《概率论与数理统计》课程教学资源（实验指导）5、统计量三大分布图形描绘

实验5统计量三大分布图形描绘数理方法中，很多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有着广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的三大抽样分布”。1实验目的了解统计量三大分布的直观图形。x分布：设X,X2",X是独立同分布，X~(0,1)，则x=X+X++X，服从自由度为n的×分布，记为x~(n).分布概率密度为1-+/2e-x/,y>0f(0)=22r(n/2)0，其它X服从自t分布：设X~N（01)，Y~×(n)X,Y相互独立，则称随机变量t=Jy/n由度为n的t分布。记为t~t(n).t分布又称为学生氏分布。t分布的概率密度为)-(n+1)/2h0) = l+(1+-0000,其它2基本语句（1）<<Statistics三大分布的描绘功能：加载统计学软件包(2)ChiSquareDistribution[n]功能：产生一个服从x分布的自由度为n的随机变量(3)StudentTDistribution[n]功能：产生一个服从1分布的自由度为n的随机变量(4)FRatioDistribution[n,m]

实验 5 统计量三大分布图形描绘 数理方法中，很多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造 的三个著名统计量在实际中有着广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而 且其抽样分布的密度函数有明显表达式，它们被称为统计中的“三大抽样分布”。 1 实验目的 了解统计量三大分布的直观图形。 2  分布：设 X X Xn , , , 1 2  是独立同分布， ~ (0,1) Xk ，则 2 2 2 2 1 2  = X + X ++ Xn ，服 从自由度为 n 的 2  分布. 记为 ~ ( ) 2 2   n . 2  分布概率密度为       =  − + − 0 , . , 0 2 ( 2) 1 ( ) 1 2 2 2 其它 y e y f y n n y n t 分布：设 X ~ N（0,1）， ~ ( ) 2 Y  n ,X,Y 相互独立，则称随机变量 Y n X t = ,服从自 由度为 n 的 t 分布。记为 t~t(n) .t 分布又称为学生氏分布。t 分布的概率密度为   ( ) 1 , 2 ( 1) 2 ( ) ( 1) 2 2 − +         +   + = n n t n n n h t  −t  + F 分布：设 ~ ( ) 2 U  n ， ~ ( ) 2 V  m 且 V ,U 相互独立,则称随机变量 V m U n F = 服从自 由度为 (n , m) 的 F 分布，记为 F~F(n,m), F(n,m)分布的概率密度为       + + = + − 0, 其它 , y 0 Γ(n/2)Γ(m/2)[1 (ny/m)] Γ[(n m)/2](n/m) y ψ(y) (n m)/2 n/2 (n/2) 1 2 基本语句 （1）<<Statistics`三大分布的描绘 功能：加载统计学软件包 （2）ChiSquareDistribution[n] 功能：产生一个服从 2  分布的自由度为 n 的随机变量 （3）StudentTDistribution[n] 功能：产生一个服从 t 分布的自由度为 n 的随机变量 （4）FRatioDistribution[n,m]

功能：产生一个服从F(m,n)分布的随机变量3典型例题例 1分布（1）输入命令aa4=PDF[ChiSquareDistribution[4],x]f4[x_ ]:=Evaluate[aa4]f4[2] [1-e2x>014运行结果[oTrue12e输入命令f4[2.]（计算函数值）运行结果0.18394输入命令（绘制概率密度函数的图形）g4=Plot[f4[x], (x,0,19]]运行结果0.1750.150.1250.10.0750.050.0251012.517.7.515图1（2）输入命令aa6=PDF[ChiSquareDistribution[6],x];（定义其概率密度函数）f6[x_ ]:=Evaluate[aa6]g6=Plot[f6[x], (x,0,19]]（绘制概率密度函数的图形）运行结果0.120.1 E0.08E0.060.040.022.512.51517.57.510图2（3）输入命令aal1=PDF[ChiSquareDistribution[11],x];（定义其概率密度函数)f11[x_]:=Evaluate[aal1]

