2 x y; fx[x_,y_]=D[f[x,y],x]; fy[x_,y_]=D[f[x,y],y]; z0=f[x0,y0];fq[x_,y_]=z0+fx[x0,y0](x-x0)+fy[x0,y0](y-y0); s1=Plot3D[f[x,y],{x,0,4},{y,1,3}] s2=Plot3D[fq[x,y],{x,0,4},{y,1,3}] s3=ParametricPlot3D[{x0+fx[x0,y0] t,y0+fy[x0,y0] t,z0-t},{t,-0.2,0.2}] Show[s1,s2,s3] 输出见图 8-12． 图 8-10 图 8-11 图 8-12

第九章1.利用Mathematica求二重积分[ydo的近似值，其中D为由曲线y=1-x?和y=e所D围成的区域（先利用计算机画出积分区域D，估计出边界交点坐标）解先画出积分区域D，Mathematica程序为Plot[(1-x/2,EAx),(x,-1,1)]输出见图9-11.51.250.750.50.250.50.5图 9-1显然y=1-x?和y=e有一交点(0,1)，解方程1-x=e，可求另一交点设为x=a，则 [ do = [dLdyMathematica程序键入：Clear["a*"]a=x/.FindRoot[1-x^2==Exp[x],(x,- 9) ];NIntegrate[y^2, (y,Exp[a],1),(x,-(1-y)(1/2),Log[y])]结果[ydg~0.051212D2.利用Mathematica求出三重积分[,dy/。dx(xy+zsin4y)dz解Mathematica程序Clear[x,y,z];NIntegrate[x2 y+z Sin[4y], (y,0,1),(x,0,Exply]),(z,x,y^2)]J,dyf。dxf, (x*y+zsin 4y)dz ~-1.6904结果：3.利用Mathematica计算顶点为(0,0,0)，（1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)的四面体的重心坐标，该四面体的体密度为p(x,y,)=x2+y+=解四面体由平面x=0,y=0,z=0和三+兰+号=1围成，根据重心公式，计算如下：1+2+3Clear[x,y,z,"w*"];w=Integrate[x^2+y^2+z^2,(x,0,1),(y,0,2-2*x),(z,0,3-3*x-3*y/2)];wx=Integrate[x(x^2+y^2+z/2),(x,0,1),(y,0,2-2*x),(z,0,3-3*x-3*y/2)]wy=Integrate[y(x^2+y^2+z/2),(x,0,1), (y,0,2-2 x),(z,0,3-3 x-3 y/2)];wz-lntegrate[z(x^2+y^2+z/2),(x,0,1),(y,0,2-2x),(z,0,3-3x-3y/2)];x=wx/w,y=wy/w,z=wz/w,Print[x]; Print[y]; Print[z];

第九章 1.利用 Mathematica 求二重积分   D y d 2 的近似值，其中 D 为由曲线 2 y =1− x 和 x y = e 所 围成的区域（先利用计算机画出积分区域 D，估计出边界交点坐标）. 解 先画出积分区域 D， Mathematica 程序为 Plot[{1-x^2,E^x},{x,-1,1}] 输出见图 9-1 图 9-1 显然 2 y =1− x 和 x y = e 有一交点(0,1)，解方程 x − x = e 2 1 ，可求另一交点设为 x = a， 则   − −  = y e y D y d dy y dx a ln 1 2 1 2 Mathematica 程序键入： Clear[“a*”] a=x/.FindRoot[1-x^2==Exp[x],{x,- 9}]; NIntegrate[y^2,{y,Exp[a],1},{x,-(1-y)^(1/2),Log[y]}] 结果   D y d 2 ≈0.051212. 2. 利用 Mathematica 求出三重积分    + 2 ( sin 4 ) 2 0 1 0 y x e dy dx x y z y dz y . 解 Mathematica 程序 Clear[x,y,z]; NIntegrate[x^2 y+z Sin[4 y],{y,0,1},{x,0,Exp[y]},{z,x,y^2}] 结果：    + 2 ( sin 4 ) 2 0 1 0 y x e dy dx x y z y dz y ≈-1.6904 3. 利用 Mathematica 计算顶点为(0,0,0)，(1,0,0)，(0,2,0)，(0,0,3)的四面体的重心坐标， 该四面体的体密度为 2 2 2 (x, y,z) = x + y + z . 解 四面体由平面 x=0,y=0,z=0 和 1 1 2 3 + + = x y z 围成，根据重心公式，计算如下： Clear[x,y,z,"w*"]; w=Integrate[x^2+y^2+z^2,{x,0,1},{y,0,2-2*x},{z,0,3-3*x-3*y/2}]; wx=Integrate[x(x^2+y^2+z^2),{x,0,1},{y,0,2-2*x},{z,0,3-3*x-3*y/2}]; wy=Integrate[y(x^2+y^2+z^2),{x,0,1},{y,0,2-2 x},{z,0,3-3 x-3 y/2}]; wz=Integrate[z(x^2+y^2+z^2),{x,0,1},{y,0,2-2 x},{z,0,3-3 x-3 y/2}]; x=wx/w;y=wy/w;z=wz/w;Print[x]; Print[y]; Print[z];

