《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第二章 曲面论 2.4 直纹面与可展曲面

第四节直纹面与可展曲面4、1直纹面1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。2、直纹面的方程（1）设导线为（c):a=a(u)，b(u)是过导线上一点a(u)处的直母线上的单位向量，则有：b(u),r = a(u)+vb(u)a其中直纹面上一点P到导线(c)上的点 a(u)的距离为v0（2）坐标曲线v-曲线，r=a(uo)+vb(uo）为直母线;u-曲线，π=a(u)+y.b(u)为与导线平行的曲线

第四节 直纹面与可展曲面 1、定义：由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。直线为直母线。 例如柱面，锥面，单叶双曲面，正螺面等。 与直纹面上所有直母线相交的曲线叫直纹面的导线。 2、直纹面的方程 （1）设导线为 ， 是过导线上一点 处的直母 线上的单位向量，则有： 其中直纹面上一点 P 到导线 上的点 的距离为v。 (c): a a(u)   = b(u)  a(u)  r a(u) vb(u)    = + a(u)  b(u)  a(u)  (c) o （2）坐标曲线 v-曲线， 为直母线； u-曲线， 为与导线平行的曲线。 ( ) ( ) 0 b u0 r a u v    = + ( ) ( ) r a u v0 b u    = + 4、1 直纹面

(3)几种特殊的直纹面b(u)=b。为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。a(u)=a。为常向量，任意母线过一定点，为锥面。b(u)=α为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面3、直纹面的法向量与高斯曲率(1) 由 π=a(u)+vb(u)得 =a(u)+vb(u)，r,=b(u)r, ×r, =(a'(u)+vb'(u)×b(u) = a'×b +vb'×b （2）当P点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法向量变化如下：a'×b不平行b'×b，即(a,b,b)≠0，法向量改变方向a)a'xb // b'xb,即(a',b,b)=0），法向量不改变方向，b)即沿一条直母线有相同的法向量或切平面

(3)几种特殊的直纹面 为常向量，任意母线的方向不变，为柱面。 为常向量，任意母线过一定点，为锥面。 为导线上的切向量，为一空间曲线的切线曲面 0 b(u) b   = 0 a(u) a   =    b(u) = 3、直纹面的法向量与高斯曲率 r a (u) vb (u) , u =  +     r b(u) v   = r a(u) vb(u)    （1）由 = + 得 r r (a (u) vb (u)) b(u) a b vb b , u v           =  +   =  +  （2）当 P 点在直纹面的一条直母线上移动时，u不变，v变，法 向量变化如下： a) ，法向量改变方向. b) ，法向量不改变方向， 即沿一条直母线有相同的法向量或切平面。 a b bb， (a  ,b,b)  0        不平行 即 a b // bb， (a  ,b,b) = 0        即

（3）高斯曲率由 r =a(u)+vb'(u)，,=b(u)=0ru =a"(u)+vb"(u) ,rm=b'(u),M=rim-n= (a'xb).b(a',b,b')N=rn=0VEG-F2VEG-F2- M?(a',b,b)?LN- M?K:EG-F2EG-F2(EG-F2)2因此对于情形a)有(a',b,b)0，K<0。b)有(a,b,b)=0 ，K=0。另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近线，即直纹面上的渐近曲线

（3）高斯曲率 由 r a (u) vb (u) , u =  +     r b(u) v   = r a (u) vb (u) , uu =  +     0   ruv = b(u), rvv =   , 0. ( ) ( , , ) 2 2 =  = −   = −    =  = N r n EG F a b b EG F a b b M ru v n vv           2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( , , ) EG F a b b EG F M EG F LN M K −   = − − − = − − =    因此对于情形 a) 有 ，K<0。 b) 有 ，K= 0。 (a  ,b,b)  0    (a  ,b,b) = 0    另外注意到直纹面上有直线，即直母线，则一定是直纹面的渐近 线，即直纹面上的渐近曲线

4、腰曲线(c)b(u+ △u)定义：如图M，M'为直母线1，I11M的公垂线，当VY→OA4r.a(u+Au)垂足M沿直母线1趋向于极限位置b(u)Mo，称为直母线I上的腰点。aMr腰点的轨迹为腰曲线。它的表示0为a'.bb(u)r=a(u)b"2特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径r就是α(u)，因此有a'·b'=0，即它们垂直

