《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）3、计算数学期望与方差

实验3计算数学期望与方差分布函数、分布律、概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性。但在许多实际问题中，并不需要去全面考察随机变量的全部变化情况，而只需要知道随机变量的某些统计特征，如随机变量取值的平均情况、分散程度等。某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量的统计规律性，但能概括随机变量的某种特征。这些能代表随机变量的某种特征的数字称为随机变量的数字特征。本节将介绍如何利用Mathematica程序快速计算随机变量的一些重要的数字特征：数学期望、方差、标准差等。1实验目的学习计算随机变量的期望、方差和标准差：2基本语句(1) Mean[dist)功能：求dist分布的数学期望(2)Variance[dist)功能：求dist分布的方差（3)StandardDeviation[dist)功能：求dist分布的标准差(4) ExpectedValue[f,dist,x]功能：求dist分布函数的数学期望E[f(x)]3典型例题例1二项分布的期望、方差和标准差的计算。解输入命令Mean[BinomialDistribution[n,p]]运行结果np输入命令Variance[BinomialDistribution[n,p]运行结果np(1-p)输入命令StandardDeviation[BinomialDistribution[n,p]]运行结果np(1-p)输入命令ExpectedValue[x^2,NormalDistribution[u,α],x]u+o?运行结果输入命令ExpectedValue[(x-μ)^2,NormalDistribution[μ,α],x]3g4运行结果例2泊松二项分布的期望、方差的计算。解输入命令Mean[PoissonDistribution[μ]]运行结果川输入命令Variance[PoissonDistribution[]

实验 3 计算数学期望与方差 分布函数、分布律、概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性。但在许多实际 问题中,并不需要去全面考察随机变量的全部变化情况，而只需要知道随机变量的某些统计 特征，如随机变量取值的平均情况、分散程度等。某些与随机变量有关的数字，虽然不能 完整地描述随机变量的统计规律性，但能概括随机变量的某种特征。这些能代表随机变量 的某种特征的数字称为随机变量的数字特征。本节将介绍如何利用 Mathematica 程序快速 计算随机变量的一些重要的数字特征：数学期望、方差、标准差等。 1 实验目的 学习计算随机变量的期望、方差和标准差； 2 基本语句 （1）Mean[dist] 功能：求 dist 分布的数学期望 （2）Variance[dist] 功能：求 dist 分布的方差 （3）StandardDeviation[dist] 功能：求 dist 分布的标准差 （4）ExpectedValue[f,dist,x] 功能：求 dist 分布函数的数学期望 E[ f (x)] 3 典型例题 例 1 二项分布的期望、方差和标准差的计算。 解 输入命令 Mean[BinomialDistribution[n,p]] 运行结果 np 输入命令 Variance[BinomialDistribution[n,p]] 运行结果 np(1-p) 输入命令 StandardDeviation[BinomialDistribution[n,p]] 运行结果 np(1− p) 输入命令 ExpectedValue[x^2,NormalDistribution[ , ],x] 运行结果 2 2  + 输入命令 ExpectedValue[ (x − ) ^2,NormalDistribution[ , ],x] 运行结果 4 3 例 2 泊松二项分布的期望、方差的计算。 解 输入命令 Mean[PoissonDistribution[  ]] 运行结果  输入命令 Variance[PoissonDistribution[  ]]