功能：产生一个服从 F(m,n)分布的随机变量 3 典型例题 例 1 2  分布 （1）输入命令 aa4= PDF[ChiSquareDistribution[4],x] f4[x_]:=Evaluate[aa4] f4[2] 运行结果      − True e x x 0 0 4 1 2 2e 1 输入命令 f4[2.] (计算函数值) 运行结果 0.18394 输入命令 g4=Plot[f4[x],{x,0,19}] (绘制概率密度函数的图形) 运行结果 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 图 1 （2）输入命令 aa6= PDF[ChiSquareDistribution[6],x]; f6[x_]:=Evaluate[aa6] (定义其概率密度函数) g6=Plot[f6[x],{ x,0,19}] (绘制概率密度函数的图形) 运行结果 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 图 2 （3）输入命令 aa11=PDF[ChiSquareDistribution[11],x]; f11[x_]:=Evaluate[aa11] (定义其概率密度函数)

（绘制概率密度函数的图形）g11=Plot[f11[x], (x,0,19)]运行结果0.08F0.060.040.027.517.52.51012.515图3（4）输入命令Show[(g4,g6,gl1)]（输出组合图形）运行结果0.1750.150.1250.10.0750.050.0252.57.551012.51517.5图4（5）输入命令aa12=CDF[ChiSquareDistribution[12],x]g12[x_ ]:=Evaluate[aa12]g12[16](计算函数的精确值)运行结果GammaRegularized[6,0,8]输入命令(计算函数的近似值)g12[16.]运行结果0.808764输入命令(绘制分布函数的图形)Plotg12[x], (x,0,39)]运行结果it0.8 F0.60.40.2201030图5（6）输入命令FindRoot[g12[x]==0.95,(x,9)]（计算上α(α=0.05)分位点)运行结果(x->21.0261)输入命令Quantile|ChiSquareDistribution[111.0.95](用另外一种方式计算上α(α=0.05)分位点)运行结果19.6751

g11=Plot[f11[x],{x,0,19}] (绘制概率密度函数的图形) 运行结果 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 0.02 0.04 0.06 0.08 图 3 （4）输入命令 Show[{g4,g6,g11}] (输出组合图形) 运行结果 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 图 4 （5）输入命令 aa12=CDF[ChiSquareDistribution[12],x] g12[x_]:=Evaluate[aa12] g12[16] (计算函数的精确值) 运行结果 GammaRegularized[6,0,8] 输入命令 g12[16.] (计算函数的近似值) 运行结果 0.808764 输入命令 Plotg12[x],{x,0,39}] (绘制分布函数的图形) 运行结果 10 20 30 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图 5 （6）输入命令 FindRoot[g12[x]==0.95,{x,9}] (计算上(=0.05)分位点) 运行结果 {x->21.0261} 输入命令 Quantile[ChiSquareDistribution[11],0.95] (用另外一种方式计算上(=0.05)分位点) 运行结果 19.6751

输入命令Random[ChiSquareDistribution[11]（生成一个参数为11服从2分布的随机数运行结果10.1057输入命令Table[Random[ChiSquareDistribution[11]], (10]]（生成10个参数为11服从2分布的随机数）运行结果11.4.6.98565.15.0819.8.23832.6.93843.5.3104.8.71056.12.6489.20.3259.9.59105输入命令sss]=Table[Random[ChiSquareDistribution[11], (1000]];(生成1000个参数为11服从×分布的随机数)Histogram[ss]]（绘制直方图）运行结果100101520图6例21分布（1）输入命令Clear[n];n=16;(清除变量的赋值)aa2=StudentTDistribution[n];(产生一个服从1分布的自由度为16的随机变量)f2[x ]:=Evaluate[PDF[aa2,x];（定义其概率密度函数）f2[3.]（计算函数值）运行结果0.0088442输入命令Plot[f2[x], (x,-6,6)]（绘制概率密度函数的图形）运行结果.c4图7（2）输入命令g2[x]:=Evaluate[CDF[aa2,x](定义其分布函数)g2[2](计算函数的精确值）

