《数值计算》课程教学大纲 Numerical Analysis（研究生）

《数值计算》教学大纲（研究生）课程编号：0521010英文名称：NumericalAnalysis课程类别：学位课，学时：40（不含课外实验），学分：2适用专业：机电，土木，材料，汽车，理学院，化工，资环预修课程：高等数学、线性代数开课院系：理学院数学系一、课程的性质与任务随着科学技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，科学计算已成为科学和工程技术研究的主要手段。计算机的迅速发展与广泛应用，有力地推动了科学计算技术的发展。科学计算技术是以计算机为工具，以数值方法为依据的一门技术。数值计算课程的任务就是学习和掌握在计算机上解决工程问题的常用数值计算方法及有关的基础理论知识。在学习高等数学、线性代数的基础上，通过本课程的学习，要使学生获得：1.插值法，2.拟合与逼近，3.数值积分与数值微分4.线性方程组的直接解法5.线性方程组的选代解法，6.非线性方程求根的数值方法7.常微分方程的数值解法，8.矩阵特征值问题的数值解法等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，掌握常用的数值计算方法，培养学生应用计算机进行科学与工程计算的能力，学会用所学数值计算方法及Matlab等工具解决简单应用问题，为进一步的学习打下良好的基础。二、课程的教学内容、基本要求及学时分配（一）教学内容1.绪论数值分析研究对象与特点，数值计算的误差，误差定性分析与避免误差危害。2.插值法拉格朗日插值，均差与牛顿插值公式，埃尔米特插值，分段低次插值，三次样条插值。3.拟合与逼近曲线拟合的最小二乘法正交多项式，最佳平方逼近4.数值积分与数值微分机械求积法和代数精度，牛顿一柯特斯公式，复化求积公式，龙贝格求积公式，高斯求积公式，数值微分。5.线性方程组的直接解法高斯消去法，高斯主元素消去法，矩阵的三角分解法，解三对角方程组的追赶法，向量和矩阵的范数,方程组的性态与误差分析

《数值计算》教学大纲（研究生） 课程编号：0521010 英文名称：Numerical Analysis 课程类别：学位课，学时：40（不含课外实验），学分：2 适用专业：机电，土木，材料，汽车，理学院，化工，资环 预修课程：高等数学、线性代数 开课院系：理学院数学系 一、课程的性质与任务 随着科学技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，科学计算已成为科学和工程技术研究的 主要手段。计算机的迅速发展与广泛应用，有力地推动了科学计算技术的发展。科学计算 技术是以计算机为工具，以数值方法为依据的一门技术。数值计算课程的任务就是学习和 掌握在计算机上解决工程问题的常用数值计算方法及有关的基础理论知识。在学习高等数 学、线性代数的基础上，通过本课程的学习，要使学生获得： 1.插值法， 2.拟合与逼近, 3.数值积分与数值微分, 4.线性方程组的直接解法， 5.线性方程组的迭代解法， 6.非线性方程求根的数值方法 7.常微分方程的数值解法， 8.矩阵特征值问题的数值解法 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，掌握常用的数值计算方法，培养学生应用 计算机进行科学与工程计算的能力，学会用所学数值计算方法及 Matlab 等工具解决简单 应用问题，为进一步的学习打下良好的基础。 二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 （一）教学内容 1.绪论 数值分析研究对象与特点，数值计算的误差，误差定性分析与避免误差危害。 2.插值法 拉格朗日插值，均差与牛顿插值公式，埃尔米特插值，分段低次插值，三次样条插 值。 3.拟合与逼近 曲线拟合的最小二乘法；正交多项式，最佳平方逼近。 4.数值积分与数值微分 机械求积法和代数精度，牛顿－柯特斯公式，复化求积公式，龙贝格求积公式，高斯 求积公式，数值微分。 5.线性方程组的直接解法 高斯消去法,高斯主元素消去法,矩阵的三角分解法,解三对角方程组的追赶法,向量和矩 阵的范数,方程组的性态与误差分析