4118重心（21217第十章1.莫比乌斯(Mobius)带是一种所谓的单侧曲面，这种曲面的特点形象地说，就是置于曲面上的一只小虫可以不越过曲面的边界而爬到它所在位置的背面，对于这种曲面，就不能定向，也不能讨论通过曲面一侧流到另一侧的流量，因而不能在这类曲面上定义第二类曲面积，其中分，莫比乌斯带的参数方程是：x=r(t,v),y=r(t,v)sint,z=bvsin2r(t,v)=a+bvcos=,a、b为常数，tE[0,2π],vE[-1,1]，试用计算机作出这个曲面的图形，2并观察图形的特点.解取a=2，b=1利用参数方程作图源程序为如下：Clear[r,a,b]a=2;b=1;r[t_,v_]:=a+bvCos[t/2];ParametricPlot3D[(r[t,v]Cos[t],r[t,v]Sin[t],b v Sin[t/2]),(t,02 Pi),(v,-1,1),PlotPoints->20]得图形见图10-1，分别取的（a,b）为（-2，1）（2，4）（2，6）（0，1）（2，100）图形如图10-2—10-6.图10-1图10-2图10-3图10-4图10-5图10-62.（1）使用斯托克斯公式计算曲线积分F.dr，其中：F(x,y,=)=xzi+xy"j+2k，r为平面x+y+z-1和柱面x2+y?=9的交线，若从z轴正向看去，r取逆时针方向；（2）利用计算机画出（1）中的平面和柱面，请仔细选择作图范围以清楚显示交线及（1）中所用积分曲面；

重心 ) 7 8 , 21 11 , 21 4 ( 第十章 1. 莫比乌斯(Mobius)带是一种所谓的单侧曲面，这种曲面的特点形象地说，就是置于曲 面上的一只小虫可以不越过曲面的边界而爬到它所在位置的背面，对于这种曲面，就不能定 向，也不能讨论通过曲面一侧流到另一侧的流量，因而不能在这类曲面上定义第二类曲面积 分 ， 莫 比 乌 斯 带 的 参 数 方 程 是 ： 2 ( , ), ( , )sin , sin t x = r t v y = r t v t z = bv , 其 中 2 ( , ) cos t r t v = a + bv ,a、b 为常数，t∈[0,2π],v∈[-1,1]，试用计算机作出这个曲面的图形， 并观察图形的特点． 解 取 a=2 ，b=1 利用参数方程作图源程序为如下： Clear[r,a,b] a=2;b=1;r[t_,v_]:=a+b v Cos[t/2]; ParametricPlot3D[{r[t,v]Cos[t],r[t,v]Sin[t],b v Sin[t/2]},{t,0,2 Pi},{v,-1,1},PlotPoints->20] 得图形见图 10-1，分别取的（a,b）为（-2，1）（2，4）（2，6）（0，1）（2，100）图形如图 10-2—10-6． 图 10-1 图 10-2 图 10-3 图 10-4 图 10-5 图 10-6 2. （1）使用斯托克斯公式计算曲线积分   F  d r ，其中： F i j k 2 2 2 (x, y,z) = x z + xy + z ， Γ为平面 x+y+z=1 和柱面 9 2 2 x + y = 的交线，若从 z 轴正向看去，Γ取逆时针方向； （2）利用计算机画出（1）中的平面和柱面，请仔细选择作图范围以清楚显示交线Γ及 （1）中所用积分曲面；

