《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）6、单正态总体的区间估计

实验6单正态总体的区间估计在很多随机变量的分布函数中，由于未知参数的值是一个未知的数，而抽样又有很大的随机性，所以我们无法知道这个估计值的精确度，即它与参数真值的误差的范围。因而我们希望能找出一个未知参数的取值范围及这个范围包含未知参数真值的可靠程度，这样就能在一定的把握下得出估计值可能的最大误差。这种形式的估计称为区间估计。我们简单介绍怎样利用Mathematica软件解决单正态总体的区间估计问题。1实验目的（1）学习单正态总体均值的区间估计：1）当2已知时，求μ的置信区间X-μ"~N(0,1),对于给定的置信度100(1-α)%,得取X作为μ的点估计，考虑随机变量g/yn.o.X+u0μ的置信区间为(X-u_a)。-JnAVn2）当未知时，求u的置信区间X-μ~(n-1)，从而得到μ的100(1-α)%由于。?未知，需以样本方差S2代替。2已知S/Jns置信区间(X-号，X+1)。nn（2）学习单正态总体方差的区间估计。考虑随机变量一)s*,已知)s~(n-1)，于是得到。的100(1-α)%置信区间q2a2(n-1)s?(n-1)s2xa(n-1)"xa(n-1)22基本语句(1)MeanCI[data,KnownVariance-→var]功能：已知方差var，由数据表data求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。(2) MeanCI[data]功能：由数据表data求总体数学期望的置信区间（方差未知、基于t分布）

实验 6 单正态总体的区间估计 在很多随机变量的分布函数中，由于未知参数的值是一个未知的数，而抽样又有很大 的随机性，所以我们无法知道这个估计值的精确度，即它与参数真值的误差的范围。因而 我们希望能找出一个未知参数的取值范围及这个范围包含未知参数真值的可靠程度，这样 就能在一定的把握下得出估计值可能的最大误差。这种形式的估计称为区间估计。 我们简单介绍怎样利用 Mathematica 软件解决单正态总体的区间估计问题。 1 实验目的 （1）学习单正态总体均值的区间估计； 1）当 2  已知时,求  的置信区间 取 X 作为  的点估计,考虑随机变量 ~ (0,1) / N n X  −  ,对于给定的置信度 100(1−)% ,得  的置信区间为 ( , ) 2 1 2 1 n X u n X u     −  +  − − 。 2）当 2  未知时,求  的置信区间 由于 2  未知,需以样本方差 2 S 代替 2  .已知 ~ ( 1) / − − t n S n X  ，从而得到  的 100(1−)% 置信区间 ( , ) 2 1 2 1 n S X t n S X − t  +  − −   。 （2）学习单正态总体方差的区间估计。 考虑随机变量 2 2 ( 1) S n  − .已知 ~ ( 1) ( 1) 2 2 2 − − S n n   ，于是得到 2  的 100(1−)% 置信区间 ) ( 1) ( 1) , ( 1) ( 1) ( 2 2 2 2 2 1 2 − − − − − n n S n n S     。 2 基本语句 （1）MeanCI[data，KnownVariance→var] 功能：已知方差 var，由数据表 data 求总体数学期望的置信区间（基于正态分布）。 （2）MeanCI[data] 功能：由数据表 data 求总体数学期望的置信区间（方差未知、基于 t 分布）

以上两个函数由样本数据表data直接求置信区间。但有时已知的是样本平均值x，这时改用以下函数：(3)NormalCI[mean,sd]功能：标准差已知，且sd=%，由样本平均值mean求总体数学期望的置信区间Vn（基于正态分布）。(4）StudentTCImean，se，dof)功能：用于方差未知，由样本平均值mean求总体数学期望的置信区间（基于1分布），S其中，se，而dof是自由度（等于n-1）。Vn以上函数都有可选参数：ConfidenceLevel置信度，默认值为0.95。（5)VarianceCI[data]功能：由数据表data求总体方差的置信区间（基于x分布）。(6)ChiSquareCI[variance,dof]功能：由无偏估计样本方差variance，求总体方差的置信区间，其中dof是自由度（等于n-1)。3典型例题例1已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）服从正态分布，现测得5炉铁水的含碳量分别是：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。如果已知标准差为0-0.108，求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为0.95）。解：In[1]：=<<Statistics'Confidencelntervals"In[2]:=data=(4.28,4.4,4.42,4.35,4.37);MeanCI[data,KnownVariance0.108^2]Out[3]=(4.26934,4.45866)例2假定新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取12名男婴，测得体重分别是（单位：g)：3100，2520，30003000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。试求新生男婴平均体重的置信区间（置信度为0.95）。解：In4l：=data=3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，33202880，2600，3400，2540);MeanCI[data]Out[5]-{2818.2,3295.13)例3在例4.23中如果改为已知测得9炉铁水的含碳量的平均值是4.484，其余条件不变，再求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为0.95）。解：In[6]：=NormalCI[4.484，0.108//9]Out[6]=(4.41344,4.55456)

