中国科学技术大学：《微分方程引论》课程教学资源（讲义）Lec1 Note of Introduction to Differential Equation

Lecl Note of Introduction to Differential EquationXuxuayame日期：2022年8月30日先看两个例子。例1.1.传染病模型(SIR)：这个模型中有三个关于时间t的函数，分别为易感人数S(t)，感染人数I（t)，康复人数R(t)。如果加上一些理想化条件，例如病不致死，人群中不存在人的流入和流出，康复后不会再次感染，那么可以得到以下关系：S(t) =-βS(t)I(t)[s'(t) =-βS(t)I(t)进而福R(t) = vI(t)(I'(t) =-vI(t) +βS(t)I(t)(S(t) + I(t) + R(t)= 0例1.2.捕食与被捕食模型：考虑狐狸与兔子间的捕食关系，设狐狸数量为r(t)，兔子数量为9(t)。并加上一些理想化条件，例如环境资源充足，不考虑其它捕食者，不考虑病死因素。也可以得到下列关系：i(t) =-r(t)(a-by(t))(g(t) = y(t)(c - dar(t))研究这些例子，我们需要进行微分方程的求解。然而我们的目标并不是解微分方程，因为实际上，几乎所有的微分方程是无法求解的，就比如刚才的两个例子。我们能解决的微分方程其实是很小的一部分，而我们要学习的也正是这一部分。那么我们的目标是什么呢？我们真正的目标是对方程的解进行描述。若方程可解，给出解的解析表达式；若无法得到解析解，则对解的行为作出描述。但要强调的是，研究不同类型的方程，需要使用不同的方法，就像不同方向的物理很难用一种统一的理论去研究。接下来介绍一些基本概念。定义1.l.含有未知函数y(a)及其直到n阶导数y(r)，y"(c)，y(n)(a)的等式(1)F(r,y,...,y(n)) = 0称为常微分方程（Ordinarydiferentialequation)。若出现的导数的最高阶数为n，则称（1)为n阶常微分方程（Ordinarydifferentialequationofordern)。1

Lec1 Note of Introduction to Differential Equation Xuxuayame 日期：2022 年 8 月 30 日 先看两个例子。 例 1.1. 传染病模型 (SIR)：这个模型中有三个关于时间 t 的函数，分别为易感人数 S(t)， 感染人数 I(t)，康复人数 R(t)。 如果加上一些理想化条件，例如病不致死，人群中不存在人的流入和流出，康复后 不会再次感染，那么可以得到以下关系：    S ′ (t) = −βS(t)I(t) R′ (t) = νI(t) (S(t) + I(t) + R(t))′ = 0 进而    S ′ (t) = −βS(t)I(t) I ′ (t) = −νI(t) + βS(t)I(t) 例 1.2. 捕食与被捕食模型：考虑狐狸与兔子间的捕食关系，设狐狸数量为 x(t)，兔子数 量为 y(t)。并加上一些理想化条件，例如环境资源充足，不考虑其它捕食者，不考虑病 死因素。也可以得到下列关系：    x˙(t) = −x(t)(a − by(t)) y˙(t) = y(t)(c − dx(t)) 研究这些例子，我们需要进行微分方程的求解。然而我们的目标并不是解微分方 程，因为实际上，几乎所有的微分方程是无法求解的，就比如刚才的两个例子。我们能 解决的微分方程其实是很小的一部分，而我们要学习的也正是这一部分。那么我们的目 标是什么呢？我们真正的目标是对方程的解进行描述。若方程可解，给出解的解析表达 式；若无法得到解析解，则对解的行为作出描述。 但要强调的是，研究不同类型的方程，需要使用不同的方法，就像不同方向的物理 很难用一种统一的理论去研究。 接下来介绍一些基本概念。 定义 1.1. 含有未知函数 y(x) 及其直到 n 阶导数 y ′ (x), y′′(x), · · · , y(n) (x) 的等式 F(x, y, · · · , y(n) ) = 0 (1) 称为常微分方程 (Ordinary differential equation)。若出现的导数的最高阶数为 n，则称 (1) 为n 阶常微分方程 (Ordinary differential equation of order n)。 1