运行结果例3（随机变量函数的数学期望）一工厂生产的某种产品的寿命（以年计）服从X～E(0.2)的指数分布，服务承诺产品售出后一年内若损坏可以免费更换，若售出一件产品盈利200元，更换一个产品亏损300元，求工厂售出一件产品盈利的数学期望。解由题设，售出一件产品的利润g(x)为[-300,0<x<1g(x)=200,x≥1输入命令g=-300UnitStep[1-x]+200UnitStep[x-1];ExpectedValue[g,ExponentialDistribution[0.2],x]运行结果109.365即工厂平均每售出一件产品就盈利109.365元。例4设B服从[0,2元)上的均匀分布，X=cos(B),Y=cos(A+B)(A为常数)，X和Y的相关系数为p=cOs(A)。产生服从U[0,2元)的N个随机数，取N=100，对应A=0,A=元AA=n，A=元分别绘出X和Y的散点图，观察p对散点图的影响。解输入命令n=100;covar[a ]:=Module[0,t]=RandomReal[UniformDistribution[(0,2Pi}],n]];a=0;covar[a];x[t_]=Cos[t];y[t_]=Cos[a+t];txy=Table[(Cos[t][i]]],Cos[a+t][i]]]),(i,n)];g1=ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,o],DisplayFunctionIdentity]a=Pi/3;covar[a];x[t ]-Cos[t];y[t ]=Cos[a+t];txy=Table[(Cos[t[i]]],Cos[a+t1[i]),(i,n)];g2=ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,0],DisplayFunction Identity]a=Pi/2;covar[a];x[t ]=Cos[t];y[t ]=Cos[a+t]]txy=Table[(Cos[t1[i]],Cos[a+t][i]]), (i,n]]g3-ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,o],DisplayFunction Identity]a=Pi;covar[a];x[t ]=Cos[t];y[t_ ]=Cos[a+t];txy=Table[Cos[t][i]]],Cos[a+t][i]),(i,n]]g4-ListPlot[txy,PlotStyleRGBColor[1,0,o],DisplayFunction Identity]则依次输出A=0,4-，4=号，4=元时的如下散点图（图4.11)。32

运行结果  例 3 （随机变量函数的数学期望）一工厂生产的某种产品的寿命（以年计）服从 X ~ E(0.2) 的指数分布，服务承诺产品售出后一年内若损坏可以免费更换，若售出一件产 品盈利 200 元，更换一个产品亏损 300 元，求工厂售出一件产品盈利的数学期望。 解 由题设，售出一件产品的利润 g(x) 为     −   = 200 , 1 300 , 0 1 ( ) x x g x 输入命令 g=-300UnitStep[1-x]+200UnitStep[x-1]; ExpectedValue[g,ExponentialDistribution[0.2],x] 运行结果 109.365 即工厂平均每售出一件产品就盈利 109.365 元。 例 4 设 B 服从 [0,2 ] 上的均匀分布， X = cos(B), Y = cos(A + B) (A 为常数)，X 和 Y 的相 关系数为  = cos(A) 。 产生服从 U[0,2 ] 的 N 个随机数，取 N =100 ，对应 A = 0, , 3  A = 2  A = , A = 分别绘出 X 和 Y 的散点图，观察  对散点图的影响。 解 输入命令 n=100; covar[a_]:=Module[{},t1=RandomReal[UniformDistribution[{0,2Pi}],n]]; a=0;covar[a]; x[t_]=Cos[t];y[t_]=Cos[a+t]; txy=Table[{Cos[t1[[i]]],Cos[a+t1[[i]]]},{i,n}]; g1=ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,0],DisplayFunction Identity] a=Pi/3;covar[a]; x[t_]=Cos[t];y[t_]=Cos[a+t]; txy=Table[{Cos[t1[[i]]],Cos[a+t1[[i]]]},{i,n}]; g2=ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,0],DisplayFunction Identity] a=Pi/2;covar[a]; x[t_]=Cos[t];y[t_]=Cos[a+t]; txy=Table[{Cos[t1[[i]]],Cos[a+t1[[i]]]},{i,n}]; g3=ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,0],DisplayFunction Identity] a=Pi;covar[a]; x[t_]=Cos[t];y[t_]=Cos[a+t]; txy=Table[{Cos[t1[[i]]],Cos[a+t1[[i]]]},{i,n}]; g4=ListPlot[txy,PlotStyle RGBColor[1,0,0],DisplayFunction Identity] 则依次输出 A = 0, , 3  A = 2  A = , A = 时的如下散点图（图 4.11）

1.0.1.00.51.011.00.50.51.010O0.50.50.5100.50.51.01图4.11从上述图形可见，当较大时，X和Y的线性关系较紧密，特别当|el=1时，X和Y之间存在线性关系；当el较小时，X和Y的线性关系较差，特别当p=0时，X和Y不相关。习题1.求参数为入=5的泊松分布的期望和方差。2.求二项分布B(10.0.3)的期望、方差和标准差的计算

1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 0.5 0.5 1.0 图 4.11 从上述图形可见，当  较大时，X 和 Y 的线性关系较紧密，特别当  =1 时，X 和 Y 之间存在线性关系; 当  较小时，X 和 Y 的线性关系较差，特别当  = 0 时，X 和 Y 不相关。 习题 1. 求参数为  = 5 的泊松分布的期望和方差。 2. 求二项分布 B(10,0.3) 的期望、方差和标准差的计算