（3）试求出交线F的参数方程并利用此方程画出厂的图形[x=3cost,解0≤1≤2元，利用曲线积分（1）将交线T表示为参数方程y=3sint，==1-3cost-3sint.的定义直接计算，Mathematica计算如下：Clear["x*""y*""z*"]x[t ]:=3 Cos[t];y[t :=3 Sin[t];z[t ]:=1-x[t]-y[];xt[t ]-D[x[t],]; yt[t_]-D[y[t],t]; zt[t ]-D[z[t],t]Integrate[x[t]>2 z[t] xt[t]+x[t] y[t]>2 yt[t]+z[t]2 zt[t], (t,0,2 Pi)]]其中T由参数方程x[t ]:=3 Cos[t];y[t ]:=3Sin[];z[t ]:=1-x[]-y[]表示，计算结果 I=81 Pi/ 2.另外可作如下计算：设为平面x+y+2=1被柱面x2+y?=9所截部分上侧，使用斯托克斯公式，曲线积分：「F.dr=xzdx+xydy+2dz=[[xdzdx+ydxdy在xOy上的投影为x2+y?≤9;在xOz上投影为x2+(=+x-1)≤9所以[ x’dzdx+ y dxdy =x°dzdx+[ y° dxdy =81Pi/ 2.x2+(=+x1)2 ≤9x2+y2≤9（2）选择区域x≤4,ly/≤4，作图程序如下：Plot3D[1-x-y,(x,-4,4), (y,-4,4)]ParametricPlot3D[(3 Cos[t],3 Sin[t],u), (t,0,2 Pi), (u,-6,6)]Show[%,%%]输出见图10-7440.图10-7图10-8[x=3cost,（3）的参数方程为y=3sint,0≤1≤2元z=1-3cost-3sint,作图程序如下：x[t_ ]:=3 Cos[t];y[t ]:=3 Sin[t];z[t_ ]:=1-x[t]-y[t]ParametricPlot3D[(x[t],y[t],z[t]),(t,0,2 Pi)]

（3）试求出交线Γ的参数方程并利用此方程画出Γ的图形． 解 （1）将交线Γ表示为参数方程         = − − = = 0 2 1 3cos 3sin , 3sin , 3cos , t z t t y t x t ，利用曲线积分 的定义直接计算，Mathematica 计算如下： Clear[“x*”,”y*”,”z*”] x[t_]:=3 Cos[t];y[t_]:=3 Sin[t];z[t_]:=1-x[t]-y[t]; xt[t_]=D[x[t],t]; yt[t_]=D[y[t],t]; zt[t_]=D[z[t],t] Integrate[x[t]^2 z[t] xt[t]+x[t] y[t]^2 yt[t]+z[t]^2 zt[t],{t,0,2 Pi}] 其中Γ由参数方程 x[t_]:=3 Cos[t];y[t_]:=3 Sin[t];z[t_]:=1-x[t]-y[t]表示，计算结果 I=81 Pi/ 2． 另外可作如下计算：设∑为平面 x+y+z=1 被柱面 9 2 2 x + y = 所截部分上侧，使用斯托 克斯公式，曲线积分：   F  d r =   x zdx + xy dy + z dz 2 2 2   = x dzdx + y dxdy 2 2 . ∑在 xOy 上的投影为 9 2 2 x + y  ;∑在 xOz 上投影为 ( 1) 9 2 2 x + z + x −  . 所以   x dzdx + y dxdy 2 2   + + −  +  = + = ( 1) 9 9 2 2 2 2 2 2 x z x x y x dzdx y dxdy 81Pi/ 2． （2）选择区域|x|≤4,|y|≤4，作图程序如下： Plot3D[1-x-y,{x,-4,4},{y,-4,4}] ParametricPlot3D[{3 Cos[t],3 Sin[t],u},{t,0,2 Pi},{u,-6,6}] Show[%,%%] 输出见图 10-7 图 10-7 图 10-8 （3）Γ的参数方程为         = − − = = 0 2 1 3cos 3sin , 3sin , 3cos , t z t t y t x t . 作图程序如下： x[t_]:=3 Cos[t];y[t_]:=3 Sin[t];z[t_]:=1-x[t]-y[t] ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,0,2 Pi}]

