中国科学技术大学：《数学分析》课程教学资源（讲义）6 连通性

Lec7Note of Mathematical AnalysisB3Xuxuayame日期：2022年9月20日这一节依然参考讲义与Munkres。86连通性6.1连通定义6.1.设(X,J)为拓扑空间，如果X=AUB，A,BJ,A≠,B≠の,AnB=の，则称X为非连通的（Disconnected）拓扑空间。这样的二元对A,B称为X的分割(Separation)。如果X不是非连通的，或者说分割不存在，就称它为连通的（Connected)拓扑空间。设YCX，如果子空间（Y,Jy）是非连通或连通的拓扑空间，则称Y为非连通或连通的子集。评论.定义6.1中的“开集A,B”改为“闭集A,B”或“既开又闭的集合A,B”，则容易看出这三种定义是等价的。拓扑空间(X，)是连通的台X的子集中只有X和の是既开又闭的。这件事情很容易想清楚。如果A是X的非空真子集，且既开又闭，那么X一AU（X一A)，且A与X一A为非空不相交的开集，这与X连通矛盾。反过来，如果X不连通，则存在非空不相交的开集A,B使得AUB=X，于是A=X-B为闭集，从而A既开又闭，因此A只能是X或の，要么与B非空矛盾，要么与A非空矛盾。定理6.1.设(XT)为拓扑空间，且X=AUB，A,BET、AnB=O。如果Y是X的连通子集，则AnY=0或BnY=0。证明.显然Y=(AUB)nY=(AnY)U(BnY),AnYEJy,BnYEJy,(AnY)n(BnY）=の。若AnY≠の，BnYの，则Y是非连通的，这与已知Y是X的连通口子集矛盾。定理6.2.设Y,Y(αEI)都是拓扑空间(X,J)的连通子集。如果对任何αEI,YαnY，则YU（UYQ）是X的连通子集。1

Lec7 Note of Mathematical Analysis B3 Xuxuayame 日期：2022 年 9 月 20 日 这一节依然参考讲义与 Munkres。 §6 连通性 6.1 连通 定义 6.1. 设 (X, T) 为拓扑空间，如果 X = A ∪ B, A, B ∈ T, A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅，则称 X 为非连通的 (Disconnected) 拓扑空间。这样的二元对 A, B 称为 X 的分割 (Separation)。 如果 X 不是非连通的，或者说分割不存在，就称它为连通的 (Connected) 拓扑空间。 设 Y ⊂ X，如果子空间 (Y, TY ) 是非连通或连通的拓扑空间，则称 Y 为非连通或连 通的子集。 评论. 定义 6.1 中的“开集 A, B”改为“闭集 A, B”或“既开又闭的集合 A, B”，则容 易看出这三种定义是等价的。 拓扑空间 (X, T) 是连通的 ⇔ X 的子集中只有 X 和 ∅ 是既开又闭的。 这件事情很容易想清楚。如果 A 是 X 的非空真子集，且既开又闭，那么 X = A ∪ (X − A)，且 A 与 X − A 为非空不相交的开集，这与 X 连通矛盾。反过来，如果 X 不连通，则存在非空不相交的开集 A, B 使得 A ∪ B = X，于是 A = X − B 为闭集， 从而 A 既开又闭，因此 A 只能是 X 或 ∅，要么与 B 非空矛盾，要么与 A 非空矛盾。 定理 6.1. 设 (X, T) 为拓扑空间，且 X = A ∪ B, A, B ∈ T, A ∩ B = ∅。如果 Y 是 X 的 连通子集，则 A ∩ Y = ∅ 或 B ∩ Y = ∅。 证明. 显然 Y = (A ∪ B) ∩ Y = (A ∩ Y ) ∪ (B ∩ Y ), A ∩ Y ∈ TY , B ∩ Y ∈ TY , (A ∩ Y ) ∩ (B ∩ Y ) = ∅。若 A ∩ Y 6= ∅, B ∩ Y 6= ∅，则 Y 是非连通的，这与已知 Y 是 X 的连通 子集矛盾。 定理 6.2. 设 Y, Yα(α ∈ I) 都是拓扑空间 (X, T) 的连通子集。如果对任何 α ∈ I，Yα ∩Y 6= ∅，则 Y ∪ ( ∪ α Yα) 是 X 的连通子集。 1

