《数值计算》课程教学课件（讲稿）第2章 插值法（1/5）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第二章插值法第一节问题的提出第二节拉格朗日插值第三节牛顿插值第四节埃尔米特插值第五节分段低次插值第六节三次样条插值上页下页返园

上页 下页 返回 第二章 插值法 第一节 问题的提出 第二节 拉格朗日插值 第三节 牛顿插值 第四节 埃尔米特插值 第五节 分段低次插值 第六节 三次样条插值

81问题的提出在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题：由实验或测量得到一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工反映在数学上，就是已知函数在一些点上的值，寻求它的解析表达式在日常生活中，也有这样的问题：在数码摄影已经普及的今天，数码影像的修饰越来越多。数码影像的最大特点就是可以在后期进行图片的修改、调整现在，影像处理软件也越来越被人们所接受和使用，上页下页返园

上页 下页 返回 在科学研究与工程技术中，常常遇到这样的问题： 由实验或测量得到一批离散样点， 反映在数学上， 在日常生活中，也有这样的问题： 点的光滑曲线， 寻求它的解析表达式. 在数码摄影已经普及的今天，数码影像的修饰越来越多. 数码影像的最大特点就是可以在后期进行图片的修改、调整. 现在，影像处理软件也越来越被人们所接受和使用. 要求作出一条通过这些 以便满足设计要求或进行加工. 就是已知函数在一些点上的值， §1 问题的提出

通过后期处理，不仅可以使原本不太理想的图片质量得到大幅改善，还可以使像素小的图片通过“插值”的方式变大插值是以相邻的像素为依据，计算出新的像素。而根据计算方法的不同，就形成了不同的插值方法。上页这些插值方法的基础，就是我们这里要介绍的插值法下页返园

上页 下页 返回 通过后期处理，不仅可以使原本不太理想的图片质量得到 大幅改善，还可以使像素小的图片通过“插值”的方式变 大. 插值是以相邻的像素为依据，计算出新的像素. 而根据计算方法的不同，就形成了不同的插值方法. 这些插值方法的基础，就是我们这里要介绍的插值法

插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法插值法的定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在点a≤xo<xi<…<xn≤b上的值yo,J1，…,Jn若存在一简单函数P(x),使P(x;) = yi(i=0, 1, , n)成立，就称P(x)为f(x)的插值函数，点xo,Xi，，x,称为插值节点，区间[a,bl称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法y=f(x)V插值法的几何意义：y=P(x)求曲线y=P(x)，使其通过给定的n+1个点(x;,J;)，i=0,1.….,n，并用它近似已知曲线y=f(x).上页不页返园

上页 下页 返回 插值法是广泛应用于理论研究和工程实际的重要数值方法. 插值法的定义： 设函数 y = f (x) 在区间[a, b]上有定义，且已知在点a ≤ x0 < x1 < . < xn ≤ b 上的值 y0 , y1 , . , yn,若存在一简单函数P(x),使 P(xi ) = yi (i = 0,1,.,n) 成立，就称P(x) 为 f (x) 的插值函数,点x0 , x1 , . , xn 称为插值节 点,区间[a, b]称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法. 插值法的几何意义： 求曲线 y = P (x) ，使其通过给定的 n+1个点(xi , yi )， i = 0,1,.,n，并用它 近似已知曲线y = f (x)

S 2拉格朗日插值一、乡线性插值与抛物插值1、线性插值用直线y=L(x)近似曲线y=f(x)，L(x)JBpmLx)称为线性插值多项式polynomial)，可用y=f(r)两点式直线方程直接给出Ax-xx-XoL,(x) = yo+ yiXo-XiXi-Xoy1x-xyoL,(x)是由两个线性函数 l.(x)=Xo-xix-Xo的线性组合得到，l(x) =oco11Xi-Xol(x)及l(x)也是线性插值多项式，在节点满足条件上页l.(x)=1, l.(x)=0; l(x)=0, l(x)=1.下页称l.(x)及l,(x)为线性插值基函数返圆

上页 下页 返回 一、线性插值与抛物插值 1、线性插值 两点式直线方程直接给出 称为线性插值多项式 ，可用 用直线 近似曲线 ， (polynomial) ( ) ( ) ( ) y  L1 x y  f x L1 x 是由两个线性函数 ， 0 1 1 1 0 ( ) ( ) x x x x L x l x    §2 拉格朗日插值 1 0 0 1 0 1 1 1 0 ( ) x x x x y x x x x L x y         l 0 (x)及l 1 (x)也是线性插值多项式，在节点满足条件： 的线性组合得到， 1 0 0 1 ( ) x x x x l x    ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1. l 0 x0  ，l 0 x1  ；l 1 x0  ，l 1 x1  ( ) ( ) . 称l 0 x 及l 1 x 为线性插值基函数

