中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）3 开集、闭集、聚点、极限点和闭包

Lec4Note of Mathematical AnalysisB3Xuxuayame日期：2022年9月9日这一节依然参考讲义与Munkres。83开集、闭集、聚点、极限点和闭包3.1开集和闭集定义3.1.设(X,J)为拓扑空间，aEACX。如果存在一个开集Ga，使得aEGaCA则称a为A的在X中的一个内点(Interiorpoint)。A的在X中的内点的全体称为A的在X中的内部（Interior），记作IntA或A°或A。如果a是A°=X一A（A在X中的余集）的一个内点，则称a为A的外点（Exteriorpoint)。A的外点的全体称为A的外部(Exterior)，记作ExtA或Ae。如果a既不是A的内点，又不是A的外点，即a的任何邻域（Neighborhood）（含a的开集）必与A和Ac都相交，则称a为A的边界点（Boundarypoint)。A的边界点的全体称为A的边界（Boundary)，用aA或A来表示。定理3.1.设(X,J)为拓扑空间，ACX，则1. A° C A, A = (A), 0A=0AC;2.A°是A中关于X的最大开集；3.A是X的开集台A=A证明。1.由定义3.1显然。2.对任何aEA°，存在开集Ga，使得aEGaCA，因而GaCA，A°=Ga是QEAO开集。此外，如果GCA是X的开集，则对任何aEG，取开集Ga=G，于是aEGa=GCA，aEA，GCA。这就证明了A°是A中的关于X的最大开集。3.（）因为A是X的开集，所以A是A中关于X的最大开集，即A=A°。(←)若A=A，由2，它是X的开集。口1

Lec4 Note of Mathematical Analysis B3 Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 9 日 这一节依然参考讲义与 Munkres。 §3 开集、闭集、聚点、极限点和闭包 3.1 开集和闭集 定义 3.1. 设 (X, T) 为拓扑空间，a ∈ A ⊂ X。如果存在一个开集 Ga，使得 a ∈ Ga ⊂ A， 则称 a 为 A 的在 X 中的一个内点 (Interior point)。A 的在 X 中的内点的全体称为 A 的 在 X 中的内部 (Interior)，记作 IntA 或 A◦ 或 Ai。 如果 a 是 Ac = X −A（A 在 X 中的余集）的一个内点，则称 a 为 A 的外点 (Exterior point)。A 的外点的全体称为 A 的外部 (Exterior)，记作 ExtA 或 Ae。 如果 a 既不是 A 的内点，又不是 A 的外点，即 a 的任何邻域 (Neighborhood)（含 a 的开集）必与 A 和 Ac 都相交，则称 a 为 A 的边界点 (Boundary point)。A 的边界点的 全体称为 A 的边界 (Boundary)，用 ∂A 或 Ab 来表示。 定理 3.1. 设 (X, T) 为拓扑空间，A ⊂ X，则 1. A◦ ⊂ A, Ae = (Ac ) o , ∂A = ∂Ac； 2. A◦ 是 A 中关于 X 的最大开集； 3. A 是 X 的开集 ⇔ A = A◦。 证明. 1. 由定义 3.1 显然。 2. 对任何 a ∈ A◦，存在开集 Ga，使得 a ∈ Ga ⊂ A，因而 Ga ⊂ A ◦ , A◦ = ∪ a∈A◦ Ga 是 开集。 此外，如果 G ⊂ A 是 X 的开集，则对任何 a ∈ G，取开集 Ga = G，于是 a ∈ Ga = G ⊂ A, a ∈ A◦ , G ⊂ A◦。这就证明了 A◦ 是 A 中的关于 X 的最大开集。 3. (⇒) 因为 A 是 X 的开集，所以 A 是 A 中关于 X 的最大开集，即 A = A◦。 (⇐) 若 A = A◦，由 2，它是 X 的开集。 1