证明.若YU（UJYa）是非连通的，则YU（UJYα）=AUB，A和B是YU（UJYa）的两个非空不相交的开集。由定理6.1，连通子集YCA（或B），连通子集YCA（或B)。不妨设YCA,因为YnYα ,所以YC A(αI)。于是YU(LJY)C A,口YU（LJYa）=A，因而B=，这与上述B≠矛盾。a定理6.3.设（X,）为拓扑空间，Y是X的连通子集，且YCYiCY，则Yi也是连通的。特别地也是连通的。换句话说，如果Y1是通过往连通子集Y上增添部分或全部它的极限点得到的，那么Yi是连通的。证明.设Yi非连通，因而Yi=AUB，这里A,B是Yi的非空不相交的开集。因为Y连通，由定理6.1，AnY=の或BnY=の。不妨设BnY=の，于是YCA。由题设YCYiCY，则Yi-Y中的每一点都是Y在X中的聚点。因为YCA.B=Yi-ACYi-Y，所以非空集合B的任一点b都是Y在X中的聚点。此外由于YCAUB=YiCX，b也是Y在Yi中的聚点。再由YCA，b也是A在Yi中口的聚点，则bEA(A是Yi中既开又闭的子集)，bEAnB=の，矛盾。例6.1.Euclid空间R"是连通的。若R非连通，于是R=AUB，A,B是R的非空不相交闭集。设aEA,bEB。不妨设aV2]。所以Q是非连通的。3.Lec3例2.6中的X是非连通的。事实上，X=(/-00<<0]U /0 ≤<+00]- (.-n.) (O0.)2

证明. 若 Y ∪ ( ∪ α Yα) 是非连通的，则 Y ∪ ( ∪ α Yα) = A ∪ B，A 和 B 是 Y ∪ ( ∪ α Yα) 的 两个非空不相交的开集。由定理 6.1，连通子集 Y ⊂ A（或 B），连通子集 Yα ⊂ A（或 B）。不妨设 Y ⊂ A，因为 Y ∩ Yα 6= ∅，所以 Yα ⊂ A (α ∈ I)。于是 Y ∪ ( ∪ α Yα) ⊂ A， Y ∪ ( ∪ α Yα) = A，因而 B = ∅，这与上述 B 6= ∅ 矛盾。 定理 6.3. 设 (X, T) 为拓扑空间，Y 是 X 的连通子集，且 Y ⊂ Y1 ⊂ Y¯，则 Y1 也是连通 的。特别地 Y¯ 也是连通的。 换句话说，如果 Y1 是通过往连通子集 Y 上增添部分或全部它的极限点得到的，那 么 Y1 是连通的。 证明. 设 Y1 非连通，因而 Y1 = A ∪ B，这里 A, B 是 Y1 的非空不相交的开集。因为 Y 连通，由定理 6.1，A ∩ Y = ∅ 或 B ∩ Y = ∅。不妨设 B ∩ Y = ∅，于是 Y ⊂ A。 由题设 Y ⊂ Y1 ⊂ Y¯，则 Y1 − Y 中的每一点都是 Y 在 X 中的聚点。因为 Y ⊂ A, B = Y1 − A ⊂ Y1 − Y ，所以非空集合 B 的任一点 b 都是 Y 在 X 中的聚点。此外， 由于 Y ⊂ A ∪ B = Y1 ⊂ X，b 也是 Y 在 Y1 中的聚点。再由 Y ⊂ A，b 也是 A 在 Y1 中 的聚点，则 b ∈ A(A 是 Y1 中既开又闭的子集)，b ∈ A ∩ B = ∅，矛盾。 例 6.1. Euclid 空间 R n 是连通的。 若 R 非连通，于是 R = A ∪ B，A, B 是 R 的非空不相交闭集。设 a ∈ A, b ∈ B。 不妨设 a √ 2}。所以 Q 是非连通的。 3. Lec3 例 2.6 中的 X 是非连通的。事实上， X = {x | −∞ < x < 0} ∪ {x | 0 ≤ x < +∞} = (∪∞ n=1 [−n, 0)) ∪ (∪∞ n=1 [0, n) ) 2

