《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.1 曲面的概念

曲面论第二章1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、内客提要正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯一波涅公式、曲面上向量的平行移动）7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）

第二章 曲面论 内 容 提 要 1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线） 2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、 正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换） 3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的 曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等） 4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面） 5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理） 6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅 公式、曲面上向量的平行移动） 7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗 氏几何）

第一节曲面的概念1、1简单曲面及其参数表示一、初等区域平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。二、简单曲面如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简单曲面。今后我们所用的都是简单曲面或曲面。如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如果它是橡皮膜，还可变成园环面

第一节 曲面的概念 1、1 简单曲面及其参数表示 一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线。约当曲线将平面分成 两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的， 另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部 称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。 如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上 的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简 单曲面。 今后我们所用的都是简单曲面或曲面。 如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如果它 是橡皮膜，还可变成园环面。 二、简单曲面

三、 曲面的方程初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,z)，故有x=fi(u,v),y=f(u,v), z=fs(u,v), (u,v)EG称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作x=x(u,v), y=y(u,v) , z=z(u,v), (u,v)EG例：园柱面；球面；旋转面四、坐标曲线；曲纹坐标网曲面上一点P的直角坐标为（x，y,z），它的曲纹坐标为（u,v）。现在取v=常数而u变化时的曲线叫u-曲线（u线两族坐标曲线在曲u=常数而变化时的曲线叫-曲线（v线面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一（例题）点P，两族曲线中各有一条经过它

三、曲面的方程 初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S， 其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1 (u,v) , y = f2 (u,v) , z = f3 (u,v) , (u,v)∈G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。习惯上写作 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G 例：园柱面；球面；旋转面。 四、坐标曲线；曲纹坐标网。 曲面上一点 P 的直角坐标为（x , y ,z），它的曲纹坐标为 （u ,v）。现在取 v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线） u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线（v线） 面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一 点 P ，两族曲线中各有一条经过它。 （例题） 两族坐标曲线在曲

1、2光滑曲面、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正常点、正规坐标网l、若曲面 x=x(u,v),=(u,v),z=z(u,v) 或 r=r(u,v) 中的函数有直到k阶的连续微商，则称为k阶正则曲面或c类曲面cl类的曲面又称为光滑曲面2、过曲面上一点(uo,vo)有一条u--曲线：r=r(u,vo)和一条v一曲线：r=r(uo,v),该点处这两条坐标曲线的切向量drOr为　1(uo,Vo), r,(uo, Vor,(uo, vh如果它们不平行，即r，×r,在该点不为零，则称该点为曲面的正常点

1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线 一、光滑曲面、正常点、正规坐标网 1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数 有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 类曲面。 类的曲面又称为光滑曲面。 k c 1 c 2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u-曲线： r = r (u,v0 ) 和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量 为 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 u v v r u v r u v u r r u v u v   =   =

3、正规坐标网由r，r,的连续性，若r,×r,在（uo,Vo)点不为零，则总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有r，×r,不为零，于是在这片曲面上，有一族u线和一族v√线，它们不相切，构成一正规坐标网。4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示即有z=z(x,y),事实上，由3，rur,在（uo,Vo)点不为零，则总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有r，×r,不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，dy即 axa(x,y)OuOudyaxa(u,v)Ovv由隐函数定理，x=x(u,v)，y=y(u,）在 U中存在唯一的单值连续可微函数 u=u(x,),=v(x,),代入得z= z [ u( x, y),v(x,y)] =z(x,y)

3、正规坐标网 由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总 存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零， 于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切， 构成一正规坐标网。 4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示， 即有 z = z ( x , y ), 事实上，由3 ，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点 的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，故的坐标中 的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0， 即 由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯 一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y)。 v y v x u y u x u v x y         =   ( , ) ( , )

二、曲面的切平面1、切平面的定义一出线BCag.U设曲面曲线为(c):u=u(t), v=v(t) ,陶或r=r[u(t),v(0)]=r(t),a这条曲线在曲面上（uo,Vo)处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向，它平行于du.dydudv或r'(t)r'(t)=+r+V14dtdtdtdy其中ru,r分别是在(uo,vo)点处的两条坐标曲线的切向量。以下切方向几种表示通用：du:dv，(d)和r(t)