定义3.2.设（X,J）为拓扑空间，ACX，如果A°=X-A是X的开集，则称A为(X，）或X的闭集（Closedset)。闭集的全体记作α。例3.1.R的子集[a,b]是闭的，因为它的补集IR - [a,b] = (-00,a) U (b, +00)是开的。类似地，[a,+o）是闭的，因为它的补集（-αo,α)是开的。这些事实解释了我们所用的术语“闭区间”和“闭射线”。而R的子集[a，6既不是开集也不是闭集。例3.2.在集合X上的余有限拓扑中，由X自己和所有有限子集组成。例3.3.在集合X上的离散拓扑中，每个集合都是开集，进而指出每个集合也都是闭集。这些例子暗含了一个数学家们谜语的答案：“一个集合和门有什么不同？”应当是：“一扇门要么是关的要么是开的，而不能二者皆之，但一个集合可以是开的，或闭的，或都是，或都不是！”拓扑空间X的闭子集族具有类似于它的开子集族满足的性质：定理3.2.拓扑空间（X,J)的闭集族α具有下列三个性质：1 X,0Eg;2.如果FEa,则nFEo;3.如果F,FE，则FUF2Eo,由3和归纳法可推出：如果FEα（j=l,·，n)，则FEα。=反之，设是X的一个子集族，且满足上述1,2,3的三个条件。则存在X的唯一的一个拓扑丁，使得拓扑空间（X,J）的闭集族就是α。证明.因为XC=X-X=OJ,C=X-0=XE,所以X,OE0。如果Fa,Fi,F2E，则Fc,Ff,F。由DeMorgan公式和T的条件2,3得到(Fa)=UFEJ,NFEo(FUF2)°=FnFEJ,FUF2Eo为了证明定理的后半部分，我们令J={X-F=F[FEo]从DeMorgan公式和α的三个条件，T是X的一个拓扑。由J的定义可知，FEO台F-X-FEJ因此，α是（X,の）的所有闭集组成的闭集族。此外，要使α是另一个拓扑空间（X,T口的所有闭集所组成的闭集族，当且仅当=了。2

定义 3.2. 设 (X, T) 为拓扑空间，A ⊂ X，如果 Ac = X − A 是 X 的开集，则称 A 为 (X, T) 或 X 的闭集 (Closed set)。闭集的全体记作 σ。 例 3.1. R 的子集 [a, b] 是闭的，因为它的补集 R − [a, b] = (−∞, a) ∪ (b, +∞) 是开的。类似地，[a, +∞) 是闭的，因为它的补集 (−∞, a) 是开的。这些事实解释了我 们所用的术语“闭区间”和“闭射线”。而 R 的子集 [a, b) 既不是开集也不是闭集。 例 3.2. 在集合 X 上的余有限拓扑中，σ 由 X 自己和所有有限子集组成。 例 3.3. 在集合 X 上的离散拓扑中，每个集合都是开集，进而指出每个集合也都是闭集。 这些例子暗含了一个数学家们谜语的答案：“一个集合和门有什么不同？”应当 是：“一扇门要么是关的要么是开的，而不能二者皆之，但一个集合可以是开的，或闭 的，或都是，或都不是！” 拓扑空间 X 的闭子集族 σ 具有类似于它的开子集族满足的性质： 定理 3.2. 拓扑空间 (X, T) 的闭集族 σ 具有下列三个性质： 1. X, ∅ ∈ σ； 2. 如果 Fα ∈ σ，则 ∩ α Fα ∈ σ； 3. 如果 F1, F2 ∈ σ，则 F1 ∪ F2 ∈ σ， 由 3 和归纳法可推出：如果 Fj ∈ σ (j = 1, · · · , n)，则 ∪n j=1 Fj ∈ σ。 反之，设 σ 是 X 的一个子集族，且满足上述 1,2,3 的三个条件。则存在 X 的唯一 的一个拓扑 T，使得拓扑空间 (X, T) 的闭集族就是 σ。 证明. 因为 Xc = X − X = ∅ ∈ T, ∅c = X − ∅ = X ∈ T，所以 X, ∅ ∈ σ。 如果 Fα, F1, F2 ∈ σ，则 F c α , Fc 1 , Fc 2 ∈ T。由 De Morgan 公式和 T 的条件 2,3 得到 ( ∩ α Fα) c = ∪ α F c α ∈ T, ∩ α Fα ∈ σ (F1 ∪ F2) c = F c 1 ∩ F c 2 ∈ T, F1 ∪ F2 ∈ σ 为了证明定理的后半部分，我们令 T = {X − F = F c | F ∈ σ} 从 De Morgan 公式和 σ 的三个条件，T 是 X 的一个拓扑。由 T 的定义可知， F ∈ σ ⇔ F c = X − F ∈ T 因此，σ 是 (X, T) 的所有闭集组成的闭集族。此外，要使 σ 是另一个拓扑空间 (X, T ′ ) 的所有闭集所组成的闭集族，当且仅当 T ′ = T。 2

