中国科学技术大学：《微分方程引论》课程教学资源（讲义）Lec3 Note of Introduction to Differential Equation

Lec3 Note of Introduction to Differential EquationXuxuayame日期：2022年9月5日例2.1.讨论形如dy= f(ar + by +cdrmr+ny+i的方程的求解方法，这里a,b,c,m,n,l为常数。解。·若c=l=0，则为齐次方程。·若c,l不同时为零，令=+α，y=n+β，α,β为常数。则原方程变为=(α+taa+bB)(*)dem+nn+ma+nβ+iaa+bβ+c=0若an-bm+o,3a,βs.t.ma+nβ+l=0则(*)为齐次方程。b若设比值为入，则原方程变为，mn.dyX(mr +ny) +drmr+ny+l令u=ma+ny，则方程变为dudyAu+m+nm+drdru+l为可分离变量的方程。口2、Bernoulli方程考虑以下方程：+p(n)y=(a)，n1da·y=0是方程的解。1 dy1+p(c)= q(α)yn-iyn dr1 dyl-n+p(r)yl-n =q(r)1-ndr1

Lec3 Note of Introduction to Differential Equation Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 5 日 例 2.1. 讨论形如 dy dx = f( ax + by + c mx + ny + l ) 的方程的求解方法，这里 a, b, c, m, n, l 为常数。 解. • 若 c = l = 0，则为齐次方程。 • 若 c, l 不同时为零，令 x = ξ + α, y = η + β，α, β 为常数。 则原方程变为 dη dξ = f( aξ + bη + aα + bβ + c mξ + nη + mα + nβ + l ) (∗) 若 an − bm ̸= 0，∃ α, β s.t.    aα + bβ + c = 0 mα + nβ + l = 0 则 (∗) 为齐次方程。 若 a m = b n ，设比值为 λ，则原方程变为 dy dx = f( λ(mx + ny) + c mx + ny + l ) 令 u = mx + ny，则方程变为 du dx = m + n dy dx = m + nf( λu + c u + l ) 为可分离变量的方程。 2、Bernoulli 方程 考虑以下方程： dy dx + p(x)y = q(x)y n , n ̸= 1 • y ≡ 0 是方程的解。 • 1 y n dy dx + p(x) 1 y n−1 = q(x) ⇒ 1 1 − n dy 1−n dx + p(x)y 1−n = q(x) 1

令z=yl-n，则dz2 +(1 -n)p(r)z= (1- n)q(r)dr为一阶线性方程。3、Riccati方程考虑以下方程dy(1)=p(r)y? +q(z)y+r(r)dr这里p,9,r在I上连续，p(α)在I上不恒为零。但事实上这个方程我们无法直接求解的，我们必须借助它的某个特解来求通解。设它的一个特解为()，那么设y(）=(r）+u()，则dudydpdrdrdr=[p(+)?+q(+)+r] -[pp?+q+r]=pu?+2ppu+qudu即 =pu?+（2pp+q)u，为Bernoulli方程。da例2.2.求解dy+ay2=br-2dr这里a,b为常数。解·y=0不是解。·两边同时乘可得1 dy1十01y? dr2ydl+a=b-drr2(U1dzb则令之为齐次方程。a222dxydu则u+a=a－bu2，为可分离变量的方程。令z=ur，d口4、Gronwall不等式定理2.1.令K是非负常数，f(r),g(）是区间α≤≤β上的连续非负函数，且满足不等式f(r)≤K+f(s)g(s)ds,Vα≤≤β则 f(r)<Kelg(a)ds, Vα≤r≤β。2

令 z = y 1−n，则 dz dx + (1 − n)p(x)z = (1 − n)q(x) 为一阶线性方程。 3、Riccati 方程 考虑以下方程 dy dx = p(x)y 2 + q(x)y + r(x) (1) 这里 p, q, r 在 I 上连续，p(x) 在 I 上不恒为零。 但事实上这个方程我们无法直接求解的，我们必须借助它的某个特解来求通解。 设它的一个特解为 φ(x)，那么设 y(x) = φ(x) + u(x)，则 du dx = dy dx − dφ dx =[p(φ + u) 2 + q(φ + u) + r] − [pφ2 + qφ + r] =pu2 + 2pφu + qu 即 du dx = pu2 + (2pφ + q)u，为 Bernoulli 方程。 例 2.2. 求解 dy dx + ay2 = bx−2 这里 a, b 为常数。 解. • y ≡ 0 不是解。 • 两边同时乘 1 y 2，可得 1 y 2 dy dx + a = b 1 x 2y 2 ⇒ − d 1 y dx + a = b 1 x 2 ( 1 y ) 2 令 z = 1 y ，则 dz dx − a = − b x 2 z 2，为齐次方程。 令 z = ux，则 u + x du dx = a − bu2，为可分离变量的方程。 4、Gronwall 不等式 定理 2.1. 令 K 是非负常数，f(x), g(x) 是区间 α ≤ x ≤ β 上的连续非负函数，且满足不 等式 f(x) ≤ K + ∫ x α f(s)g(s) d s, ∀ α ≤ x ≤ β 则 f(x) ≤ Ke ∫ x α g(s) d s , ∀ α ≤ x ≤ β。 2