输入命令 Random[ChiSquareDistribution[11]] (生成一个参数为 11 服从 2  分布的随机数) 运行结果 10.1057 输入命令 Table[Random[ChiSquareDistribution[11]],{10}] (生成 10 个参数为 11 服从 2  分布的随机数) 运行结果 {11.4,6.98565,15.0819,8.23832,6.93843,5.3104,8.71056,12.6489,20.3259,9.59105} 输入命令 sss1= Table[Random[ChiSquareDistribution[11]],{1000}]; (生成 1000 个参数为 11 服从 2  分布的随机数) Histogram[sss1] (绘制直方图) 运行结果 5 10 15 20 25 30 35 0 20 40 60 80 100 图 6 例 2 t 分布 （1）输入命令 Clear[n];n=16; (清除变量的赋值) aa2=StudentTDistribution[n] ; (产生一个服从 t 分布的自由度为 16 的随机变量) f2[x_]:=Evaluate[PDF[aa2,x]]; (定义其概率密度函数) f2[3.] (计算函数值) 运行结果 0.0088442 输入命令 Plot[f2[x],{x,-6,6}] (绘制概率密度函数的图形) 运行结果 -6 -4 -2 2 4 6 0.1 0.2 0.3 0.4 图 7 （2）输入命令 g2[x_]:=Evaluate[CDF[aa2,x]] (定义其分布函数) g2[2] (计算函数的精确值)

819213412515846435064355027343755运行结果16384输入命令g2[2.](计算函数的近似值)运行结果0.968614输入命令Plot[g2[x], (x,-6,6]运行结果0.图8(3）输入命令FindRoot[g2[x]==0.95,(x,1,3]](计算上α(α=0.05)分位点）运行结果(x→1.74588)输入命令f2[x]dx（验证上α(α=0.05)分位点）J1.74588运行结果0.0500003输入命令Quantile[aa2,0.95]（用另外一种方式计算上α(α=0.05)分位点）运行结果1.74588输入命令（生成一个参数为16服从1分布的随机数）Random[aa2]运行结果0.0153159输入命令（生成10个参数为16服从1分布的随机数）Table[Random[aa2], (10)]运行结果(0.280652,-0.953869,1.30761,-0.155012,0.329883,1.14431,-0.545801,0.0182482,-0.421925,-139417)输入命令sss2=Table[Random[aa2],(1000)];（生成10个参数为16服从1分布的随机数）Histogram[sss2]（绘制直方图）运行结果4图9例3F分布（1）输入命令Clear[n,m];n=6;m=19;(清除变量赋值，输入参数值）aa3=FRatioDistribution[n,m)（产生一个服从F(6,19)分布的随机变量）（定义其概率密度函数）f3[x ]:=Evaluate[PDF[aa3,x]

运行结果 16384 ) 502734375 5 1341251584 6435 8192 6435( + 输入命令 g2[2.] (计算函数的近似值) 运行结果 0.968614 输入命令 Plot[g2[x],{x,-6,6}] 运行结果 -6 -4 -2 2 4 6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图 8 （3）输入命令 FindRoot[g2[x]==0.95,{x,1,3}] (计算上(=0.05)分位点) 运行结果 {x→1.74588} 输入命令   1.74588 f2[x]dx (验证上(=0.05)分位点) 运行结果 0.0500003 输入命令 Quantile[aa2,0.95] (用另外一种方式计算上(=0.05)分位点) 运行结果 1.74588 输入命令 Random[aa2] (生成一个参数为 16 服从 t 分布的随机数) 运行结果 0.0153159 输入命令 Table[Random[aa2],{10}] (生成 10 个参数为 16 服从 t 分布的随机数) 运行结果 {0.280652,-0.953869,1.30761,-0.155012,0.329883,1.14431,-0.545801,0.0182482,-0.421925,-1. 39417} 输入命令 sss2= Table[Random[aa2],{1000}]; (生成 10 个参数为 16 服从 t 分布的随机数) Histogram[sss2] (绘制直方图) 运行结果 图 9 例 3 F 分布 （1）输入命令 Clear[n,m];n=6;m=19; (清除变量赋值，输入参数值) aa3=FRatioDistribution[n,m] (产生一个服从 F(6,19)分布的随机变量) f3[x_]:=Evaluate[PDF[aa3,x]] (定义其概率密度函数)