定义1.2.设函数y=p(c)在区间J上连续，并且有直到n阶导数，如果y=p(a)代入(1）后得到关于的恒等式，即：F(r,P,,pn)=0, VEJ则称y=(）是（1）在区间J上的一个解（Solution）。评论.补充一下，方程的某一个具体解称为方程的特解，而带有任意常数C的解称为方程的通解。而很遗撼的事情是，大部分情况下，即使将特解与通解组合起来，也不能得到方程的所有解。定义1.3.若(1）中的F对y及它的导数y,y(n)的全体而言是线性的，则称(1)为线性常微分方程（Linearordinarydifferentialequation)，否则称为非线性常微分方程(Non-linearordinarydifferential equation)。至于什么叫线性，这里可以理解为，将y,y'，.，y(n)全部替换为同一个变量后，方程关于这个变量是线性的。和没有关系。Part II一阶线性方程考虑y+p()y=q(α)，p(),q(α)在区间I=(a,b)上连续。若q()=0，则称为齐次方程（Homogeneousequation），反之则称为非齐次方程（Nonhomogeneousequation)。评论.要研究非齐次方程，先要考察它对应的齐次方程。82.1恰当方程定义1.4.考虑一阶常微分方程(2)P(r,y)dr +Q(r,y)dy = 0dad= Q,若存在可微函数d(r,y)满足dd(r,y)=P(r,y)dr+Q(a,y)dy，即o=P则称方程（2)为恰当方程（Exactequation）若(2)为恰当方程，则存在Φ(α,y)可微且dd(r, y) = P(r, y)d +Q(r,y)dy = 0则d(r,y)=C，从而解出y=u(a)或r=u(y)。定理1.1.设P(r,y),Q(,y)在区域R:α<<β,<y<上连续，且有连续的一阶aPaQPaQ，则(2)是恰当方程的充要条件为在R上恒成立。此时方程偏导数OyOr'Oy-ar2

定义 1.2. 设函数 y = φ(x) 在区间 J 上连续，并且有直到 n 阶导数，如果 y = φ(x) 代入 (1) 后得到关于 x 的恒等式，即： F(x, φ, · · · , φ(n) ) = 0, ∀ x ∈ J 则称 y = φ(x) 是 (1) 在区间 J 上的一个解 (Solution)。 评论. 补充一下，方程的某一个具体解称为方程的特解，而带有任意常数 C 的解称为方 程的通解。而很遗憾的事情是，大部分情况下，即使将特解与通解组合起来，也不能得 到方程的所有解。 定义 1.3. 若 (1) 中的 F 对 y 及它的导数 y ′ , · · · , y(n) 的全体而言是线性的，则称 (1) 为线性常微分方程 (Linear ordinary differential equation)，否则称为非线性常微分方程 (Non-linear ordinary differential equation)。 至于什么叫线性，这里可以理解为，将 y, y′ , · · · , y(n) 全部替换为同一个变量后，方 程关于这个变量是线性的。和 x 没有关系。 Part II 一阶线性方程 考虑 y ′ + p(x)y = q(x)，p(x), q(x) 在区间 I = (a, b) 上连续。若 q(x) ≡ 0，则称为 齐次方程 (Homogeneous equation)，反之则称为非齐次方程 (Nonhomogeneous equation)。 评论. 要研究非齐次方程，先要考察它对应的齐次方程。 §2.1 恰当方程 定义 1.4. 考虑一阶常微分方程 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2) 若存在可微函数 Φ(x, y) 满足 dΦ(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy，即 ∂Φ ∂x = P, ∂Φ ∂y = Q， 则称方程 (2) 为恰当方程 (Exact equation) 若 (2) 为恰当方程，则存在 Φ(x, y) 可微且 dΦ(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 则 Φ(x, y) = C，从而解出 y = u(x) 或 x = v(y)。 定理 1.1. 设 P(x, y), Q(x, y) 在区域 R : α < x < β, γ < y < δ 上连续，且有连续的一阶 偏导数 ∂P ∂y , ∂Q ∂x ，则 (2) 是恰当方程的充要条件为 ∂P ∂y = ∂Q ∂x 在 R 上恒成立。此时方程 2