二、曲面的切平面 设曲面曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) , 或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)， 这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向 或方向，它平行于 其中 分别是在( u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。 以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 。 或 dt dv r dt du r t r = u + v ( ) u v r ,r ( ) ( ) u v r dv du r dt dv r  t = + r (t) 1、切平面的定义

dudv由 r'(t)=r+rdtdt可以看出，切向量r'(t)与r,r，共面，但过(uo,Vo)点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量r,r，所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面

可以看出，切向量 与 共面，但过( u0 ,v0 )点 有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有 r (t) u v r ,r dt dv r dt du r t r = u + v 由 ( ) u v r ,r 命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标 曲线的切向量 所确定的平面上。 这个平面我们称作曲面在该点的切平面

3、切平面的方程设面上一点为P（uo,Vo)，R(X,Y,Z)为平面上任一点，则有(R-r(uo, vo),r,(uo, vo),r,(uo, vo)) = O或写成坐标表示式X -x(uo, vo)Z-z(uo,Vo)Y - y(uo, vo)= 0x,(uo, vo)Yu(uo, vo)zu(uo, vo)x,(uo, Vo)z,(uo, Vo)y,(uo, Vo)如果用显函数z=z(x,)表示曲面时，有={x,y,z(x,y))r,=(1,0,%} =(1,0, p) , r, =[0,1,%}=[0,1,q)X-xoY-yoZ-zo01=0Po01qo

3、切平面的方程 设面上一点为 P0 ( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为平面上任一点， 则有 或写成坐标表示式 (R − r(u0 ,v0 ),ru (u0 ,v0 ),rv (u0 ,v0 )) = 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = − − − x u v y u v z u v x u v y u v z u v X x u v Y y u v Z z u v v v v u u u 如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有 r ={x, y,z(x, y)}  r {1,0, } {1,0, p} , r {0,1, } {0,1,q} y z x y z x = = = =       0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 = − − − q p X x Y y Z z

三、法方向与法线1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。由定义，曲面的法方向为N=×r,rxr,单位法向量为n=[, xr,]2、法线的方程设曲面上任一点r(u,v)）的径矢为R(u,v)则法线的方程为 R=r(u,)+(r,×r)Z-z(u,v)用坐标表示为 X-x(u,v) -y(u,v)uxuyuxuZuyu[x，z，x,[y,z,yY-yZ-z(x,y)X-x若用z=z(x,y）表示曲面，则有-1pq

三、法方向与法线 1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方 向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。 由定义，曲面的法方向为 单位法向量为 u v N r r    =  u v u v r r r r n        = 2、法线的方程 0 设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v) 则法线的方程为 用坐标表示为 ( , ) ( ) u v R = r u v +  r r v v u u v v u u v v u u x y x y Z z u v z x z x Y y u v y z y z X x(u,v) ( , ) − ( , ) = − = − 1 ( , ) − − = − = − Z z x y q Y y p X x 若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有

四、参数变换如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标(u,）：u=u(u,) v=v(u,)=r=r(u(u,),v(u,)则得到曲面关于新曲纹坐标(u,）的方程r=r(π,)OuOuOvOv对,求导:: ru=rur+Tu二avOvQuouOu OvOu Ov(u,v)因此N=rxrN=ruxrov ouou ova(u,v)a(u,v)0，则两个法向量平行。(1)a(u,)a(u,v)0，所有参数法向量的正向保持不变，(2)a(u,v)称这个方向为曲面的正向。（3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧

四、参数变换 , u v r u u r r u u v   +   = 如果曲纹坐标 (u,v) 变为新的曲纹坐标 ： 则得到曲面关于新曲纹坐标 的方程 对 求导： (u, v ) u = u(u,v) , v = v(u,v)  r = r(u(u,v),v(u,v)) (u, v ) r = r(u, v) u,v v v r v u r r v u v   +   = 因此 ( , ) ( , ) ( ) u v u v N u v v u v v u u N r r r r u v u v   =     −     =  =    （1） ( , ) 0 ， 则两个法向量平行。 ( , )    u v u v 0 ( , ) ( , )    u v u v （2） ，所有参数法向量的正向保持不变， 称这个方向为曲面的正向。 （3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