6.线性方程组的迭代解法基本迭代法，迭代法的收敛性，超松弛迭代法。7.非线性方程求根的数值方法二分法，不动点选代法，牛顿法，弦截法与抛物线法。8.常微分方程的数值解法欧拉法，龙格一库塔方法，单步法的收敛性与稳定性，线性多步法，一阶方程组和高阶方程，边值问题的数值解法。9.矩阵特征值问题的数值解法幂法及反幂法。（二）基本要求1.正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：误差，绝对误差，相对误差：插值，差商；曲线的拟合；最佳平方逼近；数值积分，代数精度，GausS点，数值微分；矩阵的三角分解，向量范数，矩阵范数；局部收敛性；单步法收敛性、稳定性。2.正确理解下列基本定理和公式并能正确运用插值多项式存在唯一性定理，Lagrange插值余项定理；选代法收敛性定理。3.牢固掌握下列公式：Lagrange插值公式，Newton插值公式，Hermite插值公式；数值积分公式，数值微分公式；追赶法公式，Jacobi迭代公式，Gauss-Seidel选代公式；Newton选代公式，弦截法公式，抛物线法公式；Euler公式，梯形公式，Runge-Kutta公式。4.熟练运用下列法则和方法：Lagrange插值方法，Newton插值方法，Hermite插值方法，样条插值方法；曲线的拟合方法；数值积分方法，数值微分方法；Gauss消去法，矩阵的三角分解法，平方根法，追赶法，Jacobi选代方法，Gauss-Seidel选代法；Newton迭代法，弦截法，抛物线法；幂法，反幂法；Euler方法，Runge-Kutta方法，线性多步法。5.会用所学数值计算方法及Matlab软件解决简单应用问题。（三）学时分配本课程的教学时数为40学时（不含课外实验），课内外学时比例为1:4，课内学时分配如下表：课程内容讲课实验小计404第一章绪论第二章插值法8(2)84(2)4第三章拟合与逼近(2)6第四章数值积分与数值微分6(2)4第五章线性方程组的直接解法46(2)第六章线性方程组的迭代解法4第七章非线性方程求根的数值方法4（2）4第八章常微分方程的数值解法4（2）6第九章矩阵特征值问题的数值解法2（2）2

6.线性方程组的迭代解法 基本迭代法，迭代法的收敛性，超松弛迭代法。 7.非线性方程求根的数值方法 二分法，不动点迭代法，牛顿法，弦截法与抛物线法。 8.常微分方程的数值解法 欧拉法，龙格－库塔方法，单步法的收敛性与稳定性，线性多步法，一阶方程组和高 阶方程，边值问题的数值解法。 9.矩阵特征值问题的数值解法 幂法及反幂法。 （二）基本要求 1.正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系： 误差，绝对误差，相对误差；插值，差商；曲线的拟合；最佳平方逼近；数值积分， 代数精度，Gauss 点，数值微分；矩阵的三角分解，向量范数，矩阵范数；局部收敛性； 单步法收敛性、稳定性。 2.正确理解下列基本定理和公式并能正确运用： 插值多项式存在唯一性定理，Lagrange 插值余项定理；迭代法收敛性定理。 3.牢固掌握下列公式： Lagrange 插值公式，Newton 插值公式，Hermite 插值公式；数值积分公式，数值微分 公式；追赶法公式，Jacobi 迭代公式，Gauss-Seidel 迭代公式；Newton 迭代公式，弦截法 公式，抛物线法公式；Euler 公式，梯形公式，Runge-Kutta 公式。 4.熟练运用下列法则和方法： Lagrange 插值方法，Newton 插值方法，Hermite 插值方法，样条插值方法；曲线的拟 合方法；数值积分方法，数值微分方法；Gauss 消去法，矩阵的三角分解法，平方根法， 追赶法，Jacobi 迭代方法，Gauss-Seidel 迭代法；Newton 迭代法，弦截法，抛物线法；幂 法，反幂法；Euler 方法，Runge-Kutta 方法，线性多步法。 5.会用所学数值计算方法及 Matlab 软件解决简单应用问题。 （三）学时分配 本课程的教学时数为 40 学时（不含课外实验），课内外学时比例为 1:4，课内学时分配 如下表： 课程内容 讲课 实验 小计 第一章 绪论 4 0 4 第二章 插值法 8 （2） 8 第三章 拟合与逼近 4 （2） 4 第四章 数值积分与数值微分 6 （2） 6 第五章 线性方程组的直接解法 4 （2） 4 第六章 线性方程组的迭代解法 4 （2） 6 第七章 非线性方程求根的数值方法 4 （2） 4 第八章 常微分方程的数值解法 4 （2） 6 第九章 矩阵特征值问题的数值解法 2 （2） 2

合计40（课外16）40（四）课程内容的重点、难点1插值法，重点：Lagrange插值，Newton插值难点：Hermite插值，样条插值2.拟合与逼近，重点：最小二乘曲线拟合难点：最佳平方逼近3.数值积分与数值微分，重点：代数精度概念，复化梯形公式难点：Romberg方法4.线性方程组的直接解法，重点：Gauss消去法，追赶法难点：向量范数和矩阵范数5.线性方程组的选代解法，重点：Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法难点：选代法的收敛性6.非线性方程求根的数值方法重点：Newton选代法难点：局部收敛性7.常微分方程的数值解法重点：Euler公式难点：四级4阶Runge-Kutta公式8.矩阵特征值问题的数值解法重点：幂法难点：反幂法：（五）（课外）实验的内容和要求1.单项实验的内容（1）验证拉格朗日、牛顿、分段、样条等插值的收敛性编写相关的Matlab程序，上机计算，打印相关图形及结论。2）用最小二乘法解决一个具体问题编写相关的Matlab程序，上机计算，打印相关图形及结论。3）比较复化梯形公式和Romberg公式的收敛速度编写相关的Matlab程序，上机计算，打印相关图形及结论。（4）用高斯消去法求解一个线性方程组编写相关的Matlab程序，上机计算，打印相关图形及结论。(5）用Jacobi选代公式，Gauss-Seidel选代公式求解一个线性方程组编写相关的Matlab程序，上机计算，打印相关图形及结论。（6）比较方程求根的二分法、牛顿法、弦截法的收敛速度编写相关的Matlab程序，上机计算，打印计算结果及相关结论