4、腰曲线 r  M l b(u)  a(u)  (c) o a(u + u)  b(u + u)  r r   +  M  定义:如图M， 为直母线 l , l 的公垂线，当 垂足M沿直母线 l 趋向于极限位置 M0，称为直母线 l上的腰点。 腰点的轨迹为腰曲线。它的表示 为 M  l u →0 ( ) ( ) 2 b u b a b r a u          = − 特别地，当取腰曲线为导线时，上式中的向径 就是 ， 因此有 ，即它们垂直。 r  a(u)  a  b = 0  

二、可展曲面1、定义：称满足(a,b,b)=0的直纹面为可展曲面。由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面。2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。证明：对于可展曲面有(a',b,b')=0，取腰曲线为导线，a'.b'=0（1）当a(u)=0,则a为常向量，这时腰曲线退化成一点，所有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点方程为 =r+vb(u)(2）a≠0，由于(a',b,b)=0，则三向量共面，且=1,b'b,但a'b，所以a'lb→=a+va'为切线曲面。（3）b'=0,b为常向量，所有直母线平行，为柱面

二、可展曲面 1、定义：称满足 的直纹面为可展曲面。 由前面的结论可知，这是情形（2），它沿一条直母线有同一 个切平面，或沿一条直母线有同一法向量，因此，可展曲面是沿 一条直母线有同一个切平面的直纹面。 2、命题1：每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线 的切线曲面。 (a  ,b,b) = 0    证明：对于可展曲面有 ，取腰曲线为导线， （1）当 ，这时腰曲线退化成一点，所 有直母线上的腰点为同一点，曲面为锥面。腰点即为锥面的顶点。 方程为 （2） ，由于 ，则三向量共面，且 (a  ,b,b) = 0    a  b = 0   a u 则a为常向量    ( ) = 0, ( ) 0 r r vb u    = + 0   a  (a  ,b,b) = 0    b b b 但a b ， 所以a b r a va 为切线曲面。          =1,  ⊥ ,  ⊥  //  = +  （3）b b为常向量，所有直母线平行，为柱面。     = 0

3、单参数曲面族的包络给出一个单参数曲面族 {S}:F(x,y,z,α)=0(1)对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶连续偏导数。（1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1）中的一个曲面 Sα上的点，而且在S与 S的公共点它们有相同的切平面;反过来，对于族中的每一曲面S。，在曲面S上有一点P，使S和S在P有相同的切平面，则称S为单参数平面族{S的包络。（2）包络面的方程现在假定曲面族S的包络S存在，由上面的定义，S上任意点P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数α来确定，所以包络面S上每一点对应于α的一个确定的值，因此α为S上点的坐标的函数，即 α=α(x,y,z）代入（1）得

3、单参数曲面族的包络 给出一个单参数曲面族 .（1） 对于不同的参数有不同的曲面，并假定函数（1）有一阶和二阶 连续偏导数。 （1）定义：如果有一曲面S，它的每一点是族（1） 中的一个曲 面 上的点，而且在S与 的公共点它们有相同的切平面； 反过来，对于族中的每一曲面 ，在曲面S上有一点P ，使 和S在P有相同的切平面，则称 S 为单参数平面族 的包络。 {S }: F(x, y,z,) = 0  S  S  S { } S  S （2）包络面的方程 现在假定曲面族{ }的包络S存在，由上面的定义，S上任意点 P(x,y,z)必在族中某一曲面上，而这个曲面由参数 来确定，所 以包络面S上每一点对应于 的一个确定的值，因此 为S上点 的坐标的函数，即 代入（1）得  S    =(x, y,z) 

F(x, y,z,α(x, y,z) = 0(2)对于S上的点，上式恒成立。其次，在包络面S上任取一条曲线(c):r=r(t)=(x(t),y(t),z(t))因为（c）上的点的坐标满足方程，所以 F(x(t),y(t),z(t),α(t)=0dxdz+FddaAF0(3)对t求导得：dty dtdtdt在（c）上取一点，由于S和Sα在P有相同的切平面，所以（c）在P的切线与S在P的法线垂直，而切向量平行于dx dy dz法向量平行于(F,F,F)dt' dt'dtdxdzdaαF:0H+HOdtdtdtdtdα±0对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有dt否则 α=常数，因此 F=0，即F(x, y,z,α(x, y,z) = 0

