《数值计算》课程教学课件（讲稿）第5章 线性方程组的直接解法（1/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第五章线性方程组的直接解法81问题的提出S2高斯消去法S3矩阵的三角分解法84三对角方程组的解法S5向量和矩阵的范数86方程组的性态与误差分析上页下页返圆

上页 下页 返回 §1 问题的提出 第五章 线性方程组的直接解法 §3 矩阵的三角分解法 §4 三对角方程组的解法 §5 向量和矩阵的范数 §6 方程组的性态与误差分析 §2 高斯消去法

81问题的提出先看一个实际问题。《九章算术》里有一题如下：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾一秉得实各几何？”按现代数学表述，设上、中、下禾一秉可得分别为X,y,Z列出线性方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34X+2y+3z=26上页下页返回

上页 下页 返回 §1 问题的提出 先看一个实际问题。 “今有上禾三秉, 中禾二秉, 下禾一秉, 实三十九斗; 上禾二秉, 中禾三秉, 下禾一秉, 实三十四斗; 上禾一秉, 中禾二秉, 下禾三秉, 实二十六斗; 问上、中、下禾一秉得实各几何?” 按现代数学表述, 设上、中、下禾一秉可得分别为 x y z , , 列出线性方程组 3 2 39 2 3 34 2 3 26 x y z x y z x y z               《九章算术》里有一题如下:

>在许多实际问题中，都会出现线性方程组的求解问题例如：结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化化问题等等。>在许多数学问题中，也会出现线性方程组的求解问题例如：三次样条、最小二乘法、非线性方程组、微分方程组数值解、微分方程边值问题的差分法与有限元法等等。线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。下面来看线性方程组的解法。上页下页返圆

上页 下页 返回 在许多实际问题中， 例如：结构分析、网络分析、大地测量、数据分析、最优化 化问题等等。 都会出现线性方程组的求解问题。 在许多数学问题中， 也会出现线性方程组的求解问题。 例如：三次样条、最小二乘法、非线性方程组、微分方程组 数值解、微分方程边值问题的差分法与有限元法等等。 线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位. 下面来看线性方程组的解法

设有n元线性方程组aiixi+ai2x2+...+anx, =ba21x +a22x2 +...+a2nx, =b,anXj +an2X2 +...+amx, =b,用矩阵和向量表示，上述方程组可改写为Ax =b其中b,Xiaila12ainb2X2a21a22a2nb=A=x=···-b上页anlan2annn1下页返回

上页 下页 返回 设有n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    用矩阵和向量表示，上述方程组可改写为 Ax b  其中 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a              1 2 n x x x x              1 2 n b b b b             

当 det(A)0 时,线性方程组有唯一解>求解线性方程组的方法：（1）直接法：主要针对系数矩阵为低阶稠密矩阵的线性方程组以及某些大型稀疏矩阵的方程组；（2）迭代法：主要针对解大型稀疏矩阵的线性方一程组。上页下页返回

上页 下页 返回 求解线性方程组的方法： 当 det( ) 0 A  时， 线性方程组有唯一解 （2） 迭代法：主要针对解大型稀疏矩阵的线性方 程组. （1） 直接法：主要针对系数矩阵为低阶稠密矩阵 的线性方程组以及某些大型稀疏矩阵的方程组；

82高斯消去法求解Ax=b高斯顺序消去法-I思首先将A化为上三角阵，路再回代求解。高斯消去法：消元与回代Ax =b对线性方程组如果det(A)0 对其增广矩阵施行行初等变换：宝.Sa福记aA=(A,b) =(A(),b()二··....上页下页q()boalq(l)n2nn返圆

上页 下页 返回 求解 A x b    一、高斯顺序消去法 思 路 首先将A化为上三角阵 ， 再回代求解 。 = §2 高斯消去法 A  (A,b)              (1) (1) (1) 2 (1) 1 (1) 2 (1) 2 (1) 22 (1) 21 (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 n n nn n n n a a a b a a a b a a a b        对线性方程组 Ax  b 对其增广矩阵施行行初等变换: ( , ) (1) (1) A b 记  如果det(A)  0 高斯消去法：消元与回代

假定al±0消元ai=2,3,.,nmi1定义行乘数a第i行-第1行×mi,则a(2) = a(1) - m,nal)i,j=2,3,..,nb(2) = b(1) - m,b(1)i= 2,3,..,nall唱唱L0(A(1),b(1)) →(A(2) ,b(2)) =......·al6(2)0上页ann下页返回

上页 下页 返回              (2) (2) (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 22 (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 0 0 n nn n n n a a b a a b a a a b        ( , ) (2) (2) A b 0 (1) 假定 a11  定义行乘数 i n a a m i i 2,3, , (1) 11 (1) 1 1    第i行第1行mi1 ,则 (1) 1 1 (2) (1) aij  aij  mi a j (1) 1 1 (2) (1) bi  bi  mi b i, j  2,3,  ,n i  2,3,  ,n ( , ) (1) (1) A b 消元

如果 αl)=0由于 det(A)0则A的第一列中至少有一个元素不为零如 α)≠0,则将(A(1),b(1)的第一行与第i行交换后消元all(1)(1)(1)b(adin12(2)(2)(2)b90a22a2n且det() ± 0(2)(2)6(2)0a9n2nnn因此,第k-1步后,(A(1),b(1))将化为上页下页返圆

上页 下页 返回 0 ( 1 ) 如果 a11  由于 det(A)  0 则 A的第一列中至少有一个元素不为零 如 ai(111)  0,则将(A(1) ,b(1) )的第一行与第i1 行交换后消元   (2) (2) (2) 2 (2) 2 (2) 2 (2) 22 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 12 ( 1 ) 1100 n nn n nn a a b a a b a a a b       且 det(  )  0 因此,第 k  1步后,(A(1) ,b(1) )将化为

allall)al)aeae)..(A(1),b(1) →(A(k),b(k)(k)bPatakk..定义行乘数(k)6(k)(k)aanknnn(k)diki=k+1,...,nMikCdet(0) + 0第i行-第k行×mik,则(k+1)=a(k)(k)i,j=k+l,..,n-mikaigaijii=k+1,.,n上页b(k+1) = b() -mxb(k)下页返回

上页 下页 返回                    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 2 (2) 2 (2) 22 (1) 1 (1) 1 (1) 12 (1) 11 k n k nn k nk k k k kn k kk n n a a b a a b a a b a a a b             ( , ) (k ) (k ) ( , ) A b (1) (1) A b det()  0 定义行乘数 i k n a a m k kk k ik ik 1, , ( ) ( )     第i行第k行mik ,则 ( 1) ( ) (k ) ik kj k ij k aij  a  m a  ( 1) ( ) (k ) ik k k i k bi  b m b  i, j  k 1,  ,n i  k  1,  ,n