f3[9](计算函数的精确值)1964763740405066101273运行结果45804096092980517423042输入命令(计算函数的近似值)f3[9. ]运行结果0.0000721345输入命令Plot[f3[x], (x,0,6]]（绘制概率密度函数的图形）运行结果0.70.60.50.40.30.20:14图10（2）输入命令g3[x]：=Evaluate[CDF[aa3,x]](定义其分布函数）g3[6]（计算函数的精确值）BetaRegularized[36,319运行结果552输入命令g3[6.](计算函数的近似值)运行结果0.998823输入命令Plot[g3[x], (x,0,9]]（绘制分布函数的图形）运行结果I-0.8F0.6F0.40.2图 11（3）输入命令FindRoot[g3[x]==0.95,x,9]（计算上α(α=0.05)分位点）运行结果(x→2.62832)or输入命令f3[x]dx（验证上α(α=0.05)分位点）2.98897运行结果0.03144输入命令（用另外一种方式计算上α(α=0.05)分位点）Quantile[aa3,0.95]运行结果2.62832输入命令Random[aa3](生成一个服从F(16,19)分布的随机数）运行结果1.11255输入命令（生成10个服从F(16,19)分布的随机数）Table[Random[aa3], (10)]

f3[9] (计算函数的精确值) 运行结果 45804096092980517423042 73 19 6476374040506610121 输入命令 f3[9.] (计算函数的近似值) 运行结果 0.0000721345 输入命令 Plot[f3[x],{x,0,6}] (绘制概率密度函数的图形) 运行结果 1 2 3 4 5 6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 图 10 （2）输入命令 g3[x_]：=Evaluate[CDF[aa3,x]] (定义其分布函数) g3[6] (计算函数的精确值) 运行结果 BetaRegularized       2 19 ,3, 55 36 输入命令 g3[6.] (计算函数的近似值) 运行结果 0.998823 输入命令 Plot[g3[x],{x,0,9}] (绘制分布函数的图形) 运行结果 2 4 6 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 图 11 （3）输入命令 FindRoot[g3[x]= =0.95,{x,9}] (计算上(=0.05)分位点) 运行结果 {x→2.62832} 输入命令   2.98897 f3[x]dx (验证上(=0.05)分位点) 运行结果 0.03144 输入命令 Quantile[aa3,0.95] (用另外一种方式计算上(=0.05)分位点) 运行结果 2.62832 输入命令 Random[aa3] (生成一个服从 F(16,19)分布的随机数) 运行结果 1.11255 输入命令 Table[Random[aa3],{10}] (生成 10 个服从 F(16,19)分布的随机数)

运行结果(0.189762,0.676797,0.605096,1.01688,0.805632,0.497809,0.525427,2.06491,1.18826,0.522783子输入命令sss3= Table[Random[aa3],(1000)];(生成1000个服从服从F(16,19)分布的随机数)（绘制直方图）Histogram[sss3]运行结果175 E-150125100 7550252a46图12

运行结果 {0.189762,0.676797,0.605096,1.01688,0.805632,0.497809,0.525427,2.06491,1.18826,0.522783 } 输入命令 sss3= Table[Random[aa3],{1000}]; (生成 1000 个服从服从 F(16,19)分布的随机数) Histogram[sss3] (绘制直方图) 运行结果 2 4 6 8 25 50 75 100 125 150 175 图 12

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