图形如图10-8.第十一章1.利用Mathematica作出函数f(x)=ln(1+x)及其麦顾劳林多项式P(x)的图形i=(1,2,,10)。观察这些多项式逼近f(x)的情况，并与sinx的麦克劳林多项式逼近sinx的情况比较之，试分析两者的差别及造成这种差别的原因。解由题意知：xr()-P(x)= x-23i利用Sum（或Series）函数求P(x)，用“Table”命令构造函数集(P(x)[i=1,2,,10)，然后用“AppendTo”命令把f(x)=In(1+x)也加到函数集中，最后作图，对于sinx处理方法相同，程序如下：Clear[p]p[x_i ]:=Sum[(-1)(n+1) x^n/n,(n,i)]psin[x_,i_J=Sum[(-1)(n)x(2 n+1)/(2 n+1)!,(n,0,(i-1)/2)]t=Table[p[x,i], (i,1,10}]; AppendTo[t,Log[1+x]]s=-Table[psin[x,i], (i,1,13,4)]; AppendTo[s,Sin[x]Plot[Evaluate[t], (x,-0.99,3]]Plot[Evaluate[s], (x,-2 Pi,2 Pi),PlotRange->(-3,3)]以上程序中两个泰勒多项式也可写为：p[x_i ]:=Normal[Series[Log[x], (x,0,i)]psin[x_,i ]:=Normal[Series[Sin[x], (x,0,i]]]运行结果如图11-1和11-2所示42-2-4

图形如图 10-8． 第十一章 1. 利用 Mathematica 作出函数 f (x) = ln(1+ x) 及其麦顾劳林多项式 P(x) i 的图形 i = (1,2,  ,10) 。观察这些多项式逼近 f (x) 的情况，并与 sin x 的麦克劳林多项式逼近 sin x 的情况比较之，试分析两者的差别及造成这种差别的原因。 解 由题意知： i x x x P x x i i i 1 2 3 ( ) 2 3 ( ) + = − + −+ − 利用 Sum（或 Series）函数求 P(x) i ，用“Table”命令构造函数集 {P(x) | i = 1,2,  ,10} i ， 然后用“AppendTo”命令把 f (x) = ln(1+ x) 也加到函数集中，最后作图，对于 sin x 处理 方法相同，程序如下： Clear[p] p[x_,i_]:=Sum[(-1)^(n+1) x^n/n,{n,i}] psin[x_,i_]=Sum[(-1)^(n)x^(2 n+1)/(2 n+1)!,{n,0,(i-1)/2}] t=Table[p[x,i],{i,1,10}]; AppendTo[t,Log[1+x]] s=Table[psin[x,i],{i,1,13,4}]; AppendTo[s,Sin[x]] Plot[Evaluate[t],{x,-0.99,3}] Plot[Evaluate[s],{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-3,3}] 以上程序中两个泰勒多项式也可写为： p[x_,i_]:=Normal[Series[Log[x],{x,0,i}]] psin[x_,i_]:=Normal[Series[Sin[x],{x,0,i}]] 运行结果如图 11-1 和 11-2 所示：

[分析]由于In(1+x)=P,(x)+R,(x)，对任意给定的x。当x1时，可证limR,(x)=00，所以对于任何n，ln(1+x)P,(x)：。Sinx的麦克劳林公式中，对任意给定的x，余项的极限为零，即sinx的麦克劳林多项式逼近sinx。2.贝塞尔函数(Bessel)是一类重要的微分方程的解，它在天体物理和热量分布问题中有重要应用，零阶贝塞尔函数定义为下列幂级数的和函数：Jo(x)=(-1)"x2n“ 22"(nl)2（1）试求出J。（x）的定义域：（2）利用Mathematica在同一屏幕上作出上式右端幂级数的前5项部分和的图形，再作出J。x)的图形（利用内存函数），并从图形上比较函数的逼近情况，(1)设),()=-2-. r：则血-0，所以≥. t收敏域为0解=0 2 2"(nl)2=0oann=0(-1,2)]求得J。(x)的幂级数前5项和函数在区间（-5,5)内的叠加图，键入Plot[BesselJ[0,x], (x,-5,5),PlotRange->(-1,2],PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]求得J。(αx)在区间(-5,5)内的图形（用红线表示），键入

