《微分几何》课程教学资源（PPT课件）第一章 曲线论 1.1 向量函数

第一章曲线论1、向量函数向量函数的极限、连续、微商、积分内容提要2、曲线的概念曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数3、空间曲线3、1空间曲线的密切平面空间曲线的基本三棱形3、2空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.33、空间曲线在一点邻近的结构+空间曲线的基本定理3、53、6一般螺线

第 一 章 曲 线 论 1、向量函数 向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念 曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。 3、空间曲线 3、1 空间曲线的密切平面 3、2 空间曲线的基本三棱形 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 3、5 空间曲线的基本定理 3、6 一般螺线 内 容 提 要

引言曲线与曲面的微分几何包括两个方面，其中一方面是随微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典的微分几何，粗略地说，经典微分几何是研究曲线与曲面的局部性质的，即仅取决于曲线与曲面在一点邻近的行为的哪些性质。另一方面是整体微分几何，这部分研究局部性质对整个曲线和曲面的行为的影响。经典微分几何最有趣和最有代表性的部分是曲面的研究，然而在研究曲面时，自然会出现曲线的某些局部性质，因此我们将在第一章先介绍曲线以及曲线的性质，再在第二章研究曲面。研究方法：向量分析，张量分析，活动标架法

引 言 曲线与曲面的微分几何包括两个方面，其中一方面是随 微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典的微分几何， 粗略地说,经典微分几何是研究曲线与曲面的局部性质的，即 仅取决于曲线与曲面在一点邻近的行为的哪些性质。 另一方面是整体微分几何，这部分研究局部性质对整个 曲线和曲面的行为的影响。 经典微分几何最有趣和最有代表性的部分是曲面的研究， 然而在研究曲面时，自然会出现曲线的某些局部性质，因此 我们将在第一章先介绍曲线以及曲线的性质，再在第二章研 究曲面。 研究方法：向量分析，张量分析，活动标架法

向量代数复习一、向量的概念1、向量的定义。2、向量的表示3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）4、向量的坐标二、向量的运算（几何意义）1、加减法:a±b=(x±x2,±y2,z±z2)2、数乘： a=(2x, 2y, 2z)3、内积 : a.b =[acos(a,b)= xix2 + yiy2 +zi24、外积:axb=lasin(a,b),a,b6与axb垂直,成右手系eie2e3xiyiLZxyaxb=Zxiyi[y2X2X2Z2Y2Z2X2Y2Z2

向量代数复习 一、向量的概念 1、向量的定义。 2、向量的表示 3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量） 4、向量的坐标。 { , , } 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 3 x y x y z x z x y z y z x y z x y z e e e a b = =   { , , } 1 2 1 2 1 2 a  b = x  x y  y z  z   a ={x,y,z}  1 2 1 2 1 2 a b = a b cos(a,b) = x x + y y + z z       a b a b sin( a,b), a,b与a b垂直,成右手系            =  二、向量的运算 （几何意义） 1、加减法： 2、数乘： 3、内积： 4、外积：

xiyi1 z15、混合积:a·(b×℃)=(a×b)·=x22y2Z2X3y3 z36、二重向量积:(axb)xc=(a.℃).b-(b.).aadac7、Lagrange恒等式(axb).(cxd)三bab8、模：[a=/×2+y+z2方向余弦：cosα,cosβ,cos三、几种运算的几何意义四、运算规律、 几个充要条件1、 alba.b=02、allbaxb=03、a,b,c洪面台(axb).=0

5、混合积： 6、二重向量积： 7、Lagrange恒等式 8、模： 方向余弦： 3 3 3 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) x y z x y z x y z a  b c = a b c =       a b c a c b b c a          (  ) = (  ) − (  ) 2 2 2 a = x + y + z  cos,cos ,cos bc bd ac ad a b c d            (  )(  ) = a ⊥b  a b = 0     // 0      a b  ab = a,b,c  (a b)c = 0       共面 四、运算规律、几个充要条件 1、 2、 3、 三、几种运算的几何意义

第一节向量函数向量函数的概念：给出一点集G，如果对于G中的每一个点x，有一个确定的向量和它对应，则说在G上给定了一个向=r(x),xG, 例如量函数，记作设G是实数轴上一区间[fo,t]，则得一元向量函数π=r(t).设G是一平面域，（u,v)EG，则得二元向量函数r=r(u,v)设G是空间一区域(x,,z)G，得三元向量函数=r(x,,z)1、1向量函数的极限1、定义设r(t)是所给的一元函数，a是常向量，如果对任给的>0，都存在数>0，使得当0<t-t< 时,有r(t)-a<ε成立，则说当t→to时，向量函数r(t)趋向于极限a ,记作 lim (t)=at→to

第一节 向量函数 向量函数的概念：给出一点集G ，如果对于G 中的每一个 点 ，有一 个确定的向量 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 例如 设G是实数轴上一区间 ，则得一元向量函数 设G是一平面域， ，则得二元向量函数 设G是空间一区域， ，得三元向量函数 r = r(x), xG,   r  x [ , ] 0 t t r r(t).   = (u,v)G r r(u,v).   = (x, y,z)G r r(x, y,z)   = a  r(t)    0   0 0  t −t 0  r t −a     ( ) 0 t →t r(t)  a  r t a t t   = → lim ( ) 0 1、定义 设 是所给的一元函数， 是常向量，如果对任给 的 ，都存在数 ，使得当 时,有 成立，则说当 时，向量函数 趋向于极 限 ，记作 1、1 向量函数的极限

2、 向量函数的性质如果r(t）和s(t)是两个一元函数,2(t)是一个实函数，并且当t→t 时,有r(t) →a,s(t)→b,a(t)→m则有（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。r(t)±s(t)→a±b（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。a(t)r(t)→ma（3）数量积的极限等于极限的数量积。r(t)·s(t)→a·b.（4）向量积的极限等于极限的向量积。(t)×s(t)→a×b证明 (2) 由 a(t)r(t)-ma= a(t)(r(t)-a)+(a(t)-m)a得[a(t)r(t)-ma ≤|a(t)|(t)-a +|a(t)-ma| →0(4)r(t)xs(t)-axb =(r(t)-a)xs(t)+ax(s(t)-b)×≤-a+as-→0a×b≤|ab注意

2、向量函数的性质 如果 和 是两个一元函数， 是一个实函数，并且 当 时，有 则有 r(t)  s(t)  (t) 0 t →t r(t) → a,s(t) → b,(t) → m     t r t ma t r t a t m a      ( ) ( ) − = ( )( ( ) − ) + (( ) − ) (t)r(t) −ma  (t) r(t) −a + (t) −m a →0         r(t) s(t) a b (r(t) a) s(t) a (s(t) b)            −  = −  +  − r s  r − a s + a s −b → 0        a b a b       证明（2）由 得 (4) 注意 r(t) s(t) a b.      →  (t)r(t) ma.    → r(t) s(t) a b.      →  r(t) s(t) a b.      →  （1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。 （2）数乘向量的极限等于极限的乘积。 （3）数量积的极限等于极限的数量积。 （4）向量积的极限等于极限的向量积

1、2.向量函数的连续性1、给出一元向量函数(t)，当t+to时，若向量函数r(t)→(t），则称向量函数r(t）在to点是连续的。也有 lim r(t)=r(to)t-→to2、如果r(t)在闭区间[ti,t)]的每一点都连续，则称 r(t)在区间[t,t均]上是连续的。3、命题2 如果r(t)和s(t)是在点t连续的向量函数，而a(t是点t,连续的实函数，则向量函数 (t)±s(t), (t)r(t),(t)×s(t)和实数(0)·2（）也都有在to点连续（把命题中的点to改为区间[t,tol时命题材也成立）

1、2 向量函数的连续性 lim ( ) ( ). 0 0 r t r t t t   = → 1、 给出一元向量函数 ，当t t0 时，若向量函数 , 则称向量函数 在 t0 点是连续的。 也有 r(t)  ( ) 0 r t  r(t)  r(t)  (t) r(t) s(t), (t)r(t),r(t) s(t)         r(t) s(t)    r(t)  s(t)  3、命题2 如果 和 是在点t0连续的向量函数，而 是点 t0连续的实函数，则向量函数 和实 数 也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间[t,t0 ]时， 命题材也成立）。 r(t)  r(t)  2、如果 在闭区间[t1 ,t2 ]的每一点都连续，则称 在区间 [t1 ,t2 ]上是连续的

1、3向量函数的微商1、设r(t)是定义在区间[t,t]上的向量函数，设toE（ti,t,），如(t。+Al)-r(。) 存在，则称(t)在t点是可微分的,果极限lim△tAt->0或r'(t)这个极限称为r(t）在to点的微商（或导矢）。记为(即 Cdrr(to + △t)-r(to)= r'(to) = limt△t→0d如果r(t)在某个开区间的每一点都有微商存在，则说r(t)在此区间内是可微的或简称向量函数r(t)是可微的，它的微商记为r'(t)