比起使用开集，我们也可以通过给出一个满足这条定理三个性质的的集族（即所谓的“闭集”）来确定集合上的拓扑。我们可以定义开集为闭集的补集，并像前面一样推导。这一套流程比起我们已经接受的那一套并没有什么特别的好处，而且绝大多数数学家偏好以开集来定义拓扑。例3.4.Rn中开集的构造：1.直线R1中的开集G是至多可数个两两不相交的开区间的并集。事实上，对任何aEG，令aa= inf[α / a E (a,β) C G],βa= sup[β I aE (α, β) CG),则显然有aE（aa,Ba),aa.βa±G，且（aa,Ba）是G中含a的最大区间（称为G的构成区间）。不难看出，这种构成区间或者不相交，或者重合。在G的每个构成区间中取一个有理点与它相对应，显然，不同的构成区间对应着不同的有理点，而有理点的全体是可数的，因此，G的构成区间的全体是至多可数的。2.R"，n≥1中的开集O是至多可数个两两几乎不相交1的闭立方体的并集。我们需要构造一个含有可数多个闭立方体的集族Q，满足它们的内部不交，且O =UQQQ.第一步，考虑Rn中取所有顶点为整点且边长为1的闭立方体形成的网格。换句话说，我们考虑平行于坐标轴的自然网格，即由Z"生成的网格。我们还要用到通过不断二分原来的网格得到的边长为2-N的网格。我们将最开始网格的格子，作为Q的一部分，进行筛选。若Q完全包含在内，则我们保留Q；若Q同时与O和O°相交，则我们暂时保留它；若Q完全被O包含，则我们删去它。第二步，我们将那些暂时保留的立方体二分成2个边长为一的立方体。然后我们重复这一过程，保留那些完全被包含的小之又小的立方体，暂时保留那些同时与O和Oc的立方体，删去那些完全被Oc的立方体。图1描述了R2中的过程。Step1Step2图1：将○分解为几乎不交的集合这里指的是最多只有边界相交，内部不交3

比起使用开集，我们也可以通过给出一个满足这条定理三个性质的的集族（即所谓 的“闭集”）来确定集合上的拓扑。我们可以定义开集为闭集的补集，并像前面一样推 导。这一套流程比起我们已经接受的那一套并没有什么特别的好处，而且绝大多数数学 家偏好以开集来定义拓扑。 例 3.4. R n 中开集的构造： 1. 直线 R 1 中的开集 G 是至多可数个两两不相交的开区间的并集。 事实上，对任何 a ∈ G，令 αa = inf{α | a ∈ (α, β) ⊂ G}, βa = sup{β | a ∈ (α, β) ⊂ G}, 则显然有 a ∈ (αa, βa), αa, βa ∈/ G，且 (αa, βa) 是 G 中含 a 的最大区间（称为 G 的 构成区间）。不难看出，这种构成区间或者不相交，或者重合。在 G 的每个构成区 间中取一个有理点与它相对应，显然，不同的构成区间对应着不同的有理点，而 有理点的全体是可数的，因此，G 的构成区间的全体是至多可数的。 2. R n , n ≥ 1 中的开集 O 是至多可数个两两几乎不相交1的闭立方体的并集。 我们需要构造一个含有可数多个闭立方体的集族 Q，满足它们的内部不交，且 O = ∪ Q∈Q Q。 第一步，考虑 R n 中取所有顶点为整点且边长为 1 的闭立方体形成的网格。换句 话说，我们考虑平行于坐标轴的自然网格，即由 Z n 生成的网格。我们还要用到通 过不断二分原来的网格得到的边长为 2 −N 的网格。 我们将最开始网格的格子，作为 Q 的一部分，进行筛选。若 Q 完全包含在 O 内， 则我们保留 Q；若 Q 同时与 O 和 Oc 相交，则我们暂时保留它；若 Q 完全被 Oc 包含，则我们删去它。 第二步，我们将那些暂时保留的立方体二分成 2 d 个边长为 1 2 的立方体。然后我们 重复这一过程，保留那些完全被 O 包含的小之又小的立方体，暂时保留那些同时 与 O 和 Oc 的立方体，删去那些完全被 Oc 的立方体。图 1 描述了 R 2 中的过程。 图 1: 将 O 分解为几乎不交的集合 1这里指的是最多只有边界相交，内部不交 3