[分析] 由于 ln(1 x) P (x) R (x) + = n + n ，对任意给定的 x。 当 x 1 时，可证 lim ( ) = 0 → R x n n ，所以 n 充分大时 ln(1 x) P (x) +  n ； 当 x 1 时，可证 =  → lim R (x) n n ，所以对于任何 n，ln(1 x) P (x) +  n ；。 sin x 的麦克劳林公式中，对任意给定的 x，余项的极限为零，即 sin x 的麦克劳林多项式逼 近 sin x 。 2. 贝塞尔函数(Bessel)是一类重要的微分方程的解，它在天体物理和热量分布问题中有 重要应用，零阶贝塞尔函数定义为下列幂级数的和函数：   = − = 0 2 2 2 0 2 ( !) ( 1) ( ) n n n n n x J x （1）试求出 ( ) 0 J x 的定义域； （2）利用 Mathematica 在同一屏幕上作出上式右端幂级数的前 5 项部分和的图形，再 作出 ( ) 0 J x 的图形（利用内存函数），并从图形上比较函数的逼近情况． 解 （1）设   = − = 0 2 2 2 0 2 ( !) ( 1) ( ) n n n n n x J x   = = 0 2 n n n a x ; 则 lim 0 1 = + → n n n a a ，所以   =0 2 n n n a x 收敛域为 0 ＜ 2 x ＜+∞，即 ( ) 0 J x 的定义域为-∞＜x＜+∞． （2）在 Mathematica 中 ( ) 0 J x 即为内存函数 BesselJ[0,x]，幂级数的前 5 项部分和及 ( ) 0 J x 的图形可由如下程序作出：键入 Clear[f,n,k,x]; f[x_,n_]:=Sum[(-1)^k x^(2 k)/(2^(2 k) (k!)^2),{k,0,n}] 求得 ( ) 0 J x 的幂级数前 n 项和函数 f[x_,n_]，键入 Plot[{f[x,0],f[x,1],f[x,2],f[x,3],f[x,4]},{x,-5,5},PlotRange->{-1,2}] 求得 ( ) 0 J x 的幂级数前 5 项和函数在区间 (−5,5) 内的叠加图，键入 Plot[BesselJ[0,x],{x,-5,5},PlotRange->{-1,2},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]] 求得 ( ) 0 J x 在区间 (−5,5) 内的图形（用红线表示），键入

Show[%,%%]得J。(x)及J。(x)的幂级数前5项和函数在区间(-5,5)内的叠加图由图11-3可知前5项和很接近J。(x）：211.5-1图11-3X#0,C3.函数x）0x=0.（1）证明：(x)在x=0的邻域内具有各阶导数，且VnN,(n)(O)=0，从而说明(x)的麦克劳林级数不收敛于(x)：（2）利用计算机作出y=(x)的图形并观察函数在x=0附近的性态，说明(x)的麦克劳林公式的余项当x→8并不趋于零解(1）容易求得Bev264461e/sx0,x+0,f"(x)=f(x)=x3t05Ox=0.x=0.JF,(x)e-/rx+0,用归纳法可证f("(x)=0x=0.其中F,(x)为x的3n次多项式，所以VneNf(")(O)=0(x)的麦克劳林级数为0+0+0+收敛于零函数，显然不收敛于(x).(2)Mathematica作图程序如下，键入Clear[f,n,k,x]f[x ]:=Which[x|=0,Exp[-1/x2],x==0,0]作分段函数几x)，键入Plot[f[x], (x,-0.5,1),PlotRange->(0,0.4)]得(x)在区间(-0.5,1)内得图形，由图知(x)在x=0附近几乎为零，当x→8o时(x）→1，由(1）得(x)=0+0+0+0+Rn(x)所以当x-8时Rn(x）→1即(x)的麦克劳林公式的余项当x→8并不趋于零，4.金属导线的电阻率定义为长1m，截面积为1m2的导线在一定温度下的电阻，单位为Qm（欧姆·米）。电阻率随温度的变化而变化，设金属导线的电阻率随温度而变化的关系式为：P(T)=P20e°(T20)，其中T的单位为℃，P20为20℃时的电阻率，α为温度系数，然而除了在极端低温情况下，人们通常用温度的一次或二次多项式来近似表示电阻率p(T)

