《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第一章 曲线论 1.2 曲线的概念

第二节曲线的概念2、1 曲线的概念1、映射给出两个集合E，E，法则f，如果通过E中每个点（或元素）x，有E'中唯一的点x与之对应，则说f为从E到E的映射，x为象，x为原象。映射（单射）：不同元素的象不同。在上映射（满射）：E'中元素都有原象双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续2、曲线一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连续的在上的映射f（拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段

第二节 曲线的概念 2、1 曲线的概念 2、曲线 一个开直线段到三维欧氏空间内建立的一个一一的，双方连 续的在上的映射 f （拓扑映射或同胚）下的象叫简单曲线段。 1、映射 给出两个集合E ， ，法则f ，如果通过 E 中每个点 （或元 素）x ，有 中唯一的点 与之对应，则说 f 为从 E 到 的映射， 为象， x为原象。 一一映射（单射）：不同元素的象不同。 在上映射（满射）： 中元素都有原象。 双方连续的：一个映射以及它的逆映射都连续。 E x  E E x  E

例书中的开园和园柱螺线7M3、曲线的参数方程x= x(t)坐标式y= y(t)a<t<b0yz = z(t)x向量式r(t) = x(t)e, + y(t)e2 + z(t)ex=acostte(0,π)例1、开园弧y=bsin tx =acost例2、园柱螺线y=asin t , -o0<t<+o0.z = bt或r(t)=(acost,asin t,bt) = acoste, +asin te, +bte

x y z o M ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t = = = 1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e     = + + a  t  b y b t x a t sin cos = = t (0, ) z bt y a t t x a t = = −   + = sin , . cos 1 2 3 r(t) {acost,asin t,bt} acoste asin te bte     = = + + 3、曲线的参数方程 坐标式 向量式 例1、 开园弧 例2、园柱螺线 或 例书中的开园和园柱螺线

2、2曲线的正常点光滑曲线1、光滑曲线如果曲线的参数表示式 r(t)= x(t)é, + y(t)é, +z(t)e中的函数是k阶连续可微的函数，则把这曲线称为Ck类曲线。Cl类的曲线又称为光滑曲线。2、正常点曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若to为曲线的正常点，则r(to)≠0.由于 r(t) = x(t)e, + y(t)e, + z(t)é,r'(t) = x'(t)e + y'(t)é2 + z'(t)e,所以 (to)≠0 x(to),(to),z(to） 中至少有一个不为零

2、2 光滑曲线 曲线的正常点 k C 1 C 1、光滑曲线 如果曲线的参数表示式 中的函数是 k 阶连续可微的函数，则把这曲线称为 类 曲线。 类的曲线又称为光滑曲线。 1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e     = + + ( ) 0. 0   r  t  2、正常点 曲线上满足一阶导矢不为零的点叫曲线的正常点。即若 t0 为曲线的正常点，则 由于 所以 中至少有一个不为零 1 2 3 r (t) x (t)e y (t)e z (t)e      =  +  +  1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e     = + + ( ), ( ), ( ) 0 0 0 ( ) 0  x  t y  t z  t 0   r  t 

3、正则曲线若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线由 r(to)≠0 ←x(to),y(to),z(to） 中至少有一个不为零不妨设x(t.）≠0，则在曲线的正常点的充分小的邻域里，x=x(t)在 to邻近有连续可微的反函数 t= (x),代入 y=(t)z=z(t)，即得 y=β(x)，z=y(x)这是曲线的另一种表示方法例如园柱螺线r(t)={acost,asin t,bt)= r'(t)=f-asin t,acost,b由于b不为o，由z=bt得t=z/b，代入x=acost，y=asint得x=acos(z/b)y=asin(z/b) 。这是园柱螺线的另一种表示法

例如 园柱螺线 由于b不为0，由z=bt 得t=z/b，代入 x=acost , y=asint 得 x=acos(z/b) y=asin(z/b) 。 这是园柱螺线的另一种表示法。 r(t) ={a cost,asin t,bt} r (t) ={−asin t,a cost,b}   3、正则曲线 若曲线上任一点都是正常点，则此曲线称为正则曲线。 x (t 0 )  0 y =(x) , z =(x). 由 中至少有一个不为零 不妨设 , 则在曲线的正常点的充分小的邻域里， x= x (t) 在 t0 邻近有连续可微的反函数 t = t(x) , 代入 y = y(t), z = z(t) ，即得 这是曲线的另一种表示方法。 ( ), ( ), ( ) 0 0 0 ( ) 0  x  t y  t z  t 0   r  t 

2、3曲线的切线和法面Q(to + △t)切线割线的极限1.P(to)R切向量pr(to +△t) -r(to)r'(to)= lim PR = lim△t△t-→0△t-02.切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）20设切线上任一点的径矢为 P(X,Y,Z)则 -r(to) // r'(to) =p-r(to)=ar(to)设 r(to) ={x(to),y(to), z(to)) , r'(to) ={x'(to), y'(to),z'(to))则X-x(to) Y-y(to)_Z-z(to)x(to)z'(to)y(to)3、例求园柱螺线上一点处的切线