它是两个不相交的非空开集的并。定理6.4.设(X,J1)和(Y,J2)为拓扑空间，f：X→Y是连续映射。如果X是连通的，则f(X)也是连通的（连通性在连续映射下是不变的)。证明f(X)CY为Y的子拓扑空间。显然f：X→f(X)也是连续映射。设f(X)是非连通的，则f(X）=AUB，A与B是f(X)的非空不相交的开子集。由f连续，f-I(A与f-1(B)也是X的开自己，明显地，它们非空且不相交，又X=f-1(A)Uf-1(B)，这口与X连通相矛盾。评论。由定理6.4得到连通性是拓扑性质。也可直接证明连通性和非连通性是拓扑性质。非连通性是连续映射下不变的吗？例6.3。 1.由于:(g,b)→R, (a)=tan 完是同胚映射以及R是连通的。所以(a,b)是连通的。类似地可证，（一oo,a),(a,+oo）是连通的。2. 由 (a,b) C [a,b) C [a,b] =(a,b)及定理 6.3可得到[a,b)和 [a,b] 是连通的。类似地，（-0,a],[a,+0),(a,b是连通的。例6.4.S1与双纽线Y=(c,y)ER2/(2+y2)=2-)是不同胚的，若存在同胚映射f:S1→Y,则f:SI-{f-1(0,0))→Y-[(0,0))也是同胚映射。但S-1-{f-1(0,0))连通，而Y一{(0,0)）不连通，矛盾。6.2道路连通定义6.2.设(X,)为拓扑空间，P,qEX，I={t0≤t≤1)CR。如果连续映射f：I→X使得f(O)=p,f(1)=q，则f称为X中连接p与q的一条道路(Path)。如果对于X的任意两点，在X中都有一条连接它们的道路，X就称为道路连通的(Path-connected)。例6.5.X中的一条道路指的是一个连续映射f：I→X，而不是像集f(I)CX。可能有另一个连续映射g：I→X,g≠f，但像集g(I)=f(I)。这是f和g是连接f(O)和f(1）的两条不同的道路。例如f:I→X=I, f(t)=t,ng: I→X=I, g(t)=sin2显然，f≠g，但f(I)=g(I)=I。例6.6.设ACRn，如果任何p,9EA，必有直线段(1-t)p+tqEA(0≤t≤1)，则称A为Rn中的凸集（Convexset)。例如：Rn，Rn中的k维子向量空间，Rn中的开（或闭）的长方体，Rn中开（或闭）的球体，R中各种区间等都是凸集。对于任何p,qEA，令f：I→A，f(t)=(1-t)p+tq。显然f是连接p和q的一条道路。因此，凸集A是道路连通的。3

它是两个不相交的非空开集的并。 定理 6.4. 设 (X, T1) 和 (Y, T2) 为拓扑空间，f : X → Y 是连续映射。如果 X 是连通的， 则 f(X) 也是连通的（连通性在连续映射下是不变的）。 证明. f(X) ⊂ Y 为 Y 的子拓扑空间。显然 f : X → f(X) 也是连续映射。设 f(X) 是非 连通的，则 f(X) = A ∪ B，A 与 B 是 f(X) 的非空不相交的开子集。由 f 连续，f −1 (A) 与 f −1 (B) 也是 X 的开自己，明显地，它们非空且不相交，又 X = f −1 (A)∪f −1 (B)，这 与 X 连通相矛盾。 评论. 由定理 6.4 得到连通性是拓扑性质。也可直接证明连通性和非连通性是拓扑性质。 非连通性是连续映射下不变的吗？ 例 6.3. 1. 由 f : (a, b) → R, f(x) = tan 2x−(b+a) 2(b−a) π 是同胚映射以及 R 是连通的。所以 (a, b) 是连通的。类似地可证，(−∞, a),(a, +∞) 是连通的。 2. 由 (a, b) ⊂ [a, b) ⊂ [a, b] = (a, b) 及定理 6.3 可得到 [a, b) 和 [a, b] 是连通的。类似 地，(−∞, a], [a, +∞),(a, b] 是连通的。 例 6.4. S 1 与双纽线 Y = {(x, y) ∈ R 2 | (x 2 + y 2 ) 2 = x 2 − y 2} 是不同胚的，若存在同胚映 射 f : S 1 → Y ，则 f : S 1−{f −1 (0, 0)} → Y −{(0, 0)} 也是同胚映射。但 S −1−{f −1 (0, 0)} 连通，而 Y − {(0, 0)} 不连通，矛盾。 6.2 道路连通 定义 6.2. 