F(x, y,z,(x, y,z)) = 0 .(2) 对于S上的点，上式恒成立。 其次，在包络面S上任取一条曲线 因为（c）上的点的坐标 满足方程，所以 对t 求导得： . （3） 在（c）上取一点，由于S和 在 P 有相同的切平面，所以（c） 在P的切线与 在P 的法线垂直，而切向量平行于 对包络面上的每条曲线都成立，由（c）的任意性有 ， 否则 ，因此 ，即(c):r = r(t) ={x(t), y(t),z(t)}   F(x(t), y(t),z(t),(t)) = 0 + + + = 0 dt d F dt dz F dt dy F dt dx Fx y z    S  S 0 0 , , , { , , }  + + =  =       dt d F dt dz F dt dy F dt dx F F F F dt dz dt dy dt dx x y z x y z   法向量平行于  0 dt d  = 常数 F = 0 F (x, y,z,(x, y,z)) = 0

由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组F(x, y,z,α(x, y,z)) = 0(4)F(x, y,z,α(x, y,z)) = 0消去参数α得关于x,yz的三元方程，它表示一张曲面S* : p(x, y,z) =0称为曲面族S的判别曲面。若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判别曲面就是包络面S，这一点后面说明，先看一个例：例题：求平面族α~x+20V+2z=2α的包络面方程下面说明判别曲面就是S

由上面的分析，曲面族的包络面满足方程组 . （4） 消去参数 得关于x,y,z的三元方程，它表示一张曲面 称为曲面族 的判别曲面。    = = ( , , , ( , , )) 0 ( , , , ( , , )) 0 F x y z x y z F x y z x y z    { } S : ( , , ) 0 * S  x y z =  若假定在族中的曲面上的点和在包络面上的点是正常点，则判 别曲面就是包络面S，这一点后面说明，先看一个例： 例题：求平面族  2 x + 2y + 2z = 2 的包络面方程。 下面说明判别曲面就是S

首先S*可以这样理解：对每一固定的α，方程组（4）代表曲面S和曲面F=O的交线C。，而判别曲面S*是这些交线所产生的，因此，S*上的每一点决定一个 α 的值α(x,J,z)而点的坐标以及所对应的α*值适合（4），但上面已经得到包络S上的每一点和它所对应的α值适合（4），因此S属于S*。再证 S"属于S。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上，因此它的坐标对α的某个值满足方程 F(x,y,z,α)=0在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）：π=(x(t),y(t),z(t))代入（4）式第一式中，然后关于t求导，则有dxdzdaL0+HTrydtrα dtdt-dtdxdzdy07，，所以F但由（4）第二式F。=0dtdtdt即P点Sα的法线和S*上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意性，Sα与S*在P点相切，这就说明了S*的点也是S的点。S*属于S。所以 S*=S因此

首先 可以这样理解：对每一固定的 ，方程组（4）代表 曲面 和曲面 的交线 ，而判别曲面 是这些交线 所产生的，因此， 上的每一点决定一个 的值 ， 而点的坐标以及所对应的 值适合（4），但上面已经得到包络 S上的每一点和它所对应的 值适合（4），因此S属于 。 * S  = 0  F C S * S * S  ( , , ) *  x y z  * S *  再证 属于S 。由于判别曲面上每一点都在族中某一曲面上， 因此它的坐标对 的某个值满足方程 在判别曲面上取一条过P点的曲线（c）： 代入（4）式第一式中，然后关于t 求导，则有 但由（4）第二式 ，所以 即P点 的法线和 上曲线（c）的切向量垂直，由（c）的任意 性， 与 在P点相切，这就说明了 的点也是 的点。 因此， 属于S 。所以  * S F(x, y,z,) = 0 r = {x(t), y(t),z(t)}  F = 0 + + + = 0 dt d F dt dz F dt dy F dt dx Fx y z   + + = 0 dt dz F dt dy F dt dx Fx y z * S *  S S  S * S  S * S S = S *

(3）特征线包络S与族中的曲面S相切的曲线称为特征线，因而当α固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中每曲面沿特征线切于包络

(3)特征线 包络S与族中的曲面 相切的曲线称为特征线，因而当 固定时，（4）为特征线的方程，特征线的轨迹就是包络，族中 每曲面沿特征线切于包络。  S 