《数值计算》课程教学课件（讲稿）第3章 拟合与逼近（3/3）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第三章拟合与逼近第一节问题的提出第二节曲线拟合的最小二乘法第三节最佳平方逼近上页下页返园

上页 下页 返回 第三章 拟合与逼近 第一节 问题的提出 第二节 曲线拟合的最小二乘法 第三节 最佳平方逼近

83最佳平方逼近五、最佳平方逼近及其计算1.平方逼近采用 Il f(x)- p(x) 呢= (p(x)[f(x)-p(x)}°dx作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。2.函数系的线性关系若函数P(x),(x),",,(x)，在区间[a,b]上连续如果关系式 aop(x)+a,p(x)+a2P2(x)+...+anP,(x)=0当且仅当 a=a =a,=…=an=0 时才成立,则称函数P(x),i(x),,P(x）在[a,b]上是线性无关的,上页否则称线性相关。下页返圆

上页 下页 返回 五、最佳平方逼近及其计算 §3 最佳平方逼近 1.平方逼近 采用 f x p x x f x p x dx b a    2 2 2 || ( ) ( )|| ( )[ ( ) ( )] 作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼 近或均方逼近。 2．函数系的线性关系 若函数 0 (x),1 (x), ,n (x) ,在区间[a, b]上连续, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 如果关系式 a0 0 x  a1 1 x  a2 2 x  an n x  0 当且仅当 a0  a1  a2  an  时才成立, ( ), ( ), , ( ) 0 1 x x x 则称函数    n 在[a, b]上是线性无关的, 否则称线性相关

定理连续函数在[a,bl上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式G,±0，其中(Po,P)(Po,P)...(Po, Pn)(P1,Po)(P1,P)... (Pi,Pn)G, =G,(Po,Pi,..",Pn)=(Pn, Po) (Pn,P)... (Pn,Pn)3．广义多项式设函数系?(x),?.(x),..,(x,...线性无关则其有限项的线性组合nZS(x)=a;p;(x)上页j=0称为广义多项式下页返园

上页 下页 返回 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 n n n n n n Gn Gn n                             定理 连续函数在[a, b]上线性无关的充分必要条件是 它们的克莱姆(Gram)行列式Gn  0， 其中 3．广义多项式 设函数系 0 (x),1 (x), ,n (x), 线性无关， ( ) ( ) 0 S x a j x n j  j    则其有限项的线性组合 称为广义多项式

4.最佳平方逼近定义对于给定的函数f(x)EC[a,b]，若n次多项式1S(a)=2aixij=0满足关系式('[f(x) - S*(x)'dx = min ("[f(x)- S(x)}°dxs(x)P则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的n次最佳平方逼近多项式。更一般的，有下面的定义：定义 对于给定的函数 f(x)EC[a,b] 如果存在S*(x) e Φ = Span(o, Pi, *" n)使, p(x)[f(x) -S*(x)° dx = min J p(x)[f(x) - S(x)}"dxS(x)EΦ上页则称S*(x)为f(x)在区间[a,b]上的最佳平方逼近函数。下页返圆

上页 下页 返回 4.最佳平方逼近 定义 对于给定的函数 f (x)C[a, b] ， j n j S x aj x   0 * * ( ) 满足关系式 f x S x dx f x S x dx b s x P a b a n       2 ( ) * 2 [ ( ) ( )] min [ ( ) ( )] 则称S * (x)为f(x)在区间[a, b]上的n次最佳平方逼近多项式。 若n 次多项式 定义 对于给定的函数 f (x)C[a, b] 如果存在 ( ) { , , , } 0 1 * S x   Span    n 使 x f x S x dx x f x S x dx b S x a b a 2 ( ) * 2 ( )[ ( ) ( )] min ( )[ ( ) ( )]          则称S * (x)为f (x)在区间[a, b]上的最佳平方逼近函数。 更一般的，有下面的定义：

求最佳平方逼近函数 S(x)=a·,(x)的问题,使多元函数可归结为求它的系数a,ai，…,a,nI(ao, a1, , a,)= I" p(x)[f(x)-Za,;g;(x)'dxj=0取得极小值。a,的二次函数，I (ao, aj,..., an)是关于ao,ai, ..., (利用多元函数取得极值的必要条件，al=0(k = 0, 1, 2, ..., n)Oakal1=2]' p(x)[f(x)-Za;g;(x)[-9k(x)]dx = 0dakj=0Za, J" p(x)P(x)9;(x)dx=I" p(x)(x)k(x)dx,得上页j=0下页(k = 0, 1, 2, ..., n返圆