设 (X, T) 为拓扑空间，p, q ∈ X，I = {t | 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ R。如果连续映射 f : I → X 使得 f(0) = p, f(1) = q，则 f 称为 X 中连接 p 与 q 的一条道路 (Path)。 如果对于 X 的任意两点，在 X 中都有一条连接它们的道路，X 就称为道路连通的 (Path-connected)。 例 6.5. X 中的一条道路指的是一个连续映射 f : I → X，而不是像集 f(I) ⊂ X。可能 有另一个连续映射 g : I → X, g 6= f，但像集 g(I) = f(I)。这是 f 和 g 是连接 f(0) 和 f(1) 的两条不同的道路。例如 f : I → X = I, f(t) = t, g : I → X = I, g(t) = sin π 2 t 显然，f 6= g，但 f(I) = g(I) = I。 例 6.6. 设 A ⊂ R n，如果任何 p, q ∈ A，必有直线段 (1 − t)p + tq ∈ A (0 ≤ t ≤ 1)，则称 A 为 R n 中的凸集 (Convex set)。例如：R n，R n 中的 k 维子向量空间，R n 中的开（或闭） 的长方体，R n 中开（或闭）的球体，R 中各种区间等都是凸集。 对于任何 p, q ∈ A，令 f : I → A, f(t) = (1 − t)p + tq。显然 f 是连接 p 和 q 的一条 道路。因此，凸集 A 是道路连通的。 3

+例6.7.设Sn=α=（α1,…，an+1)/a=1]，对于任何p,qS"，取p,q所在的二维平面上的一个规范正交基[ei=p，e2]，则q=cos.ei+sin.e2，令f :I →sm,t→ costo.e1 + sinto .e2于是f是连接p与q的一条道路，所以Sn是道路连通的。定理6.5.道路连通的拓扑空间(X,）是连通的。但反之并不成立（参看例6.8)证明.若X非连通，则X=AUB，A,B是X的非空不相交的开集。取aEA,bEB。因为X是道路连通的，X中存在连接a与b的一条道路f：I→X，f(O)=aEA，f(1)=bEB，于是f(I)= f(I)n(AUB) = (f(I)nA)U(f(I)nB)f(I)nA, f(I)nB, (f(I)nA)n(f(I)B)=f(I)n(AnB)=0即f（I）是非连通的。另一方面，因为I是连通的，由定理6.4，f（I）也是连通的，这就口推出了矛盾。评论.由定理6.5可知例6.1,36,7中的拓扑空间都是连通的。例6.8.连通的拓扑空间不必是道路连通的。设A=((r,y) ly=sin, 0<a≤) R2, B= (0,y) -1≤y≤1)cR2。显然A=AUB。因为A是(0,1)的连续像，由定理6.4它是连通的。再由定理3，A也是连通的。但A不是道路连通的。事实上，设aEA，bEB，f：I→A是任一映射，使得f(0)=a，f(1)=b，则f必不连续。若f(t)=(r(t),y(t)连续。令ti =inf[t | f(t) E B)显然0<t1。由ti的定义，存在tn→，f(tn)EB。于是lim r(t)=r(ti) = lim r(tn)= lim 0= 0,-t-→ti1y(ti) = lim y(t) = lim sint-→tr(t)t-→ti但明显地，当t→扫（（t）→0）时，右边的极限不存在，矛盾。定理6.6.设（X,Ji)和(Y,J2)为拓扑空间，f：X→Y是连续映射。如果X是道路连通的，则f(X）也是道路连通的（道路连通性在连续映射下是不变的）。证明.设p,qEf(X)。则存在a,bEX，使得f(a)=p，f(b)=q。由于X是道路连通的，则存在连续映射:I →X,(0)=a,(1)=b。于是f:I→f(X),fo(0)=4