将xo、x,换为x、Xk+1，将yo、y,换为yk、Jk+1，可得：址y=L(x)y=f(x)X-Xk-xXk+1iVk+1L,(x) =JkYk+1Xk+1-XkXk+1-Xk1XkXk+1X上页下页返园

上页 下页 返回 将x0、x1换 为xk、xk1， 将y0、y1换 为yk、yk1， 1 1 1 1 1 ( )           k k k k k k k k y x x x x y x x x x L x 可得:

2、抛物插值用抛物线y=L,(x)近似曲线y=f(x)，L,(x)称为二次插值多项式，可用基函数方法得到:L,(x)=yol(x)+yil(x)+yzlz(x).设基函数(x)l(x)及l(x)是二次函数，且在节点上满足条件：-83(i, j= 0,1,2)满足条件的插值基函数熔易求出，例如求。（x），由于它有两个零点x及x，所以可表示为l(x)=A(x-x)(x-x)，A为待定1于是系数，可由条件。（x）=1定出，A=(x -x)(x -x2)(x-x)(x-x,)l.(x)=(xo -x)(xo -x2)上页(x-x)(x-x)(x-x)(x-x)同理，l(x)=l(x)=下页(xi -xo)(x -x2)(x2 -xo)(xz -x)返圆

上页 下页 返回 2、抛物插值 : ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 1 2 2 2 2 L x y l x y l x y l x y L x y f x L x      项式，可用基函数方法得 到 用抛物线 近似曲线 ， 称为二次插值多 ( 0 1 2) 0 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 ， ， 设基函数 、 及 是二次函数，且在节点上满足条件：        i j i j i j l x l x l x l x i j 系数，可由条件 定出， ，于是 点 及 ，所以可表示为 ， 为待定 满足条件的插值基函数容易求出，例如求 ，由于它有两个零 ( ) ( ) 1 ( ) 1 : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 0 1 2 0 1 2 0 x x x x l x A x x l x A x x x x A l x        ， ( )( ) ( )( ) ( ) 0 1 0 2 1 2 0 x x x x x x x x l x      . ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 x x x x x x x x l x x x x x x x x x l x          同理， 

所以,(x-x)(x-x)x-xY-XL,(x)= yo(x -x) (xo-x2(xz -xo)(x2 -x))(x-x)(x-x2将xo、X、,换为xk-1、X、Xk+1,将yo、J个、J,换为yk-1、Jk、Jk+1'可得：(x -x)(x- xk+1)(x-Xk-)(x-Xkt1)L,(x) = yk-1+y(Xk-1 -X)(Xk-1 -Xk+1)(xk-Xk-1)(xk-Xk+1)(x -xk-)(x-x)+ yk+1(Xk+1 -Xk-1)(Xk+1 -Xk)上页下页返园

上页 下页 返回 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x y                                                           2 0 2 1 0 1 2 1 0 1 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x L x y                         所以， 将x0 、x1 、x2 换 为xk1 、xk 、xk1 ， 将y0 、y1 、y2 换 为yk1 、yk 、yk1 ， 可得:

二、拉格朗日插值多项式用n次插值多项式y=L,(x)近似曲线y=f(x)，也可用基函数方法得到:L,(x)=yil,(x)，称为拉格朗日Lagrange)插值多项式为k=0了构造L，(x)，先定义n次插值基函数定义1未若n次多项式,(x）(j=0,l,.…,n)在n+1个节点x<x<.….<x,[1, k=j;上满足条件1(xk）=(j，k=0,1，,n)，就称这n+1个n次多lo,k±j.项式l,(x）（j=0,1,.,n)为节点x（k=0,l,,n）上的n次插值基函数n=1,n=2即为线性和二次插值基極数，用类似的推导法，可得到n次插值基函数为上页(x-x,)...(x-xk-)(x-xkt)...(x-xn)lk(x) =(k = 0, 1, ..",n) 下页(x -x0)...(x-Xk-1)(x -Xk+1)...(x-xn)返圆

上页 下页 返回 二、拉格朗日插值多项式 ( ) ( 0 1 , ) ( 0 1 , . ( 0 1 , ) 1 0 , . 1 , ( ) 1 ( ) ( 0 1 , ) 1 0 1 项 式 ， 为节点 ， ）上的 次插值基函数 ， ， ，就称这 个 次 多 ； 上满足条件 定 义 若 次多项式 ， 在 个节点 l x j n x k n n j k n n n k j k j l x n l x j n n x x x j k j k j n                     ( ) . : ( ) ( ) (Lagrange) . ( ) ( ) 0 了构造 ，先定义 次插值基函数 法得到 ，称为拉格朗日 插值多项式 为 用 次插值多项式 近似曲线 ，也可用基函数方 L x n L x y l x n y L x y f x n n k n k k n     ( 0 1 , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, 2 0 1 1 0 1 1 k n x x x x x x x x x x x x x x x x l x n n n k k k k k k n k k n k      ， 到 次插值基函数为 即为线性和二次插值基函数，用类似的推导方法，可得                