《线性代数》课程教学课件（讲稿）初等矩阵、定理

由矩阵的初等变换得0201初等矩阵的定义到初等矩阵概念，借助初等变换法求解矩0202初等矩阵相关定理阵的逆和解矩阵方程初等矩阵0203初等变换求逆矩阵0204线性代数中重初等变换解矩阵方程要方法之内容简介

初 等 矩 阵 内容简介 0201 初等矩阵的定义 0202 初等矩阵相关定理 0203 初等变换求逆矩阵 由矩阵的初等变换得 到初等矩阵概念, 借 助初等变换法求解矩 阵的逆和解矩阵方程. 线性代数中重 要方法乊一 0204 初等变换解矩阵方程

定理定义初等变换求逆矩阵初等变换解矩阵方程Y定义3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵二种初等变换对应着三种初等矩阵：初等矩阵(1)交换矩阵两行（列）(2)以非零数k乘矩阵某一行（列）的所有元素(3把矩阵某一行（列）元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去初等矩阵

初 等 矩 阵 22 定义 初等变换求逆矩阵 初等变换解矩阵方程 初等矩阵 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵： (1) 交换矩阵两行（列） (2) 以非零数 k 乘矩阵某一行（列）的所有元素 (3) 把矩阵某一行（列）元素的 k 倍加到另一行 （列）对应的元素上去 定义3 定理 单位矩阵E 一次初等变换

定义定理初等变换求逆矩阵初等变换解矩阵方程(1)交换E中第i，j两行（列)，得到矩阵：det E(i,j) =-1←第i行E(i, j)xE(i,j)初等矩阵=EE(i,j)=←第i行初等矩阵

初 等 矩 阵 22 定义 初等变换求逆矩阵 初等变换解矩阵方程 初等矩阵 定理                                      1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第i 行  第 j 行 (1) 交换 E 中第 i，j 两行(列) ，得到矩阵： det E(i, j)  1 E i j E i j ( , ) ( , )   E

定义定理初等变换求逆矩阵初等变换解矩阵方程Y(2)以非零数k乘E的第i行(列)，得到矩阵：det E(i(k)) = k # 0初等矩阵E(i(k)× E(i(-)K=EE(i(k) =←第i行初等矩阵

初 等 矩 阵 22 定义 初等变换求逆矩阵 初等变换解矩阵方程 初等矩阵 定理                        1 1 1 1 ( ( ))   E i k k  第 i 行 (2) 以非零数 k 乘E的第 i 行(列)，得到矩阵： det E(i(k))  k  0 1 E i k E i ( ( )) ( ( )) k   E

定理定义初等变换求逆矩阵初等变换解矩阵方程(3)把E的第j行的k倍加到第i行上，得到矩阵：det E(i,j(k) =1E(i, j(k))x E(i, j(-k)初等矩阵←第i行=EE(ij(k)=←第j行初等矩阵

初 等 矩 阵 22 定义 初等变换求逆矩阵 初等变换解矩阵方程 初等矩阵 定理                        1 1 1 1 ( ( ))     k E ij k (3) 把E的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，得到矩阵：  第i 行  第 j 行 det E(i, j(k))  1 E i j k E i j k ( , ( )) ( , ( ))   E

定理定义初等变换求逆矩阵初等变换解矩阵方程注意：(1)初等矩阵的行列式都不为零，故初等矩阵都可逆，且各自的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵初等矩阵E-(i, j)=E(i,j)detE(i, j) =-1E-(i(k)= E(i(-)detE(i(k)= k ± 0KE-'(i, j(k)= E(i, j(-k)det E(i, j(k) = 1初等矩阵

初 等 矩 阵 22 定义 初等变换求逆矩阵 初等变换解矩阵方程 初等矩阵 定理 (1) 初等矩阵的行列式都不为零，故初等矩阵都可 det E(i, j)  1 det E(i(k))  k  0 det E(i, j(k))  1 逆，且各自的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵 ( , ) ( , ) 1 E i j  E i j  )) 1 ( ( )) ( ( 1 k E i k  E i  ( , ( )) ( , ( )) 1 E i j k  E i j k  注意：

定理定义初等变换求逆矩阵初等变换解矩阵方程(2)初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵E(i, j) = E(i, j)E(i(k) = E(i(k)初等矩阵与初等变换有什么关系初等矩阵E(i, j(k) = E(j,i(k))初等矩阵

初 等 矩 阵 22 定义 初等变换求逆矩阵 初等变换解矩阵方程 初等矩阵 定理 (2) 初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵 E(i, j) E(i, j) T  E(i(k)) E(i(k)) T  E(i, j(k)) E( j,i(k)) T  初等矩阵与初等 变换有什么关系

定义定理初等变换求逆矩阵初等变换求解矩阵方程Y初等矩阵与初等变换有什么关系实例aa12a13(14A31a32al33(1340初等矩阵10A=a22al23a24a21001A=a21a22a23a24a31a32a33a34)001ana12a13a14E(1,3)初等矩阵M

初 等 矩 阵 22 初等矩阵 定义 定理 初等变换求逆矩阵 初等变换求解矩阵方程            3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a a a a a a a a a A A           1 0 0 0 1 0 0 0 1            1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 a a a a a a a a a a a a A r1 r3 E(1,3) 实例 初等矩阵与初等 变换有什么关系

定义定理初等变换求逆矩阵初等变换求解矩阵方程CYE(2(k)E(3,1(k))010a12a13aa14010ana12a14a13010a23a21a22a1240k0a21a22a123a124初等矩阵k01al32a33a134)a31001a31a34a32a33an1al12a13a14ana12a14a13a21a22a2324ka21ka22ka23ka24(ag+ka a32+ka12 a33+ka13 a34+ka14al32a31a33a134<'3+kr<xk-AA初等矩阵I

初 等 矩 阵 22 初等矩阵 定义 定理 初等变换求逆矩阵 初等变换求解矩阵方程                     3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 0 0 1 0 0 1 0 0 a a a a a a a a a a a a k            3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a ka ka ka ka a a a a A r 2 k  E(2(k))                     3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 0 1 0 1 0 1 0 0 a a a a a a a a a a a a k                3 1 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3 3 4 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a ka a ka a ka a ka a a a a a a a a A r3  kr1 E(3,1(k))

定义定理初等变换求逆矩阵初等变换求解矩阵方程"E(3(k)E(2,4)1000ana12a13aua12a13a1400101a21a22a23a24a21a122a23a2401K0001初等矩阵a31a32a33a34(a31a32a33a3400010-ka13aa12aua14ai4a13a12ka23a22a21a24a24a21a23a22ka33l32a31a34a34a33a32)a31< GgxkAKCC4A初等矩阵大

初 等 矩 阵 22 初等矩阵 定义 定理 初等变换求逆矩阵 初等变换求解矩阵方程                         0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a a a a a a a a a a a            3 1 3 4 3 3 3 2 2 1 2 4 2 3 2 2 1 1 1 4 1 3 1 2 a a a a a a a a a a a a A c2c4 E(2,4)                         0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 k a a a a a a a a a a a a            3 1 3 2 3 3 3 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 a a ka a a a ka a a a ka a A c3 k E(3(k))