例 6.7. 设 S n = {x = (x1, · · · , xn+1) | ∑n+1 i=1 x 2 i = 1}，对于任何 p, q ∈ S n，取 p, q 所在的二 维平面上的一个规范正交基 {e1 = p, e2}，则 q = cos θ · e1 + sin θ · e2，令 f :I → S n , t 7→ costθ · e1 + sin tθ · e2 于是 f 是连接 p 与 q 的一条道路，所以 S n 是道路连通的。 定理 6.5. 道路连通的拓扑空间 (X, T) 是连通的。但反之并不成立（参看例 6.8） 证明. 若 X 非连通，则 X = A∪B，A, B 是 X 的非空不相交的开集。取 a ∈ A, b ∈ B。因 为 X 是道路连通的，X 中存在连接 a 与 b 的一条道路 f : I → X, f(0) = a ∈ A, f(1) = b ∈ B，于是 f(I) = f(I) ∩ (A ∪ B) = (f(I) ∩ A) ∪ (f(I) ∩ B) f(I) ∩ A 6= ∅, f(I) ∩ B 6= ∅, (f(I) ∩ A) ∩ (f(I) ∩ B) = f(I) ∩ (A ∩ B) = ∅ 即 f(I) 是非连通的。另一方面，因为 I 是连通的，由定理 6.4，f(I) 也是连通的，这就 推出了矛盾。 评论. 由定理 6.5 可知例 6.1,3,6,7 中的拓扑空间都是连通的。 例 6.8. 连通的拓扑空间不必是道路连通的。 设 A = {(x, y) | y = sin 1 x , 0 < x ≤ 2 π } ⊂ R 2 , B = {(0, y) | −1 ≤ y ≤ 1} ⊂ R 2。显 然 A¯ = A ∪ B。因为 A 是 (0, 1] 的连续像，由定理 6.4 它是连通的。再由定理 3，A¯ 也是 连通的。 但 A¯ 不是道路连通的。事实上，设 a ∈ A, b ∈ B，f : I → A¯ 是任一映射，使得 f(0) = a, f(1) = b，则 f 必不连续。 若 f(t) = (x(t), y(t)) 连续。令 t1 = inf{t | f(t) ∈ B} 显然 0 < t1。由 t1 的定义，存在 tn → t + 1 , f(tn) ∈ B。于是 lim t→t − 1 x(t) = x(t1) = lim n→+∞ x(tn) = lim n→+∞ 0 = 0, y(t1) = lim t→t − 1 y(t) = lim t→t − 1 sin 1 x(t) 但明显地，当 t → t − 1 (x(t) → 0) 时，右边的极限不存在，矛盾。 定理 6.6. 设 (X, T1) 和 (Y, T2) 为拓扑空间，f : X → Y 是连续映射。如果 X 是道路连 通的，则 f(X) 也是道路连通的（道路连通性在连续映射下是不变的）。 证明. 设 p, q ∈ f(X)。则存在 a, b ∈ X，使得 f(a) = p, f(b) = q。由于 X 是道路连通 的，则存在连续映射 φ : I → X, φ(0) = a, φ(1) = b。于是 f ◦ φ : I → f(X), f ◦ φ(0) = 4

p,fop(1)=q就是f(X）中连接p和q的一条道路。这就证明了f(X）是道路连通口的。6.3连通分支定义6.3.设（X，了）为拓扑空间，如果A是最大的连通子集（即A既是连通的，并且又不是X的另一连通子集的真子集），则称A为X的一个连通分支（Connectedcomponent)。如果A是X的最大的道路连通子集，则称A为X的一个道路连通分支（Path-connected component)。定理6.7.拓扑空间（X,J）的每一个非空连通子集Y必落在一个连通分支中。X的每个连通分支都是X的闭集。于是X划分成若干个两两不相交的连通分支。证明.设C是包含Y的所有连通子集的并集。由定理6.2，C是连通的。如果D是X中包含C的连通子集，由C的取法可知DCC，所以D=C。这就证明了C是一个连通分支。X的每一个分支C是连通的，所以根据定理6.3，它在X中的闭包C也是连通的。