合计 40 （课外 16）40 （四）课程内容的重点、难点 1．插值法, 重点：Lagrange 插值，Newton 插值 难点：Hermite 插值，样条插值 2．拟合与逼近, 重点：最小二乘曲线拟合 难点：最佳平方逼近 3.数值积分与数值微分, 重点：代数精度概念，复化梯形公式 难点：Romberg 方法 4.线性方程组的直接解法， 重点：Gauss 消去法，追赶法 难点：向量范数和矩阵范数 5.线性方程组的迭代解法， 重点：Jacobi 迭代法 Gauss-Seidel 迭代法 难点：迭代法的收敛性 6.非线性方程求根的数值方法， 重点：Newton 迭代法 难点：局部收敛性 7.常微分方程的数值解法 重点：Euler 公式 难点：四级 4 阶 Runge-Kutta 公式 8.矩阵特征值问题的数值解法， 重点：幂法 难点：反幂法． （五）（课外）实验的内容和要求 1.单项实验的内容 （1）验证拉格朗日、牛顿、分段、样条等插值的收敛性 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印相关图形及结论。 （2）用最小二乘法解决一个具体问题 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印相关图形及结论。 （3）比较复化梯形公式和 Romberg 公式的收敛速度 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印相关图形及结论。 （4）用高斯消去法求解一个线性方程组 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印相关图形及结论。 （5）用 Jacobi 迭代公式，Gauss-Seidel 迭代公式求解一个线性方程组 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印相关图形及结论。 （6）比较方程求根的二分法、牛顿法、弦截法的收敛速度 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印计算结果及相关结论

（7）比较Euler公式和四级4阶Runge-Kutta公式的运算结果编写相关的Matlab程序，上机计算，打印计算结果及相关结论。（8）用幂法求一个矩阵的按模最大的特征值编写相关的Matlab程序，上机计算，打印相关图形及结论。2.实验的要求要求学生能应用计算机进行科学与工程计算，学会用所学数值计算方法及Matlab软件解决简单的应用问题。实验由学生课外自己完成，作为课外练习。三、课程改革与特色本门课程使用了多媒体教学手段，而且在教学中加入了实践环节，充分发挥教与学互动的效果；教师在传授知识的同时，注重培养学生的数学思维训练，掌握各种方法去解决实际问题。本课程主要研究工程实际问题与数学问题的数值解，具有严密性和实用性的特点。通过对本课程的学习，能将工程实际问题与数学问题有机地结合起来。从而能更好地理解所学内容。四、教材及参考书教材《数值分析》主编：陈晓江出版社：武汉理工大学出版社出版或修订时间：2013年参考书《数值分析》（第四版），主编：李庆扬、王能超、易大义出版社：清华大学出版社，施普林格出版社出版或修订时间：2001年《数值分析典型题解析》，主编：车刚明、聂玉峰、封建湖出版社：西北工业大学出版社出版或修订时间：2002年《NumericalAnalysis》，主编：RichardL.BurdenJ.DouglasFaires(SeventhEdition)出版社：HigherEducation Press Thomson Learning,Inc出版或修订时间：2001五、考核方式与要求平时成绩30%，考勤、课堂练习、课外练习；期末考试70%，闭卷考试

（7）比较 Euler 公式和四级 4 阶 Runge-Kutta 公式的运算结果 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印计算结果及相关结论。 （8）用幂法求一个矩阵的按模最大的特征值 编写相关的 Matlab 程序，上机计算，打印相关图形及结论。 2.实验的要求 要求学生能应用计算机进行科学与工程计算，学会用所学数值计算方法及 Matlab 软件 解决简单的应用问题。实验由学生课外自己完成，作为课外练习。 三、课程改革与特色 本门课程使用了多媒体教学手段，而且在教学中加入了实践环节，充分发挥教与学互动 的效果；教师在传授知识的同时，注重培养学生的数学思维训练，掌握各种方法去解决实 际问题。本课程主要研究工程实际问题与数学问题的数值解，具有严密性和实用性的特 点。通过对本课程的学习，能将工程实际问题与数学问题有机地结合起来。从而能更好地 理解所学内容。 四、教材及参考书 教材 《数值分析》， 主 编：陈晓江 出版社：武汉理工大学出版社 出版或修订时间：2013 年 参考书 《数值分析》（第四版）， 主 编：李庆扬、王能超、易大义 出版社：清华大学出版社，施普林格出版社 出版或修订时间：2001 年 《数值分析典型题解析》， 主 编：车刚明、聂玉峰、封建湖 出版社：西北工业大学出版社 出版或修订时间：2002 年 《Numerical Analysis》， 主 编：Richard L.Burden J.Douglas Faires (Seventh Edition) 出版社：Higher Education Press Thomson Learning,Inc. 出版或修订时间：2001 五、考核方式与要求 平时成绩 30%，考勤、课堂练习、课外练习； 期末考试 70%，闭卷考试