上页 下页 返回 求最佳平方逼近函数 ( ) ( ) 的问题, 0 * * S x a j x n j   j   I a a a x f x a j x dx n j j b a n 2 0 0 1 ( , , , ) ( )[ ( )   ( )]      取得极小值。 I (a0 , a1 , .，an ) 是关于a0 , a1 , .，an的二次函数， * * 1 * 0 , , , 可归结为求它的系数 a a  an 使多元函数 利用多元函数取得极值的必要条件，  0   k a I (k = 0, 1, 2, ., n) 2 ( )[ ( ) ( )][ ( )] 0 0         x f x a x x dx a I j k n j j b a k    得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 a x x x dx x f x k x dx b a k j b a n j j           (k  0, 1, 2,  , n)

如采用函数内积记号(Pk,P,)= fp(x)Pr(x)p,;(x)dx,(f, Pk)= f" p(x)f(x)Pr(x)dx,方程组可以简写为Z(Pr,P,)a, =(f,Pk)(k = 0, 1, 2, ..., n)j=0写成矩阵形式为((f,Φ)(a(Po,Po)(Po,)... (Po,Pn)(f,Φ)(Po1,Po)(P1,)... (P1,n)a,-上页下页((f,n)(Pn,Po)(Pn,P)... (Pn,Pn)(an)返圆

上页 下页 返回 如采用函数内积记号 ( , ) (x) (x) (x)dx, k j b a k  j      方程组可以简写为 ( , ) ( , ) ( 0, 1, 2, , ) 0 j aj f k k n n j  k        ( f , ) (x)f (x) (x)dx, k q a k     写成矩阵形式为                                            ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 n n n n n n n n f f f a a a                           

由于Po,1,……，Pn线性无关，故G,≠0，于是上述方程组存在唯一解：(k = 0, 1, .., n)ak=ak从而得到 S(x)=ajg;(x)i=0可以证明，上述S*(x）一定是最佳平方逼近函数。若令(）f(）一S（），则平方误差为8()(f(r)"(),f()-S*))(f(x),f(r))(s"(x),f(α)) f()lZai ((),f())6上页下页返圆

上页 下页 返回 由于0 , 1 , ., n线性无关， ( 0, 1, , ) * ak  ak k   n 从而得到 ( ) ( ) 0 * * S x a j x n j  j    可以证明，上述 S*(x) 一定是最佳平方逼近函数。 于是上述方程组存在唯一解： 故Gn  0

若取9（）=o(r）l，f(r)ECLo1则要在Hn中，求n次最佳平方逼近多项式S'(r)ao+air+..+arr"1此时（（r），（））idk+i+1(f(a),(α)）f()dz=d若用H表示G，G（1，工，*，元）对应的矩阵，1/211/(n+1)1/21/31/(n→2)H=....(1/(n+1）1/(n+2)1/(2n+1).+-称为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记 a=(ao,a,...,a,), d=(do,d,.,d,),上页下页则Ha=d的解a=ak=(O,l,…，n)即为所求返圆

上页 下页 返回 则要在Hn中，求n次最佳平方逼近多项式 此时 则 Ha  d , , , , 0 1 T a （a a  an ） , , , , 0 1 T 记 d （d d  dn ） (0 1 ) . 的解ak  ak * k  ，，n 即为所求

例求f(x)=x4 (xe[-1,1)在空间 =spanl，x，x2}上的最佳平方逼近多项式，并给出平方误差解设欲求多项式s*(x)=a+ax+azx，则0,k+j为偶数11.k+j+12k+idx(p;(x), P(x)=Yk+j为奇数-1k+j+1k+j+10,k为奇数2d =(f(x), (x)= [,xk+4dx=k为偶数k+5解方程组Ha=d上页下页返回

上页 下页 返回   . ( ) ( [ ]) 最佳平方逼近多项式， 并给出平方误差 例1 求 f x  x 4 x  1，1 在空间   span 1，x，x 2 上的 解 设欲求多项式S * (x)  a0  a1 x  a2 x 2 ，则 , , 1 2 0 , 1 1 1 1 ( ( ) ( ) ) d 1 1 1                     为奇数 为偶数 ， k j k j k j x k j x x x x k j k j  j  k . , 5 2 0 ( ( ) ( )) d 1 1 4          为偶数 ， 为奇数 ， ＝ k k k d f x x x x k k  k 解方程组 Ha  d