由C的最大性推出CCC，则C=C是X的闭集。设C是X中含的连通分支（它是所有含的连通子集的并集）。如果Cr和C2相交，则由定理6.2推出C=CrUCr2也是连通的。再从Crt和Cz2的最大性可知口C=Ca1=Cr2。因此，X的任两连通分支或者不相交或者重合。定理6.8.拓扑空间（X，J）的每一个非空道路连通子集Y必落在一个道路连通分支中。于是X划分为若干个两两不相交的道路连通分支。证明.设C={y|在X中存在连接r和y的道路f)，则C是含a的一个道路连通分支。因为(u)=f(ut)是连接(o)=f(O)=和(1)=f(t)的一条道路，所以f(t) ECa (0≤t≤1)。对任何y,zECr，设f是连接和y的道路，g是连接和z的道路。则[f(1 - 2t), 0≤t≤,h(t) =(g(2t-1),<t≤1是C中连接y和z的一条道路。如果D是包含C的道路连通子集，则与D中任一点都有一条道路相连，所以DCCr，D=Cr。这就证明了Ca是一个道路连通分支。如果Y是一个非空道路连通子集，任取yEY，显然YCy。最后，如果Ca和Cr相交，zECrnCr2，则对任何ECr，与道路相连接，所以ECz，CCCz。而C是包含C的道路连通子集，于是Cn=Cz。同理口Ca=Cz。这就证明了Cr与Cr2或者不相交，或者重合。5

p, f ◦ φ(1) = q 就是 f(X) 中连接 p 和 q 的一条道路。这就证明了 f(X) 是道路连通 的。 6.3 连通分支 定义 6.3. 设 (X, T) 为拓扑空间，如果 A 是最大的连通子集（即 A 既是连通的，并且又不 是 X 的另一连通子集的真子集），则称 A 为 X 的一个连通分支 (Connected component)。 如果 A 是 X 的最大的道路连通子集，则称 A 为 X 的一个道路连通分支 (Path￾connected component)。 定理 6.7. 拓扑空间 (X, T) 的每一个非空连通子集 Y 必落在一个连通分支中。X 的每个 连通分支都是 X 的闭集。于是 X 划分成若干个两两不相交的连通分支。 证明. 设 C 是包含 Y 的所有连通子集的并集。由定理 6.2，C 是连通的。如果 D 是 X 中包含 C 的连通子集，由 C 的取法可知 D ⊂ C，所以 D = C。这就证明了 C 是一个 连通分支。 X 的每一个分支 C 是连通的，所以根据定理 6.3，它在 X 中的闭包 C¯ 也是连通的。 由 C 的最大性推出 C¯ ⊂ C，则 C = C¯ 是 X 的闭集。 设 Cx 是 X 中含 x 的连通分支（它是所有含 x 的连通子集的并集）。如果 Cx1 和 Cx2 相交，则由定理 6.2 推出 C = Cx1 ∪ Cx2 也是连通的。再从 Cx1 和 Cx2 的最大性可知 C = Cx1 = Cx2。因此，X 的任两连通分支或者不相交或者重合。 定理 6.8. 拓扑空间 (X, T) 的每一个非空道路连通子集 Y 必落在一个道路连通分支中。 于是 X 划分为若干个两两不相交的道路连通分支。 证明. 设 Cx = {y | 在X中存在连接x和y的道路f}，则 Cx 是含 x 的一个道路连通分支。 因为 φ(u) = f(ut) 是连接 φ(0) = f(0) = x 和 φ(1) = f(t) 的一条道路，所以 f(t) ∈ Cx (0 ≤ t ≤ 1)。 对任何 y, z ∈ Cx，设 f 是连接 x 和 y 的道路，g 是连接 x 和 z 的道路。则 h(t) =    f(1 − 2t), 0 ≤ t ≤ 1 2 , g(2t − 1), 1 2 < t ≤ 1 是 Cx 中连接 y 和 z 的一条道路。 如果 D 是包含 Cx 的道路连通子集，则 x 与 D 中任一点都有一条道路相连，所以 D ⊂ Cx, D = Cx。这就证明了 Cx 是一个道路连通分支。 如果 Y 是一个非空道路连通子集，任取 y ∈ Y ，显然 Y ⊂ Cy。 最后，如果 Cx1 和 Cx2 相交，z ∈ Cx1 ∩ Cx2，则对任何 x ∈ Cx1，x 与 z 道路相连 接，所以 x ∈ Cz，Cx1 ⊂ Cz。而 Cz 是包含 Cx1 的道路连通子集，于是 Cx1 = Cz。同理 Cx2 = Cz。这就证明了 Cx1 与 Cx2 或者不相交，或者重合。 5