Show[%,%%] 得 ( ) 0 J x 及 ( ) 0 J x 的幂级数前 5 项和函数在区间 (−5,5) 内的叠加图 由图 11-3 可知前 5 项和很接近 ( ) 0 J x ． 图 11-3 3.函数 f(x)=     =  − 0 0. 0, 2 1/ x e x x （1）证明：f(x)在 x=0 的邻域内具有各阶导数，且 , (0) 0 * ( )   = n n N f ，从而说明 f(x) 的麦克劳林级数不收敛于 f(x)； （2）利用计算机作出 y= f(x)的图形并观察函数在 x=0 附近的性态，说明 f(x)的麦克劳 林公式的余项当 x→∞并不趋于零． 解 (1) 容易求得 f (x) =     =  − 0 0. 0, 2 2 1 / 3 x e x x x f (x) =     = − −  − 0 0. ) 0, 6 4 ( 2 1 / 4 6 x e x x x x 用归纳法可证 ( ) = ( ) f x n     =  − 0 0. ( ) 0, 2 1 / x F x e x x n 其中 F (x) n 为 x 的 3n 次多项式，所以 , (0) 0 * ( )   = n n N f . f(x)的麦克劳林级数为 0+0+0+. 收敛于零函数，显然不收敛于 f(x)． (2) Mathematica 作图程序如下，键入 Clear[f,n,k,x] f[x_]:=Which[x!=0,Exp[-1/x^2],x==0,0] 作分段函数 f(x)，键入 Plot[f[x],{x,-0.5,1},PlotRange->{0,0.4}] 得 f(x)在区间 (−0.5,1) 内得图形，由图知 f(x)在 x=0 附近几乎为零，当 x→∞时 f(x) →1，由 （1）得 f(x)= 0+0+0+.0+Rn(x) 所以当 x→∞时 Rn(x) →1 即 f(x)的麦克劳林公式的余项当 x→∞并不趋于零． 4. 金属导线的电阻率定义为长 1m ，截面积为 1m2 的导线在一定温度下的电阻 ，单位 为Ωm（欧姆·米）．电阻率随温度的变化而变化，设金属导线的电阻率随温度而变化的关 系式为： ρ(T)=ρ20e α(T-20)，其中 T 的单位为℃，ρ20 为 20℃时的电阻率，α为温度系数，然而除了 在极端低温情况下，人们通常用温度的一次或二次多项式来近似表示电阻率ρ(T)．

（1）写出P（T)在T-20℃处的一次和二次近似多项式：（2）对铜导线而言，a=0.0039℃，P20=1.7X10-8Qm，画出铜导线的p（T)的图形，以及它在T=20处的一次和二次近似多项式的图形（取-250℃≤T≤1000℃）；（3）当T在什么范围内取值时，一次近似多项式与p（T)的误差小于0.01？解（1）作p(T)及它的一次或二次近似多项式程序如下：Clear[f,"p*",t,a];f[t_]:=p Exp[a(t-20]p][t ]-Normal[Series[f[t], (t,20,1]p2[t -Normal[Series[f[t], (t,20,2]]]运行得一次近似多项式p(T)～p20[1+a(T-20)];二次近似多项式p(T)～P20[1+a(T-20)+α2(T-20)2/2].(2)源程序，键入Clear[f,"p*",t,a];p=1.7 10(-8);a=0.0039;f[t ]:=p Exp[a(t-20)]p][t ]=Normal[Series[f[t], (t,20,1)];p2[t ]=Normal[Series[f[t], (t,20,2]]];Plot[f[t], (t,-250,1000) ];Plot[p1[t],(t,-250,1000)];Plot[p2[t], (t,-250,1000)]Plot[(f[t],p1[t],p2[t]),(t,-250, 1000]]Plot[p1[t]-f[t], (t,-250,1000]]8. 10~86. 102:1072.5104. 102 10.1.5:101.510二次曲线2. 101,1011.105.10-20020040060060010005.10次曲线-20020040060080010002002004006008001000图11-5二次近似多项式图11-6图11-4一次近似多项式(3)设误差函数为g(T)，运行以下程序求g’，g”Clear["p*",f,t,a];p=1.7 10(-8);a=0.0039,f[t ]:=p Exp[a(t-20)],p1[t_}-Normal[Series[f[t],(t,20,1]];g[t ]-f[t]-p1[t];Print[g'[t]]Print[g"[t]由运行结果得g[]=-6.6310-11+6.6310-1e0.0039(-20+)g"[t]=2.5857 10-13 e 0.0039(-20+t)g(T)有唯一的极小值g(20)=0.当T20时g(T)递增，运行求根程序g(x)=0.01FindRoot[g[x]==0.01,(x,-20,20]]FindRoot[g[x|==0.01,(x,20,100}]得T(-1.5083X108,3426.39)5.试在同一屏幕上作出y=xl（-元≤x≤元）及它的k阶傅里叶多项式Fk(x)（k=1,26)的图形，观察y=Fk(x)逼近y=x的情况，解y-1(-1<≤n)为偶函数,所以传里叶级数为+≥.cosxV2=11.cn=()-12元dr=dx=-这里a。=f(x)元J。TJ元J。2Y2V2V2