2、3 曲线的切线和法面 ( ) 0 Q t + t ( ) 0 P t R   O 2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点） 设切线上任一点的径矢为 则 设 则 (X,Y,Z)  ( )// ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 − r t r  t  − r t = r  t          ( ) { ( ), ( ), ( )} , 0 0 0 0 r t = x t y t z t  ( ) { ( ), ( ), ( )} 0 0 0 0 r  t = x  t y  t z  t  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t Z z t y t Y y t x t X x t  − =  − =  − 3、例 求园柱螺线上一点处的切线。 t r t t r t r t PR t t  +  −  = =  →  → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0    1、切线 割线的极限 切向量

4、法面经过切点且垂直于切线的平面。P(t.5、法面的方程r(tol设p(X,Y,Z)是法面上O任一点，则0[p-r(to)].r'(to)= 0或[X - x(to)]x'(to)+[Y - y(to)]y(to)+[Z - z(to)]z2'(to) = 0例题习求园柱螺线的法面方程

4、法面 经过切点且垂直于 切线的平面。 ( ) 0 P t   ( ) 0 r t  O 5、法面的方程 设 是法面上 任一点，则 或 (X,Y,Z)  [ − r(t 0 )]r (t 0 ) = 0     [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 0. X − x t 0 x  t 0 + Y − y t 0 y  t 0 + Z − z t 0 z  t 0 = 例题 求园柱螺线的法面方程

自然参数2、4 曲线的孤长给出C'类曲线（C）：r=r(t),α≤t≤bP(t.)P,(tn)作分点P，得折线，长为P,(ti-I)P(to)o,=ZP.Pi=1α= lim on = ("Jr'(t)]dt得弧长n>00r'(t)d若用(t) 表α到 t 的弧长,则(t)=这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。弧长公式为o(t) = [Jr'(t)ldt = [ V(x(t) +(y'(t)? +(z(t) dta≤t≤b

2、4 曲线的弧长 自然参数 ( ) 0 0 P t ( ) i−1 i−1 P t ( ) i i P t ( ) n n P t 给出 类曲线（C）： 作分点 Pi 得折线，长为 得弧长 若用 表 a 到 t 的弧长，则 这里的积分上限大于下限，所得的曲线的弧长总是正值。 1 C r = r(t) , a  t  b.   = = − n i n Pi Pi 1  1 r t dt b a n n  = =  → lim ( )     (t) t r t dt t a ( ) = ( )   弧长公式为 t r t dt x t y t z t dt t a t a  =  =  +  +  2 2 2 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))   a  t  b

r(t,)-r(ti-1)=(x(t)- x(ti-)é, +(y(t)- y(ti-D)e, +(z(t)-z(ti-D)e=[x(t')é, + y'(t')e, + z'(t')e,](t, -ti-1)=R(t,-t-)．其中t,t,增都是t,与t-之间的值。即可写成 r(t)-r(ti-)=R(t, -ti-1)

R t t t t t t t 。 x t e y t e z t e t t x t x t e y t y t e z t z t e r t r t i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1 其中 都是 与 1 之间的值 1 2 1 1 1 1 2 1 3 1 ( ). , , , [ ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) − − − − − − − = −    =   +   +   − = − + − + − −          即可写成 ( ) ( ) ( ). i − i−1 = i i − i−1 r t r t R t t   

现在定义一新函数 s(t)为 ： α(t)，t>a,0 ,t=a,得s=s(t)={"|r'(t)dis(t) =-o(t), t0），它的反函数存在设为t=t(s），代入曲线方程得到以s为参数的曲线方程π=r(s)或x=x(s),=(s),z=z(s),s称为自然参数。记,...对 s(t) 微分得ds = ['(t)]dt = ds? = r'2 dt? = dr2 = ds? = dr? = dx? + dy? + dz?此外还有|(s)|=d/as=1，因此(s)为单位切向量练习10将园柱螺线化为自然参数表示

现在定义一新函数 s(t) 为： s(t) = 0 , t = a , 得 而且s(t) 是 t 的单调增加函数（ ），它的反函数存在 设为 t = t(s) ，代入曲线方程得到以 s 为参数的曲线方程 或 x = x (s) , y = y(s) , z = z(s) , s 称为自然参数。记 对 s(t) 微分得 − (t) , t  a.  (t) , t  a, s s t r t dt b a = ( ) = ( )  s (t) = r (t)  0  r r(s).   =      r,r ( ) . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ds = r  t dt  ds = r  dt = dr ds = dr = dx + dy + dz     此外还有 ，因此 为单位切向量。 练习10 将园柱螺线化为自然参数表示。 ( ) = =1 ds dr r s    r(s)  