这一过程不断重复、而（由构造）最后所有被保留的立方体组成的集族Q是可数的，并由几乎不交的立方体组成。为了确认为什么它们的并是的全部，我们指出，给定rEO，存在一个边长为2-N立方体（从不断二分一开始的网格得到的）包含并完全包含在内。要么这个立方体被保留了，要么这个立方体被完全包含在某个已经保留的立方体内。这就指出Q的所有立方体的并覆盖了。3.2聚点、极限点和闭包定义3.3.设（X,J）是拓扑空间，ACX，且EX。如果的在X中的任一邻域U都包含A一的一个点（即Un（A一≠の）。则称为A的在X中的一个聚点或极限点（Limitpoint)。称A的聚点的全体为A的导集（Derivedset)记为A（或Ad）。而A=AUA'称为A的在X中的闭包（Closure）。如果A=X，则称A为X的稠密子集(Dense subset)。评论.集合A的闭包也可以定义为所有包含A的闭集的交。例3.5.注意到Q=R，Q=R，（R-Q)=R,R-Q=R。即Q和R-Q都是R的稠密子集。例3.6.设(X，pP)是度量空间。1.如果ACX是有限子集，则A=①。2.如果X的子集A中的任两点的距离都大于一固定的正数α，则A=①（留作习题)。例3.7.设X是多于两点的集合，（X，Ttrivial）为平凡拓扑空间。A=[a,bla,bEX, a+b]则A=X=A，即A是X的稠密子集（与例3.6比较）。例3.8.设（X,の）为Lec3例2.7中的拓扑空间，且A=[(,y) /0<2 +y? <则1=AA=QU((r,y)]0<r?+y?≤定理3.3.设（X,J）是拓扑空间，ACX，则1. A= AUA'=AUOA.2.A是包含A的最小闭集。3.A是闭集台A=A（或ACA。证明1.如果EA-A，则rEA，于是AUA=AU(A-A)CAUOA。如果TEA-A，则EA，于是AUA=AU(A-A)CAUA。这就证明了AUA'=AUOA4