证明.令A(c)=K+f(s)g(s)ds, 则A(r) = f(r)g(r) ≤ g(r)A(r)于是(A(a)e-J. g(a)ds) = (A(a) - g(r)A(r)e-9(s)ds ≤0→A(r)e-Jg(a)ds ≤A(α) = K=f(a)<≤A(r)≤ Kelag()ds, Vα≤r≤β口df定理2.2.(Gronwall，微分形式)冷f ECi([a,B)）非负，且满足≤g(r)f(r), Vr Edr[α,β]，其中g(r)在[α,β]上连续非负，则有f(r) ≤f(a)el. g(s)ds, Vre [a, B]证明。由于(f(r)e- Ja g(s)ds) = (f' - gf)e-J g(a)ds ≤0故f(a)e-I.g(0)ds ≤f(a), Vre[a,β]口82.5一阶隐式方程考虑一般的一阶方程dyF(r,y,(2)dr1、微分法dy设从(2)可以解出y=f(,p)p:dr则两边关于求导，可得dy af,fdpP=dr=arpdr即afafdp=0p)dr+(3)Orp若(3)有通解p=u(r,C)，则y=f(r,u(a,C))是原方程的通解。若(3)有特解p=u(α)，则原方程的特解为y=f(r,u(r))。r = w(p, C)·若(3)有通解r=w(p,C)，则原方程的通解为y = f(w(p, C),p)3

证明. 令 A(x) = K + ∫ x α f(s)g(s) d s，则 A ′ (x) = f(x)g(x) ≤ g(x)A(x) 于是 (A(x)e − ∫ x α g(s) d s ) ′ = (A ′ (x) − g(x)A(x))e − ∫ x α g(s) d s ≤ 0 ⇒A(x)e − ∫ x α g(s) d s ≤ A(α) = K ⇒f(x) ≤ A(x) ≤ Ke ∫ x α g(s) d s , ∀ α ≤ x ≤ β 定理 2.2. (Gronwall，微分形式)令 f ∈ C 1 ([α, β]) 非负，且满足 df dx ≤ g(x)f(x), ∀ x ∈ [α, β]，其中 g(x) 在 [α, β] 上连续非负，则有 f(x) ≤ f(α)e ∫ x α g(s) d s , ∀ x ∈ [α, β] 证明. 由于 (f(x)e − ∫ x α g(s) d s ) ′ = (f ′ − gf)e − ∫ x α g(s) d s ≤ 0 故 f(x)e − ∫ x α g(s) d s ≤ f(α), ∀ x ∈ [α, β] §2.5 一阶隐式方程 考虑一般的一阶方程 F(x, y, dy dx ) = 0 (2) 1、微分法 设从 (2) 可以解出 y = f(x, p), p = dy dx 。 则两边关于 x 求导，可得 p = dy dx = ∂f ∂x + ∂f ∂p dp dx 即 ( ∂f ∂x − p)dx + ∂f ∂p dp = 0 (3) • 若 (3) 有通解 p = u(x, C)，则 y = f(x, u(x, C)) 是原方程的通解。 • 若 (3) 有特解 p = v(x)，则原方程的特解为 y = f(x, v(x))。 • 若 (3) 有通解 x = ω(p, C)，则原方程的通解为    x = ω(p, C) y = f(ω(p, C), p) 3

例2.3.求解克莱罗方程dyy=p+f(p),p=dr其中"(p)≠0解。对求导，可得dp+f()dpp=p+rdrdrdp→(r + f'(p)=0drdpP=0→p=C→通解为y=Ca+f(C)。drr=-f'(p).r+f'(p)=0，特解为y=-pf(p) + f(p)口C2=&p若f(p)=，通解为=Ca-，特解为→y=r?y=p2+(-1p2)=1p2注意到这里特解并不是通解中的一条线。而事实上对于一般情形也是如此，特解并非通解中的一条线。对特解a=一f(p)，由于f"(p)≠0，由隐函数定理，可以解出p=w(α)，且r=一f(w(r))，于是1=一f"(w(r)).w'(α)：因此w(r）≠0，即p=w(r)不是常数。评论.这个特解又称为微分方程的奇解，或一族通解的包络。不是我们这里要讨论的。4

例 2.3. 求解克莱罗方程 y = xp + f(p), p = dy dx 其中 f ′′(p) ̸= 0 解. 对 x 求导，可得 p = p + x dp dx + f ′ (p) dp dx ⇒(x + f ′ (p))dp dx = 0 • dp dx = 0 ⇒ p = C ⇒ 通解为 y = Cx + f(C)。 • x + f ′ (p) = 0，特解为    x = −f ′ (p) y = −pf′ (p) + f(p) 。 若 f(p) = − 1 4 p 2，通解为 y = Cx − C 2 4 ，特解为    x = 1 2 p y = 1 2 p 2 + (− 1 4 p 2 ) = 1 4 p 2 ⇒ y = x 2。 注意到这里特解并不是通解中的一条线。而事实上对于一般情形也是如此，特解并非通 解中的一条线。 对特解 x = −f ′ (p)，由于 f ′′(p) ̸= 0，由隐函数定理，可以解出 p = ω(x)，且 x = −f ′ (ω(x))，于是 1 = −f ′′(ω(x)) · ω ′ (x)，因此 ω ′ (x) ̸= 0，即 p = ω(x) 不是常数。 评论. 这个特解又称为微分方程的奇解，或一族通解的包络。不是我们这里要讨论的。 4