例6.9.1.Q和R－Q形成的子拓扑空间的连通分支和道路连通分支都是单点集，是R的闭集但非开子集。2.例6.8中的拓扑空间XAUB，只有一个连通分支AUB。但道路连通分支却有两个，即AUB。其中A是AUB的开子集但非闭子集，而B是闭子集但非开子集。6.4R"中的区域定义6.4.设ACR"，如果对任何p,qEA，必存在一条A中的折线pP1P2PR9连接p和g（严格地说，存在一条连接p和的连续曲线f，而它的像集是A中的折线PPiP2PRq），则称A为折线连通的。（显然，折线连通→道路连通→连通）定理6.9.设GCRn是开集，则以下表述等价：1.G是折线连通的；2.G是道路连通的；3.G是连通的。连通（或折线连通或道路连通）的开集G称为Rn中的开区域（Openregion)。而G称为闭区域（Closedregion)。证明.(1→2)显然。(2→3）由定理6.5推出。(3→1）设G=（y|在G中存在连接r和y的折线)。类似于定理6.8的证明（只需将“道路连接”改为“折线连接”）可以得到G是一个折线连通分支。如果Y是一个非空折线连通子集，则对任何yEY，有YCGy。此外，G和Gu或者不相交，或者重合。不难看出G是Rn的开集。事实上，对任何pEGa，由于G是开集，存在球形邻域U(p,)CG，而对任何gEU(p)有直线段连接p和g，所以有折线将和q相连即qEGr,U(p,e)CGro如果GG(EG)，则G=GUGu。因此G可表示为两个非空不相lEG-G口交的开集的并集，这与G连通相矛盾。于是G=G，即G是折线连通的。6

例 6.9. 1. Q 和 R − Q 形成的子拓扑空间的连通分支和道路连通分支都是单点集，是 R 的闭集但非开子集。 2. 例 6.8 中的拓扑空间 X = A ∪ B，只有一个连通分支 A ∪ B。但道路连通分支却有 两个，即 A ∪ B。其中 A 是 A ∪ B 的开子集但非闭子集，而 B 是闭子集但非开子 集。 6.4 R n 中的区域 定义 6.4. 设 A ⊂ R n，如果对任何 p, q ∈ A，必存在一条 A 中的折线 pp1p2 · · · pRq 连 接 p 和 q（严格地说，存在一条连接 p 和 q 的连续曲线 f，而它的像集是 A 中的折线 pp1p2 · · · pRq），则称 A 为折线连通的。（显然，折线连通 ⇒ 道路连通 ⇒ 连通） 定理 6.9. 设 G ⊂ R n 是开集，则以下表述等价： 1. G 是折线连通的； 2. G 是道路连通的； 3. G 是连通的。 连通（或折线连通或道路连通）的开集 G 称为 R n 中的开区域 (Open region)。而 G¯ 称为 闭区域 (Closed region)。 证明. (1 ⇒ 2) 显然。 (2 ⇒ 3) 由定理 6.5 推出。 (3 ⇒ 1) 设 Gx = {y | 在G中存在连接x和y的折线}。类似于定理 6.8 的证明（只需 将“道路连接”改为“折线连接”）可以得到 Gx 是一个折线连通分支。如果 Y 是一个 非空折线连通子集，则对任何 y ∈ Y ，有 Y ⊂ Gy。此外，Gx 和 Gy 或者不相交，或者 重合。 不难看出 Gx 是 R n 的开集。事实上，对任何 p ∈ Gx，由于 G 是开集，存在球形邻 域 U(p, ε) ⊂ G，而对任何 q ∈ U(p, ε) 有直线段连接 p 和 q，所以有折线将 x 和 q 相连， 即 q ∈ Gx，U(p, ε) ⊂ Gx。 如果 Gx 6= G (x ∈ G)，则 G = Gx ∪ ( ∪ y∈G−Gx Gy ) 。因此 G 可表示为两个非空不相 交的开集的并集，这与 G 连通相矛盾。于是 Gx = G，即 G 是折线连通的。 6