这一过程不断重复，而（由构造）最后所有被保留的立方体组成的集族 Q 是可数 的，并由几乎不交的立方体组成。为了确认为什么它们的并是 O 的全部，我们指 出，给定 x ∈ O，存在一个边长为 2 −N 立方体（从不断二分一开始的网格得到的） 包含 x 并完全包含在 O 内。要么这个立方体被保留了，要么这个立方体被完全包 含在某个已经保留的立方体内。这就指出 Q 的所有立方体的并覆盖了 O。 3.2 聚点、极限点和闭包 定义 3.3. 设 (X, T) 是拓扑空间，A ⊂ X，且 x ∈ X。如果 x 的在 X 中的任一邻域 U 都 包含 A − {x} 的一个点（即 U ∩ (A − {x}) 6= ∅）。则称 x 为 A 的在 X 中的一个聚点或 极限点 (Limit point)。称 A 的聚点的全体为 A 的导集 (Derived set)，记为 A′（或 Ad）。而 A¯ = A ∪ A′ 称为 A 的在 X 中的闭包 (Closure) 。如果 A¯ = X，则称 A 为 X 的稠密子集 (Dense subset)。 评论. 集合 A 的闭包也可以定义为所有包含 A 的闭集的交。 例 3.5. 注意到 Q′ = R, Q¯ = R, (R − Q) ′ = R, R − Q = R。即 Q 和 R − Q 都是 R 的稠 密子集。 例 3.6. 设 (X, ρ) 是度量空间。 1. 如果 A ⊂ X 是有限子集，则 A′ = ∅。 2. 如果 X 的子集 A 中的任两点的距离都大于一固定的正数 σ，则 A′ = ∅（留作习 题）。 例 3.7. 设 X 是多于两点的集合，(X, Ttrivial) 为平凡拓扑空间。 A = {a, b | a, b ∈ X, a 6= b} 则 A′ = X = A¯，即 A 是 X 的稠密子集（与例 3.6 比较）。 例 3.8. 设 (X, T) 为 Lec3 例 2.7 中的拓扑空间，且 A = {(x, y) | 0 < x2 + y 2 < 1 4 } 则 A ′ = Q ∪ {(x, y)|0 < x2 + y 2 ≤ 1 4 } = A¯ 定理 3.3. 设 (X, T) 是拓扑空间，A ⊂ X，则 1. A¯ = A ∪ A′ = A ∪ ∂A。 2. A¯ 是包含 A 的最小闭集。 3. A 是闭集 ⇔ A¯ = A（或 A′ ⊂ A）。 证明. 1. 如果 x ∈ A′ − A，则 x ∈ ∂A，于是 A ∪ A′ = A ∪ (A′ − A) ⊂ A ∪ ∂A。如果 x ∈ ∂A − A，则 x ∈ A′，于是 A ∪ ∂A = A ∪ (∂A − A) ⊂ A ∪ A′。这就证明了 A ∪ A ′ = A ∪ ∂A 4

2.如果EAc，则±A=AUA，于是存在的邻域U()，使U()nA=，由此推出U(r)n(AUA)=U()nA=の,U()CA。这就证明了Ac= U U(r)reAe是开集（或由Ac=（A)°可知是开集），即A是闭集。此外，如果闭集FA，则对任何EFc（开集），必有AUA'=A，即AcF.综合上述可知A是包含A的最小闭集。3.（←)由2知A=A是闭集。(）由2和A是闭集得到ADADA.即A=A。口定理3.4.设（X，）为拓扑空间，则闭包具有以下四个性质：1. 0=0;2. ACA;3.ACA(由23推出A=A);4. AUB=AUB,反之，设X是一个集合，而且给定了子集之间的对应h*：A→A*，且具有四个性质：1. 0*=0;2. ACA*;3.A**=A*（由2,3推出A**=A*);4. (AUB)*= A*UB*则存在X的唯一的一个拓扑T，使得拓扑空间（X,J）的子集对应h：A一A就是给定的h*:A→A*。证明.从定义3.3立即推出闭包的性质1和2。设EA，则对任何的邻域U()必包含一点yEA。于是，对于y的邻域U(c)必包含一点aEA，这就证明了EA，ACA，即闭包的性质3。由AUBA得到AUBA，同理AUBB。所以AUBAUB。闭包性质4的另一部分用反证法证明。设EAUB，但AUB，则存在的邻域U(c)和V(r)，使得U(a)不含A的点，V(r)不含B的点，因而的邻域U(r)nV(r)不含AUB的点，这与EAUB矛盾。反之，如果给定了满足四个性质的子集之间的对应h*，我们令α={FCXIF*=F)则α具有定理3.2的三个性质。由h*的性质1，*=→E。由h*的性质2,XCX*CX=X=X*=→XEo。5

2. 如果 x ∈ A¯c，则 x /∈ A¯ = A ∪ A′，于是存在 x 的邻域 U(x)，使 U(x) ∩ A = ∅，由 此推出 U(x) ∩ (A ∪ A′ ) = U(x) ∩ A¯ = ∅, U(x) ⊂ A¯c。这就证明了 A¯c = ∪ x∈A¯c U(x) 是开集（或由 A¯c = (Ac ) o 可知是开集），即 A¯ 是闭集。 此外，如果闭集 F ⊃ A，则对任何 x ∈ F c（开集），必有 x /∈ A ∪ A′ = A¯，即 A¯ ⊂ F。 综合上述可知 A¯ 是包含 A 的最小闭集。 3. (⇐) 由 2 知 A = A¯ 是闭集。 (⇒) 由 2 和 A 是闭集得到 A ⊃ A¯ ⊃ A，即 A¯ = A。 定理 3.4. 设 (X, T) 为拓扑空间，则闭包具有以下四个性质： 1. ∅¯ = ∅； 2. A ⊂ A¯； 3. A ¯¯ ⊂ A¯（由 2,3 推出 A ¯¯ = A¯）； 4. A ∪ B = A¯ ∪ B¯， 反之，设 X 是一个集合，而且给定了子集之间的对应 h ∗ : A 7→ A∗，且具有四个性质： 1. ∅∗ = ∅； 2. A ⊂ A∗； 3. A∗∗ = A∗（由 2,3 推出 A∗∗ = A∗）； 4. (A ∪ B) ∗ = A∗ ∪ B∗， 则存在 X 的唯一的一个拓扑 T，使得拓扑空间 (X, T) 的子集对应 h : A 7→ A¯ 就是给定 的 h ∗ : A 7→ A∗。 证明. 从定义 3.3 立即推出闭包的性质 1 和 2。 设 x ∈ A ¯¯，则对任何 x 的邻域 U(x) 必包含一点 y ∈ A¯。于是，对于 y 的邻域 U(x) 必包含一点 a ∈ A，这就证明了 x ∈ A¯，A ¯¯ ⊂ A¯，即闭包的性质 3。 由 A ∪ B ⊃ A 得到 A ∪ B ⊃ A¯，同理 A ∪ B ⊃ B¯。所以 A ∪ B ⊃ A¯ ∪ B¯。闭包性 质 4 的另一部分用反证法证明。设 x ∈ A ∪ B，但 x /∈ A¯ ∪ B¯，则存在 x 的邻域 U(x) 和 V (x)，使得 U(x) 不含 A 的点，V (x) 不含 B 的点，因而 x 的邻域 U(x) ∩ V (x) 不含 A ∪ B 的点，这与 x ∈ A ∪ B 矛盾。 反之，如果给定了满足四个性质的子集之间的对应 h ∗，我们令 σ = {F ⊂ X | F ∗ = F} 则 σ 具有定理 3.2 的三个性质。 由 h ∗ 的性质 1，∅∗ = ∅ ⇒ ∅ ∈ σ。 由 h ∗ 的性质 2，X ⊂ X∗ ⊂ X ⇒ X = X∗ ⇒ X ∈ σ。 5

由h*的性质4，如果Fi,F2Eα，则（FiUF2)*=FUF=FiUF2。于是FUF2E0由h*的性质4，如果ACB，则有A*C A*U(B-A)*= (AU(B-A)*= B*设F&Eα，即F=Fa，则有(nFa)*c Ft=Fa，(nFa)*cnFa再由h*的性质2得到NFaC(NFa)*这就证明了(nFa)*-nFa, i.e. nFa E 根据定理3.2，存在X的唯一的拓扑T，使得拓扑空间（X，J)的闭集族恰为α。令（X，T）的子集与它的闭包之间的对应为h：A→A。因此，h具有闭包的四个性质。最后，我们只需证明h=h*，即对任何ACX，有A=A*。由h*的性质2，有ACA*。再根据h的性质4推出ACA*。因为A**=A*，所以A*Eα，即A*为(X,J)的闭集，A*=A*。于是ACA。类似地，由h的性质2，有ACA。再根据h*的性质4推出A*C（A)*。因为A是口(X,J)的闭集，即(A)*=A。于是A*CA。因此，A=A*。定义3.4.设（X,)为拓扑空间，an，EX，如果对于的每个邻域U)，存在NEN，当n>N时，有EnEU(r)则称点列【n}=[ai,2，..，an，..」收敛（Converge）于r，记为liman= (或n→r(n→+o)n-→+o而称为【an）的极限点（Limitpoint)定理3.5.设（X，）为拓扑空间，ACX是闭集，则对A中的任何点列n)，若limn=r+必有EA，反之不成立（参看例3.9）证明.设anEA，limn=C。如果有某个n=，则自然EA。如果对一切n,n≠，则对的任何邻域U(a)，存在NEN，当n>N时，nEU(c)。因此，口EACA（A为闭集）。例3.9.设X=[0,1]=[cER|0≤a≤1],J=[の,X-C/C是X中的至多可数集],由DeMorgan公式可以验证T是一个拓扑，于是（X，T）是一个拓扑空间。6

由 h ∗ 的性质 4，如果 F1, F2 ∈ σ，则 (F1 ∪ F2) ∗ = F ∗ 1 ∪ F ∗ 2 = F1 ∪ F2。于是 F1 ∪ F2 ∈ σ 由 h ∗ 的性质 4，如果 A ⊂ B，则有 A ∗ ⊂ A ∗ ∪ (B − A) ∗ = (A ∪ (B − A))∗ = B ∗ 设 Fα ∈ σ，即 F ∗ α = Fα，则有 ( ∩ α Fα) ∗ ⊂ F ∗ α = Fα, ( ∩ α Fα) ∗ ⊂ ∩ α Fα 再由 h ∗ 的性质 2 得到 ∩ α Fα ⊂ ( ∩ α Fα) ∗ 这就证明了 ( ∩ α Fα) ∗ = ∩ α Fα, i.e. ∩ α Fα ∈ σ 根据定理 3.2，存在 X 的唯一的拓扑 T，使得拓扑空间 (X, T) 的闭集族恰为 σ。令 (X, T) 的子集与它的闭包之间的对应为 h : A 7→ A¯。因此，h 具有闭包的四个性质。最后，我 们只需证明 h = h ∗，即对任何 A ⊂ X，有 A¯ = A∗。 由 h ∗ 的性质 2，有 A ⊂ A∗。再根据 h 的性质 4 推出 A¯ ⊂ A¯∗。因为 A∗∗ = A∗，所 以 A∗ ∈ σ，即 A∗ 为 (X, T) 的闭集，A¯∗ = A∗。于是 A¯ ⊂ A∗。 类似地，由 h 的性质 2，有 A ⊂ A¯。再根据 h ∗ 的性质 4 推出 A∗ ⊂ (A¯) ∗。因为 A¯ 是 (X, T) 的闭集，即 (A¯) ∗ = A¯。于是 A∗ ⊂ A¯。因此，A¯ = A∗。 定义 3.4. 设 (X, T) 为拓扑空间，xn, x ∈ X，如果对于 x 的每个邻域 U(x)，存在 N ∈ N， 当 n > N 时，有 xn ∈ U(x) 则称点列 {xn} = {x1, x2, · · · , xn, · · · } 收敛 (Converge) 于 x，记为 lim n→+∞ xn = x (或xn → x(n → +∞)) 而 x 称为 {xn} 的极限点 (Limit point) 定理 3.5. 设 (X, T) 为拓扑空间，A ⊂ X 是闭集，则对 A 中的任何点列 {xn}，若 lim n→+∞ xn = x 必有 x ∈ A，反之不成立（参看例 3.9） 证明. 设 xn ∈ A， lim n→+∞ xn = x。如果有某个 xn = x，则自然 x ∈ A。如果对一切 n, xn 6= x，则对 x 的任何邻域 U(x)，存在 N ∈ N，当 n > N 时，xn ∈ U(x)。因此， x ∈ A′ ⊂ A（A 为闭集）。 例 3.9. 设 X = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}，T = {∅, X − C | C是X中的至多可数集}， 由 De Morgan 公式可以验证 T 是一个拓扑，于是 (X, T) 是一个拓扑空间。 6

设A是X的可数子集，对任何EX，U(）=(IU(X-A)是的一个邻域，显然U(r)n(A-(r)) =0因此A无聚点。如果A是X的不可数子集，对rEX和的任何邻域U(r）=X-C(C是至多可数集)，则存在yEA-C-(c)，yEU(r)n(A-(r)，所以是A的聚点。于是存在A=A=X此外，如果limn=，则对的邻域(x -U(ri)u (n)必有NEN，当n>N时,In E (X -U(ril)U ()i=1因此an=(n>N)。设A=X-{O]。若anEA,limn=a,则存在NEN,当n>N时,=nEA,但A不是闭集（A°=01不是开集）。例3.10.在例3.7中，取n=aEX，显然n以X中任何点为极限点。在例3.8中，取an=（,0)，显然{an)以Q中任一点为极限点。定理3.6.设（X,P）为度量空间，则1.定义3.4与Lecl的定义1.4是等价的。2.收敛点列【rn]的极限点是唯一的。3.设ACX，则是A的聚点台的任何邻域中必含A的无限个点。台A-(c}中存在点列【an]，使得liman=。台A-{a}中存在各项不同的点列(un]，使得limyn=。4.设[an】是X中的点列，则A=U(rn)以为聚点台[n]存在各项不同的子点列(n}以为极限点。5.ACX为闭集台A中任何点列[n]，若liman=&，则EA。-证明.我们只证2和5，其余留作习题。2、如果limn=a，limn=yn→+00n-→+x则对任何ε>0，存在NEN，当n>N时，有Cp(zn,)<p(an,a) <2.7