(2)的通解为P(r,y)dr+Q(ro,y)dy = C或P(r, yo) dr +Q(r,y)dy= Cd证明.必要性：若(2)是恰当方程，则存在Φ(，3)可微，使得=P=QarydQQ于是QyOyor'Oroyarop02QQ连续，古故由于oyorOyorOroyoPQQ于是oyarP(r,y)dr+b(y), 则充分性：令d(a,y)=apad"Qdr+w(g)dr+w(y)=OyT.oyoOr=Q(c,y)-Q(ro,y) +w(y) = Q(c,y)Q(ro, y)dy+ C故(y) =Q(ro,y) → (y) = P(r,y)dr+Q(ro,y)dy+C，故(2)是恰当方程，通解为：因此，Φ(,y)=P(r,g)dr+/Q(ro,g)dy =C口例1.3.考虑p(a)da+q()dy=0，p(a),q(y)连续可微。显然这是一个恰当方程，其通解为p(r)dr+q(y)dy = C。82.2可分离变量的方程考虑形如X(r)Yi(y)da+Xi(r)Y(y)dy=0的方程，若Xi()≠0,Yi(y)0，则X(r)Yady=0dr+Xi(r)+ Yi(y)X(r)[Vdy=C,C为任意常数。其通解为dr+Xi(r)Yi(y)若Xi(a)=0，则=a是一个特解。若Yi(6)=0，则y=b是一个特解。3u3例1.4.求解微分方程：y°3

(2) 的通解为 ∫ x x0 P(x, y) d x + ∫ y y0 Q(x0, y) d y = C 或 ∫ x x0 P(x, y0) d x + ∫ y y0 Q(x, y) d y = C 证明. 必要性：若 (2) 是恰当方程，则存在 Φ(x, y) 可微，使得 ∂Φ ∂x = P, ∂Φ ∂y = Q。 于是 ∂φ ∂y = ∂ 2Φ ∂y∂x, ∂Q ∂x = ∂ 2Φ ∂x∂y。 由于 ∂P ∂y , ∂Q ∂x 连续，故 ∂ 2Φ ∂y∂x = ∂ 2Φ ∂x∂y。 于是 ∂P ∂y = ∂Q ∂x 。 充分性：令 Φ(x, y) = ∫ x x0 P(x, y) d x + ψ(y)，则 ∂Φ ∂y = ∫ x x0 ∂P ∂y d x + ψ ′ (y) = ∫ x x0 ∂Q ∂x d x + ψ ′ (y) = Q(x, y) − Q(x0, y) + ψ ′ (y) = Q(x, y) 故 ψ ′ (y) = Q(x0, y) ⇒ ψ(y) = ∫ y y0 Q(x0, y) d y + C 因此，Φ(x, y) = ∫ x x0 P(x, y) d x + ∫ y y0 Q(x0, y) d y + C，故 (2) 是恰当方程，通解为： ∫ x x0 P(x, y) d x + ∫ y y0 Q(x0, y) d y = C 例 1.3. 考虑 p(x)dx + q(y)dy = 0，p(x), q(y) 连续可微。显然这是一个恰当方程，其通 解为 ∫ x x0 p(x) d x + ∫ y y0 q(y) d y = C。 §2.2 可分离变量的方程 考虑形如 X(x)Y1(y)dx + X1(x)Y (y)dy = 0 的方程，若 X1(x) ̸= 0, Y1(y) ̸= 0，则 X(x) X1(x) dx + Y (y) Y1(y) dy = 0 其通解为 ∫ X(x) X1(x) d x + ∫ Y (y) Y1(y) d y = C，C 为任意常数。 若 X1(a) = 0，则 x = a 是一个特解。 若 Y1(b) = 0，则 y = b 是一个特解。 例 1.4. 求解微分方程：y ′ = 3 2 y 1 3。 3

解。显然y=0 是特解。3口若y≠0，则y-dy=d，从而得到通解为y=+C。2但事实上通解只是所有解微不足道的一部分。4

解. 显然 y = 0 是特解。 若 y ̸= 0，则 y − 1 3 dy = 3 2 dx，从而得到通解为 y 2 3 = x + C。 但事实上通解只是所有解微不足道的一部分。 4