（1）写出ρ(T)在 T=20℃处的一次和二次近似多项式； （2）对铜导线而言，α=0.0039℃，ρ20=1.7×10-8Ωm，画出铜导线的ρ(T)的图形，以 及它在 T=20 处的一次和二次近似多项式的图形（取-250℃≤T≤1000℃）； （3）当 T 在什么范围内取值时，一次近似多项式与ρ(T)的误差小于 0.01？ 解 （1）作ρ(T)及它的一次或二次近似多项式程序如下： Clear[f,"p*",t,a]; f[t_]:=p Exp[a(t-20)] p1[t_]=Normal[Series[f[t],{t,20,1}]] p2[t_]=Normal[Series[f[t],{t,20,2}]] 运行得 一次近似多项式ρ(T)≈ρ20 [1+α(T-20)]； 二次近似多项式ρ(T)≈ρ20 [1+α(T-20)+ α2 (T-20) 2 /2 ]． (2) 源程序，键入 Clear[f,"p*",t,a];p=1.7 10^(-8);a=0.0039;f[t_]:=p Exp[a(t-20)]; p1[t_]=Normal[Series[f[t],{t,20,1}]]; p2[t_]=Normal[Series[f[t],{t,20,2}]]; Plot[f[t],{t,-250,1000}];Plot[p1[t],{t,-250,1000}];Plot[p2[t],{t,-250,1000}] Plot[{f[t],p1[t],p2[t]},{t,-250,1000}] Plot[p1[t]-f[t],{t,-250,1000}] 图 11-4 一次近似多项式 图 11-5 二次近似多项式 图 11-6 (3) 设误差函数为 g(T)，运行以下程序求 g′,g″． Clear["p*",f,t,a];p=1.7 10^(-8);a=0.0039;f[t_]:=p Exp[a(t-20)]; p1[t_]=Normal[Series[f[t],{t,20,1}]];g[t_]=f[t]-p1[t]; Print[g'[t]] Print[g''[t]] 由运行结果得 g'[t]= -6.63 10- 11 + 6.63 10-11 e 0.0039(-20+t) g''[t]=2.5857 10 -13 e 0.0039(-20+t) ∴g(T)有唯一的极小值 g(20)=0． 当 T＜20 时 g(T)递减；当 T＞20 时 g(T)递增，运行求根程序 g(x)=0.01. FindRoot[g[x]==0.01,{x,-20,20}] FindRoot[g[x]==0.01,{x,20,100}] 得 T (-1.5083×10 8 ,3426.39) 5. 试在同一屏幕上作出 y=|x| (-π≤x≤π) 及它的 k 阶傅里叶多项式 Fk(x) (k=1,2,.6) 的图形，观察 y=Fk(x)逼近 y= |x| 的情况． 解 y=|x|(-π≤x≤π)为偶函数,所以傅里叶级数为   = + 1 0 cos 2 n an nx a 这里       −  =  =  = 0 0 0 2 2 1 2 1 ( ) 2 2 1 ( ) 1 a f x dx f x dx x dx = 2  ；