设 A 是 X 的可数子集，对任何 x ∈ X，U(x) = {x} ∪ (X − A) 是 x 的一个邻域，显 然 U(x) ∩ (A − {x}) = ∅ 因此 A 无聚点。如果 A 是 X 的不可数子集，对 x ∈ X 和 x 的任何邻域 U(x) = X −C(C 是至多可数集)，则存在 y ∈ A − C − {x}, y ∈ U(x) ∩ (A − {x})，所以 x 是 A 的聚点。 于是存在 A¯ = A ′ = X 此外，如果 lim n→+∞ xn = x，则对 x 的邻域 (X − + ∪∞ i=1 {xi}) ∪ {x} 必有 N ∈ N，当 n > N 时， xn ∈ (X − + ∪∞ i=1 {xi}) ∪ {x} 因此 xn = x (n > N)。 设 A = X −{0}。若 xn ∈ A, lim n→+∞ xn = x，则存在 N ∈ N，当 n > N 时，x = xn ∈ A， 但 A 不是闭集（Ac = {0} 不是开集）。 例 3.10. 在例 3.7 中，取 xn = a ∈ X，显然 xn 以 X 中任何点为极限点。 在例 3.8 中，取 xn = ( 1 n , 0)，显然 {xn} 以 Q 中任一点为极限点。 定理 3.6. 设 (X, ρ) 为度量空间，则 1. 定义 3.4 与 Lec1 的定义 1.4 是等价的。 2. 收敛点列 {xn} 的极限点是唯一的。 3. 设 A ⊂ X，则 x 是 A 的聚点 ⇔ x 的任何邻域中必含 A 的无限个点。 ⇔ A − {x} 中存在点列 {xn}，使得 lim n→+∞ xn = x。 ⇔ A − {x} 中存在各项不同的点列 {yn}，使得 lim n→+∞ yn = x。 4. 设 {xn} 是 X 中的点列，则 A = + ∪∞ i=1 {xn} 以 x 为聚点 ⇔ {xn} 存在各项不同的子点列 {xnk } 以 x 为极限点。 5. A ⊂ X 为闭集 ⇔ A 中任何点列 {xn}，若 lim n→+∞ xn = x，则 x ∈ A。 证明. 我们只证 2 和 5，其余留作习题。 2、如果 lim n→+∞ xn = x, lim n→+∞ xn = y 则对任何 ε > 0，存在 N ∈ N，当 n > N 时，有 ρ(xn, x) < ε 2 , ρ(xn, y) < ε 2 7

于是080≤p(r,y)≤p(r,an)+p(cn,y)<=E+22令→0得到p(,y)=0，由p的条件1推出a=y。5、(→)由定理3.5。(-)设aEA'，由上述性质3，有A-(a)中的点列(an)，使得_limn=，于n十α口是从题设推出EA，即A'CA，A为闭集。8

于是 0 ≤ ρ(x, y) ≤ ρ(x, xn) + ρ(xn, y) < ε 2 + ε 2 = ε 令 ε → 0 得到 ρ(x, y) = 0，由 ρ 的条件 1 推出 x = y。 5、(⇒) 由定理 3.5。 (⇐) 设 x ∈ A′，由上述性质 3，有 A − {x} 中的点列 {xn}，使得 lim n→+∞ xn = x，于 是从题设推出 x ∈ A，即 A′ ⊂ A，A 为闭集。 8