《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 定积分的应用 第五节 功、水压力和引力

第五节功水压力和引力一、变力沿直线所作的功二、水压力三、引力四、小结思考题

一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 四、小结 思考题 第五节 功 水压力和引力

高等数学一、变力沿直线所作的功由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离S时，力F对物体所作的功为W=F.S.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用月“微元法上页下页思想。返回

下页 返回 上页 由物理学知道，如果物体在作直线运动的 过程中有一个不变的力F 作用在这物体上，且 这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在 物体移动了距离s时，力F 对物体所作的功为 W = F  s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想. 一、变力沿直线所作的功

高等数学轴上坐例1把一个带+电量的点电荷放在标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场q对它的作用力的大小为 F=k(k是常数)，当上页这个单位正电荷在电场中从r=a处沿ｒ轴移动下页F到r=b处时，计算电场力对它所作的功返回

下页 返回 上页 例 1 把一个带 + q 电量的点电荷放在r 轴上坐 标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电 荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷 放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场 对它的作用力的大小为 2 r q F = k （k 是常数），当 这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r 轴移动 到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．

高等数学+1+q解取r为积分变量，ar r+drb0re[a,b],kqdr.取任一小区间[r,r+drl，功元素dwKoh=k-所求功为W== kqlb如果要考虑将单位电荷移到无穷远处上页kodr= -}-下页W返回

下页 返回 上页 解 取r 为积分变量， o r • + q a  b • •• • • • • + 1 r r [a,b],  r + dr 取任一小区间[r,r + dr], 功元素 , 2 dr r kq dw = 所求功为 dr r kq w b a = 2 b a r kq       = − 1 . 1 1       = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a + = 2 +       = − a r kq 1 . a kq =

高等数学例2一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水问要把池内的水全部吸出，需作多少功？点击图片任意处播放暂停解建立坐标系如图取x为积分变量，xE[0,5]上页x+dx下页取任一小区间[x,x+d]返回X

下页 返回 上页 点击图片任意处播放\暂停 例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？ 解 建立坐标系如图 x o x 取 x + dx x为积分变量， x[0,5] 取任一小区间[x, x + dx], 5

高等数学这一薄层水的重力为x+dx9.8元.3°dx5功元素为dw=88.2元.x.dx，x88.2元.x ·dxW=0Y上页～3462 (千焦)=88.2元2下页10返回

下页 返回 上页 x o x x + dx 5 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3 功元素为 dw = 88.2 x  dx, w =  x  dx  88.2 5 0 5 0 2 2 88.2       =  x  3462 (千焦)．

高等数学例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？解 设木板对铁钉的阻力为 f(x)=kx,k第一次锤击时所作的功为 w,=(x)dx=2设n次击入的总深度为h厘米上页下页n次锤击所作的总功为 w,="(x)dx.返回

下页 返回 上页 解 设木板对铁钉的阻力为 f (x) = kx, 第一次锤击时所作的功为  = 1 0 1 w f (x)dx , 2 k = ( ) . 0 = h wh f x dx 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻 力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功 相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ n 设 n 次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为

高等数学khkdxWh = J"r2依题意知，每次锤击所作的功相等kh?kW =nWi =22n次击入的总深度为h=~n，上页第n次击入的深度为 Vn-n-1.下页返回

下页 返回 上页  = h h w kxdx 0 , 2 2 kh = 依题意知，每次锤击所作的功相等． wh = nw1  2 2 kh , 2 k = n h = n, n − n − 1. n 次击入的总深度为 第 n 次击入的深度为

高等数学二、水压力(hydraulicpressure)由物理学知道，在水深为h处的压强为p=h，这里是水的比重．如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一侧所受的水压力为P=p·A.如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力上页就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思下页想.返回

下页 返回 上页 由物理学知道，在水深为h 处的压强为 p = h，这里 是水的比重．如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处，那么，平板一 侧所受的水压力为P = p  A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同 的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力 就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思 想． 二、水压力(hydraulic pressure)

高等数学例 4一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力，解在端面建立坐标系如图取x为积分变量，xE[0,R取任一小区间[x,x+dx]小矩形片上各处的压强近上页x似相等p=x,下页小矩形片的面积为2√R2-x2dx返回x

下页 返回 上页 例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水， 设桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端面 上所受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取x为积分变量，x[0,R] 取任一小区间[x, x + dx] x x + dx 小矩形片上各处的压强近 似相等 小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = x