中国科学技术大学：《微分方程引论》课程教学资源（讲义）Lec2 Note of Introduction to Differential Equation

Lec2 Note of Introduction to Differential EquationXuxuayame日期：2022年9月1日我们再来看个可分离变量的方程的例子。例2.1.求解微分方程：(r2+1)(y?1)dr+rydy=0。解.首先，y=±1和=0是特解。对≠0，y≠±1，有r2 + 1ydr+dy=0y2-1c+ 1ydrdy=o?+ In+n(g?-1)= C=e r?ly2 - 1l= ec→y?-1= ±eCα-2e-r2因此，通解为y2-1=Cr-2e-2，C为任意常数，特解为=0。口82.3一阶线性方程考虑一阶线性方程崇+p()y=q(r)，p(c),q(r)是I=(a,b)上的连续函数。dr先考虑齐次方程dy(1)+p(r)y = 0dr显然，y=0是一个解。若y≠0,1dy+p(r)dr= 0ylyl→lnp(s)ds=Cyolgl = eCe- g p(s)ds→y=±e℃e-Jp(s)ds再结合前面的y=0，可知y=Ce-gnla)ds，C是任意常数。现在考虑非齐次方程。1

Lec2 Note of Introduction to Differential Equation Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 1 日 我们再来看个可分离变量的方程的例子。 例 2.1. 求解微分方程：(x 2 + 1)(y 2 − 1)dx + xydy = 0。 解. 首先，y = ±1 和 x = 0 是特解。对 x ̸= 0, y ̸= ±1，有 x 2 + 1 x dx + y y 2 − 1 dy = 0 ⇒ Z x 2 + 1 x d x + Z y y 2 − 1 d y = C ⇒ 1 2 x 2 + ln |x| + 1 2 ln(y 2 − 1) = C ⇒e x 2 x 2 |y 2 − 1| = e C ⇒y 2 − 1 = ±e Cx −2 e −x 2 因此，通解为 y 2 − 1 = Cx−2 e −x 2，C 为任意常数，特解为 x = 0。 §2.3 一阶线性方程 考虑一阶线性方程 dy dx + p(x)y = q(x)，p(x), q(x) 是 I = (a, b) 上的连续函数。 先考虑齐次方程 dy dx + p(x)y = 0 (1) 显然，y ≡ 0 是一个解。 若 y ̸= 0， 1 y dy + p(x)dx = 0 ⇒ ln |y| |y0| + Z x x0 p(s) d s = C ⇒|y| = e C e − ∫ x x0 p(s) d s ⇒y = ±e C e − ∫ x x0 p(s) d s 再结合前面的 y ≡ 0，可知 y = Ce− ∫ x x0 p(s) d s，C 是任意常数。 现在考虑非齐次方程。 1

令它的解是y=C(a)e-Jgp(a)ds,则C(r)e- Jg p(a)ds + C(r)e- Jeg p(s)ds(-p(r) + p(r)C(a)e- Jeo p(a)ds = q(r)故 C(n) = q(r)eo p(s)ds, 因此, C(r)=C+ / q(s)eJo p(t)dt d s。从而原方程的解为y = Ce- J.oplo)ds +/q(s)e-Je p(t)dt ds若y(ro)=yo。则y(r) = yoe- Jrg p(s)ds +q(s)e-Jp(t)dt ds这个方法叫作常数变易法（Variationofparameters），它的动机在于，对于齐次方程我们已经求得了它的解，而且意识到相应的通解之间无非是差了个倍数。只要你把一个特解的每一处都同比例放缩，就可以得到另一个特解。现在我们再考虑非齐次方程，假如9（）特别小，那么可以预见的是，非齐次方程的解应当十分接近齐次方程的解，而9（）无非影响了每一处的放缩比例，使得这不成为一个常数，因此这个放缩比例依赖于，记作C()，也就是把常数变成了函数。举个例子，假如齐次方程有个特解，C=2，那么非齐次方程的一个相应的解可能在某处C=1.99，在另外一处C=2.01，这和是相关的。当然，C(a)的变化程度取决于q(r)的大小，但不管怎么说，用C(r）来替代C这件事情当然是合理的。评论。对于方程=(a,9)，如果要考虑其含义的话，可以理解为，方程在R2的每一dr点处都指定了一个斜率值，由f(r,y)给出，而方程求解无非就是找一个函数y=p()使得函数在每一点处的切线斜率均与给定的斜率一致，（）的图象又叫积分曲线。dy1例2.2.求微分方程+=(0)的解。dy+型=0的解为解。当>0时，齐次方程dr+ry=e-ids_1=(取o=1)c1，则令非齐次方程的解为y=C(r)2C(r)11=33C"(r)=(a)+a2-C(r) = r41+C→C(r) =51a4+ C故通解为y==口当a<0时，同样计算可得y=r4+C，C为任意常数。命题2.1.齐次方程（1）的解或者恒为零，或者恒不为零。2

令它的解是 y = C(x)e − ∫ x x0 p(s) d s，则 C ′ (x)e − ∫ x x0 p(s) d s + C(x)e − ∫ x x0 p(s) d s (−p(x)) + p(x)C(x)e − ∫ x x0 p(s) d s = q(x) 故 C ′ (x) = q(x)e ∫ x x0 p(s) d s，因此，C(x) = C + Z x x0 q(s)e ∫ s x0 p(t) d t d s。 从而原方程的解为 y = Ce− ∫ x x0 p(s) d s + Z x x0 q(s)e − ∫ x s p(t) d t d s 若 y(x0) = y0。则 y(x) = y0e − ∫ x x0 p(s) d s + Z x x0 q(s)e − ∫ x s p(t) d t d s 这个方法叫作常数变易法 (Variation of parameters)，它的动机在于，对于齐次方程 我们已经求得了它的解，而且意识到相应的通解之间无非是差了个倍数。只要你把一个 特解的每一处都同比例放缩，就可以得到另一个特解。 现在我们再考虑非齐次方程，假如 q(x) 特别小，那么可以预见的是，非齐次方程 的解应当十分接近齐次方程的解，而 q(x) 无非影响了每一处的放缩比例，使得这不成 为一个常数，因此这个放缩比例依赖于 x，记作 C(x)，也就是把常数变成了函数。举 个例子，假如齐次方程有个特解，C = 2，那么非齐次方程的一个相应的解可能在某处 C = 1.99，在另外一处 C = 2.01，这和 x 是相关的。 当然，C(x) 的变化程度取决于 q(x) 的大小，但不管怎么说，用 C(x) 来替代 C 这 件事情当然是合理的。 评论. 对于方程 dy dx = f(x, y)，如果要考虑其含义的话，可以理解为，方程在 R 2 的每一 点处都指定了一个斜率值，由 f(x, y) 给出，而方程求解无非就是找一个函数 y = φ(x) 使得函数在每一点处的切线斜率均与给定的斜率一致，φ(x) 的图象又叫积分曲线。 例 2.2. 求微分方程 dy dx + 1 x y = x 3 (x ̸= 0) 的解。 解. 当 x > 0 时，齐次方程 dy dx + y x = 0 的解为 y = e − ∫ x x0 1 s d s = 1 x (取x0 = 1) 令非齐次方程的解为 y = C(x) 1 x ，则 C ′ (x) 1 x − 1 x 2 C(x) + C(x) x 2 = x 3 ⇒C ′ (x) = x 4 ⇒C(x) = 1 5 x 5 + C 故通解为 y = 1 5 x 4 + C x 。 当 x < 0 时，同样计算可得 y = 1 5 x 4 + C，C 为任意常数。 命题 2.1. 齐次方程 (1) 的解或者恒为零，或者恒不为零。 2

证明.若y(co）=0，且y不恒为零，由(1)+eo故y(r)elop(s)ds = y(ro) = 0, Vae (a,b)。p(s)ds0为常数，f(a)是周期为2元的连续函数，dr试求方程的2元周期解。f(s)e-a(r-s) ds.解。通解为y(r)=Ce-ar要找y()使得y()=y(+2),。令u()=y()-y(+2元)，则崇=(e)-g(e+2m)dr=(-ay(r) + f(α)) -(-ay(r +2)+ f(r))du即+au=0，要使u(c)=0，由性质1，只要u(0)=0即可，即y(0)=y(2元)。dr于是Sf(r)e-asds-e-2xaC =Ce-2元ae~2元a-→C:f(s)eas ds1-e-2元故f(s)e-a(r-s) d sf(s)e-a(r-s) d s +y(r) :10-21口3

证明. 若 y(x0) = 0，且 y 不恒为零，由 (1) d dx (y(x)e ∫ x x0 p(s) d s ) = (y ′ + p(x)y)e ∫ x x0 p(s) d s = 0 故 y(x)e ∫ x x0 p(s) d s = y(x0) = 0, ∀ x ∈ (a, b)。 由 x0 ∈ (a, b)，p 在 (a, b) 上连续，     Z x x0 p(s) d s     0 为常数，f(x) 是周期为 2π 的连续函数， 试求方程的 2π 周期解。 解. 通解为 y(x) = Ce−ax + Z x 0 f(s)e −a(x−s) d s。 要找 y(x) 使得 y(x) = y(x + 2π), ∀ x。 令 u(x) = y(x) − y(x + 2π)，则 du dx = y ′ (x) − y ′ (x + 2π) = (−ay(x) + f(x)) − (−ay(x + 2π) + f(x)) 即 du dx + au = 0，要使 u(x) ≡ 0，由性质 1，只要 u(0) = 0 即可，即 y(0) = y(2π)。 于是 C = Ce−2πa + Z 2π 0 f(x)e −as d s · e −2πa ⇒C = e −2πa 1 − e −2πa Z 2π 0 f(s)e as d s 故 y(x) = e −2πa 1 − e −2πa Z 2π 0 f(s)e −a(x−s) d s + Z x 0 f(s)e −a(x−s) d s 3

顺带一提，这里你设任意的y(ro)=y(ro+2元）都会解出一致的C值。82.4几类重要的常微分方程（一阶）1、齐次方程P(a,y)dr+Q(r,y)dy=0,P(r,y)，Q(r,y)是同次齐次函数，即P(ta,ty)=tmP(r,y), Q(tr,ty) = tmQ(r,y)。解法如下。令y=ur，则dy=rdu+udr，原方程为P(r,ur)dr +Q(r,ur)(rdu+udr) = 0→rm(P(1, u) + uQ(1,u))dr + am+1Q(1, u)du= 0这是一个可分离变量的方程。dy_r+y例2.4.da-r-y解。令y=ua，则原方程变为du1 + ua+uru+r-dr1-ur-urdu1+u?dr1-u显然=0不是解，因此≠0，于是1-u1du==dr1 +u2 In(1 +u2) = lnr|+ C-arctanu-21→earctanuVi+=[alec=Cearctan 1= Vr?+ y?用极坐标则更为简便。令=rcosa,y=rsine，则通解为r=Cee4

顺带一提，这里你设任意的 y(x0) = y(x0 + 2π) 都会解出一致的 C 值。 §2.4 几类重要的常微分方程（一阶） 1、齐次方程 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0，P(x, y), Q(x, y) 是同次齐次函数，即 P(tx, ty) = t mP(x, y), Q(tx, ty) = t mQ(x, y)。 解法如下。 令 y = ux，则 dy = xdu + udx，原方程为 P(x, ux)dx + Q(x, ux)(xdu + udx) = 0 ⇒x m(P(1, u) + uQ(1, u))dx + x m+1Q(1, u)du = 0 这是一个可分离变量的方程。 例 2.4. dy dx = x + y x − y 解. 令 y = ux，则原方程变为 u + x du dx = x + ux x − ux = 1 + u 1 − u ⇒x du dx = 1 + u 2 1 − u 显然 x = 0 不是解，因此 x ̸= 0，于是 1 − u 1 + u 2 du = 1 x dx ⇒arctan u − 1 2 ln(1 + u 2 ) = ln |x| + C ⇒e arctan u 1 √ 1 + u 2 = |x|e C ⇒Cearctan y x = p x 2 + y 2 用极坐标则更为简便。令 x = r cos θ, y = r sin θ，则通解为 r = Ceθ 4