《数值计算》课程教学资源（试卷习题，0903220310）第6章 线性方程组的迭代解法（习题）

第6章线性方程组的迭代解法习题6[9x,-2x +x, =61.用高斯一赛德尔方法解方程组-8xz+,=-8，要求x(k)-x(k-)≤10-2x-x,-8x,=92。 研究用雅可比和高斯一赛德尔选代法解方程组 4x=b 的纹散性， 其中 4-[。 -107[9-43．考察下列方程组的雅可比和高斯一赛德尔迭代公式的x+5x-3x,=2[x +2x, = -1(1)(2)35x-2x +x =43x +x, =22x +x, -5x =-11收敛性，若收敛，试证明；若不收敛，试调整方程的排列顺序使迭代方程收敛(5x) +2x2+x=-12-x+4x2+2=204。方程组|21-3x2+10x3=3（1）考查用雅可比法和高斯一赛德尔法解此方程组的收敛性.(2）写出用雅可比法及高斯一赛德尔法解此方程组的选代公式并以x(0）－（0,0,0)计算到(k+1)<10-4为止.5.设方程组为10[6.2-X108.5-1-2-3.21试用雅可比迭代法与高斯一赛德尔迭代法求解，使得x(k+1)-x(*)<10-36．下列方程组Ax=b，若分别用雅可比法及高斯一赛德尔法求解，是否收敛？- 2]211A=1221

1 第 6 章 线性方程组的迭代解法 习题 6 1． 用高斯—赛德尔方法解方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 9 2 6 8 8 2 8 9 x x x x x x x x x                ，要求 ( ) ( 1) 4 10 k k x x      . 2． 研究用雅可比和高斯—赛德尔迭代法解方程组 Ax b  的敛散性，其中 3 10 9 4 A          . 3． 考察下列方程组的雅可比和高斯—赛德尔迭代公式的 （1） 1 2 1 2 2 1 3 2 x x x x         （2） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 3 2 5 2 4 2 5 11 x x x x x x x x x                收敛性，若收敛，试证明；若不收敛，试调整方程的排列顺序使迭代方程收敛. 4． 方程组 (1) 考查用雅可比法和高斯—赛德尔法解此方程组的收敛性. (2) 写出用雅可比法及高斯—赛德尔法解此方程组的迭代公式并以 计算到 为止. 5. 设方程组为 1 2 3 10 1 1 6.2 1 10 2 8.5 2 1 5 3.2 x x x                          试用雅可比迭代法与高斯—赛德尔迭代法求解，使得 ( 1) ( ) 3 10 k k x x      . 6． 下列方程组 Ax=b，若分别用雅可比法及高斯—赛德尔法求解，是否收敛?

[100α107.设A=βBdet（A）≠0，用α，β表示解方程组Ax=b的雅可比法及高斯LoαsS一赛德尔法收敛的充分必要条件8.给定方程组4324303404-24-1精确解x=(3,4,-5)，用SOR法求解，分别取の=1及の=1.25[4x1-=1x+4x2-x-49.用SOR方法解方程组（分别取の=1.03，0=1，①=1.1)（-*2+4x=-3，精确解=(,1-，要求当x-25x10~时选代终止，并对每一个の值确定选代22次数(取x(0)=(0,0,0))(430)b=(24 30-24)3410.方程组Ax=b，其中A=(o -1 41）求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度；2）求雅可比法与高斯一赛德尔法的渐近收敛速度3）若要使误差满足e(k)<10-7Ile(0）Il，那么雅可比法、高斯一赛德尔法和SOR法（の=1.25）各需选代多少次？2

2 7． 设 10 0 10 0 5 A            ，det（A）≠0，用 ,  表示解方程组 Ax b  的雅可比法及高斯 —赛德尔法收敛的充分必要条件. 8．给定方程组 1 2 3 4 3 0 24 3 4 1 30 0 1 4 24 x x x                       精确解 * (3, 4, 5)T x   . 用 SOR 法求解，分别取 1及 1.25. 9. 用 SOR 方法解方程组(分别取 1.03， 1， 1.1) ，精确 解 * 1 1 ( ,1, ) 2 2 T x   ，要求当 * ( ) 6 5 10 k x x      时迭代终止，并对每一个 值确定迭代 次数(取 (0) (0, 0, 0)T x  ). 10．方程组 Ax b  ，其中 4 3 0 3 4 1 0 1 4 A          , 24 30 24 T b   . 1) 求出 SOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度; 2) 求雅可比法与高斯—赛德尔法的渐近收敛速度. 3) 若要使误差满足 ( ) 7 (0) 10 || || k e e    ，那么雅可比法、高斯—赛德尔法和 SOR 法( 1.25)各需迭代多少次?