1、3 向量函数的微商 ( , ) 0 1 2 t  t t t r t t r t t  +  −  → ( ) ( ) lim 0 0 0   r(t)  ( ) ( ). 0 r t dt t dr    或 r(t)  r(t)  1、设 是定义在区间[t1 ,t2 ]上的向量函数，设 ，如 果极限 存在，则称 在t0点是可微分的， 这个极限称为 在 t0 点的微商（或导矢）。 记为 即 如果 在某个开区间的每一点都有微商存在，则说 在此 区间内是可微的或简称向量函数 是可微的，它的微商记为 t r t t r t r t dt dr t t  +  −  =  =       → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0     r (t)  r(t)  r(t)  r(t) 

2、命题3 设 r(t),s(t),i(t）分别是可微的向量函数，(t)是可微的实函数,则(t)r(t), r(t)±s(t), (t)×s(t), (t)·s(t),(r(t),s(t),i(t) 都是可微函数，并且(ar)=ar+ar,(r±s)='±s,(r×s)=r'xs+r×s,(r.s)'=r'.s+r.s',(r,s,u)'=(r',s,u)+(r,s,u)+(r,s,u)r(t + △t)× s(t + △t) -r(t)×s(t)法则3证明(r×s)= lim△t△t>0[r(t + △t) -r(t)]×s(t + △t) + r(t)×[3(t + At) -s(t)]= lim△t△tAt-→>0=r'(t)×s(t)+r(t)×$'(t)3、向量函数r(t)的微商r(t)仍为t的一个向量函数，如果函数r'(t)也是连续和可微的，则r(t)的微商"(t)称为r(t)的二阶微商四阶微商。如(t)"，(n)(t)类似可定义三阶、口

2、命题3 设 分别是可微的向量函数， 是可微 的实函数，则 都是可微函数，并且 r(t) s(t),    r(t) s(t),   r(t) s(t),     (r(t),s(t),u(t))    r(t),s(t),u(t)    (t) (t)r(t),   ( ) , ( ) ,( ) , r s r s r s r r r r s r s   =  +    =  +   =                   (r s) = r  s + r s  ,(r,s,u) = (r  ,s,u) + (r,s  ,u) + (r,s,u )                   ( ). ( ) r t  n r(t) ,  r(t)  r (t)  r (t)  r (t)  r (t)  r(t)  3、向量函数 的微商 仍为 t 的一个向量函数，如果函数 也是连续和可微的，则 的微商 称为 的二阶微商。 类似可定义三阶、四阶微商。如 t r t t s t t r t s t r s t  +   +  −    =  → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0       } [ ( ) ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] lim { 0 t r t s t t s t t r t t r t s t t t   +  − +  +  −  +  =  →       = r (t) s(t) + r(t) s (t)     法则3证明

4、在区间[ti,t,]上有直到k阶连续微商的函数称为这区间上的k次可微函数或Ck类函数，连续函数也称为Co类函数，无限可微的函数记为C类函数。解析函数记为C类函数。5、 任一向量函数(t)与三个实函数 x(t),y(t),z(t) 一一对应 ,即有 r(t) = x(t)e, + y(t)e, + z(t)e,命题4如果向量函数r(t)在[ti,t,上是Ck类函数，则向量函数所对的三个实函数x(t),(t),z(t)在[ti,t2]上是Ck 类函数。证明将 r(t)= x(t)é, + y(t)é, +z(t)é,两边点乘 é得x(t)=r(t)·é由于é,是常向量，而r(t)是ck类的，所以x(t)是类函数同理,y(t),z(t) 是ck 类函数。r = (x(t), y(t),z(t)) =r'={x'(t), y(t), z(t)),

5、 任一向量函数 与三个实函数 一一对应，即 有 r(t)  x(t), y(t),z(t) 1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e     = + + 1 x(t) r(t) e   =  1 2 3 r(t) x(t)e y(t)e z(t)e     = + + 1 e  k C k e1 C  r(t)  y(t),z(t) k C 证明 将 两边点乘 得 由于 是常向量，而 是 类的，所以x(t)是 类函数 同理， 是 类函数。 k C k r(t) C  [ , ] 1 2 t t [ , ] 1 2 t t x(t), y(t),z(t) 命题4 如果向量函数 在 上是 类函数，则向量函数 所对的三个实函数 在 上是 类函数。 4、在区间 [t1 ,t2 ]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次 可微函数或 类函数，连续函数也称为 类函数，无限可微的 函数记为 C  类函数。解析函数记为 C  类函数。 0 C k C    r ={x(t), y(t),z(t)} r  ={x (t), y (t),z (t)}