以上两个函数由样本数据表 data 直接求置信区间。但有时已知的是样本平均值 x ，这 时改用以下函数： （3）NormalCI[mean，sd] 功能：标准差 σ 已知，且 sd= n  ，由样本平均值 mean 求总体数学期望的置信区间 （基于正态分布）。 （4）StudentTCI[mean，se，dof] 功能：用于方差未知，由样本平均值 mean 求总体数学期望的置信区间（基于 t 分布）， 其中，se = n S ，而 dof 是自由度（等于 n - 1）。 以上函数都有可选参数：ConfidenceLevel 置信度，默认值为 0.95。 （5）VarianceCI[data] 功能：由数据表 data 求总体方差的置信区间（基于 χ 2 分布）。 （6）ChiSquareCI[variance，dof] 功能：由无偏估计样本方差 variance，求总体方差的置信区间，其中 dof 是自由度（等 于 n - 1）。 3 典型例题 例 1 已知某炼铁厂的铁水含碳量（%）服从正态分布，现测得 5 炉铁水的含碳量分别 是：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。如果已知标准差为 σ=0.108，求铁水平均含碳量的置信 区间（置信度为 0.95）。 解：In[1]：= << Statistics `ConfidenceIntervals` In[2]：= data={4.28，4.4，4.42，4.35，4.37}； MeanCI[data，KnownVariance →0.108^2] Out[3]={4.26934，4.45866} 例 2 假定新生男婴的体重服从正态分布，随机抽取 12 名男婴，测得体重分别是（单 位：g）：3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320，2880，2600，3400，2540。 试求新生男婴平均体重的置信区间（置信度为 0.95）。 解：In[4]：= data={3100，2520，3000，3000，3600，3160，3560，3320， 2880，2600，3400，2540}； MeanCI[data] Out[5]={2818.2，3295.13} 例 3 在例 4.23 中如果改为已知测得 9 炉铁水的含碳量的平均值是 4.484，其余条件不 变，再求铁水平均含碳量的置信区间（置信度为 0.95）。 解：In[6]：=NormalCI[4.484，0.108 / 9 ] Out[6]={4.41344，4.55456}

例4铅的比重测量值服从正态分布，测量16次算出x=2.705，S=0.029。试求铅的比重的置信区间（置信度为0.95）。解：In[7]:=StudentTCI[2.705,0.029/Sqrt[16]，15]Out[7]=(2.68955,2.72045]当调入程序文件Confidencelntervals.m时，为了计算各种统计量，这个程序会自动调入程序文件DescriptiveStatistics.m。因此，也可以首先由数据计算函数StudentTCI的各个参数，如下所示：In[1]:=<<Statistics'ConfidencelntervalsIn[2]:=data=(2.1,1.2,0.7，1.0,1.1,3.2,3.2,3.3,2.1,0.3);m=Mean[data]Out[3]=1.82In[4]: = se=StandardErrorOfSampleMean[data]Out[4]=0.354275In[5]: =StudentTCI[m, se, Length[data]-1, ConfidenceLevel-→0.9]Out[5]=(1.17057,2.46943)说明：上例中，In[4]利用数据直接求出se，而不是像教科书上先求S，In[5]示范了设置置信度为0.9的方法。例5设炮弹速度服从正态分布，取9发炮弹测得无偏估计样本方差S2=11（m/s）2，求炮弹速度方差的置信区间（置信度为0.9）。解：In[3]：=ChiSquareCI[11，8，ConfidenceLevel-→0.9]Out[3]=(5.67474,32.2033)习题1.某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额=80元，根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差α=12元，求该地旅游者平均消费额u的置信度为90%的置信区间。2.从一批袋装食品中抽取16袋，重量的平均值为文=503.75，样本标准差为s=6.2002。假设袋装重量近似服从正态分布，求总体均值μ的置信区间（α=0.05）。3.假设一批导线的电阻近似服从正态分布，从中随机抽取9根，得到样本标准差S=0.007,求电阻标准差的置信区间（α=0.05）

例 4 铅的比重测量值服从正态分布，测量 16 次算出 x =2.705，S=0.029。试求铅的比 重的置信区间（置信度为 0.95）。 解：In[7]：=StudentTCI[2.705，0.029/Sqrt[16]，15] Out[7]={2.68955，2.72045} 当调入程序文件 ConfidenceIntervals.m 时，为了计算各种统计量，这个程序会自动调 入程序文件 DescriptiveStatistics.m。因此，也可以首先由数据计算函数 StudentTCI 的各个 参数，如下所示： In[1]：= << Statistics `ConfidenceIntervals` In[2]：= data={2.1，1.2，0.7，1.0，1.1，3.2，3.2，3.3，2.1，0.3}； m=Mean[data] Out[3]=1.82 In[4]：= se=StandardErrorOfSampleMean[data] Out[4]=0.354275 In[5]：=StudentTCI[m，se，Length[data]-1，ConfidenceLevel→0.9] Out[5]={1.17057，2.46943} 说明：上例中，In[4]利用数据直接求出 se，而不是像教科书上先求 S，In[5]示范了设 置置信度为 0.9 的方法。 例 5 设炮弹速度服从正态分布，取 9 发炮弹测得无偏估计样本方差 S 2=11（m/s）2， 求炮弹速度方差的置信区间（置信度为 0.9）。 解：In[3]：= ChiSquareCI[11，8，ConfidenceLevel→0.9] Out[3]={5.67474，32.2033} 习 题 1.某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额，随机访问了 100 名旅游者，得知平均消 费额 x = 80 元，根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差  =12 元，求该地旅 游者平均消费额  的置信度为 90%的置信区间。 2.从一批袋装食品中抽取 16 袋，重量的平均值为 x = 503.75 ,样本标准差为 s = 6.2002 。 假设袋装重量近似服从正态分布，求总体均值  的置信区间(  = 0.05 )。 3.假设一批导线的电阻近似服从正态分布，从中随机抽取 9 根，得到样本标准差 s = 0.007, 求电阻标准差的置信区间(  = 0.05 )。