《数值计算》课程教学课件（讲稿）第2章 插值法（2/5）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第二章插值法第一节问题的提出第二节拉格朗日插值第三节牛顿插值第四节埃尔米特插值第五节分段低次插值第六节三次样条插值上页下页返园

上页 下页 返回 第二章 插值法 第一节 问题的提出 第二节 拉格朗日插值 第三节 牛顿插值 第四节 埃尔米特插值 第五节 分段低次插值 第六节 三次样条插值

83牛顿插值我们知道，Lagrange插值多项式的插值基函数为n(x-x,)1,(x)-IIj =0,1,2,..,n(x, -x,)i=0ij形式上太复杂，计算量很大，并且重复计算也很多。由线性代数的知识可知，任何一个n次多项式都可以表示成：1, x-xo, (x-x)(x-x), ., (x-xo)(x-x)...(x-xn-1)共n+1个多项式的线性组合。上页那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？下页返回

上页 下页 返回 §3 牛顿插值 l (x) j       n i j i j i i x x x x 0 ( ) ( ) j  0,1,2,  ,n 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多。 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成 ： 1, , x  x0 ( )( ), x  x0 x  x1 ( )( ) ( ) x  x0 x  x1  x  xn1  , 共n+1个多项式的线性组合。 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？

显然，多项式组1, x-xo, (x-x)(x-x), .., (x-x(x-x)...(x-xn-)线性无关，因此，可以作为插值基函数。设插值节点为x，，函数值为f，i=0,l,,nh = max hh, = Xi+1 -x; ,i = 0,1,2,...,n-1i插值条件为P(x)=f.,i=0,l,,n设插值多项式P(x）具有如下形式P(x)=a, +a(x-x)+az(x-x)(x-x)+...上页+a,(x-x(x-x)...(x-xn-))下页返园

上页 下页 返回 1, , x  x0 ( )( ), x  x0 x  x1 ( )( ) ( ) x  x0 x  x1  x  xn1  , 显然，多项式组 线性无关，因此，可以作为插值基函数。 , 设插值节点为 xi 函数值为 fi , i  0,1,  ,n hi  xi1  xi , i  0,1,2,  ,n 1 i i h  max h 插值条件为 P(xi )  fi , i  0,1,  ,n ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 1 1 0 1 0 2 0 1             an x x x x x xn P x a a x x a x x x x   设插值多项式 P(x)具有如下形式

P(x)应满足插值条件P(x)=f;,i=0,1,.,n有P(x)= fo=aoa=f.fi-f.P(x)= fi =ao +a;(x; -x)三a,:x,-xoP(x,)= f, =ao +a(x2 -xo)+az(x, -xo)(x -x)fz-f。fi-foX-xo Xi-xoaz=X2-Xi再继续下去待定系数的形式将更复杂上页下页为此引入差商（均差）的概念返回

上页 下页 返回 P(x)应满足插值条件 0 0 0 有 P(x )  f  a ( ) ( ) 1 1 a0 a1 x1 x0 P x  f    0 0 a  f 1 0 1 0 1 x x f f a    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a0 a1 x2 x0 a2 x2 x0 x2 x1 P x  f       2 1 1 0 1 0 2 0 2 0 2 x x x x f f x x f f a        再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商 (均差)的概念 P(xi )  fi , i  0,1,  ,n

一、均差及其性质定义1.设f(x)在互异的节点x,处的函数值为f,i=0,1,.,n称fi-fif[x,x,]=(ij)x,-x;为f(x)关于节点x;，x,一阶差商均差)f[x;,x,]-f[x,,x,]f[x;,X,,x,]=(i±j+k)Xk-Xj为f(x)关于x,x,,x,的二阶差商上页依此类推下页返圆

上页 下页 返回 定义1. 设f (x)在互异的节点xi 处的函数值为 fi ,i  0,1,  ,n 称 [ , ] (i j) x x f f f x x i j i j i j     为 ( )关于节点 , 一阶差商(均差) x xi xj f ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i j k x x f x x f x x f x x x k j i k i j i j k      为f (x)关于xi , xj , xk 的二阶差商 依此类推 一、均差及其性质

f[x,,X,,",Xi- I-f[Xi,,Xi,,"",Xix-,,Xixf[x,Xi,,",Xi-,X, ]=Xir-- -Xi为f(x)关于节点x,,x,，",xi,x,的k阶差商显然f[Xo,Xi,.",Xk-1]- f[xo,Xi,..., Xk-2,Xh]f[xo,Xi,."",Xk-,x,]=Xk-1 -Xk上页下页返园

上页 下页 返回 [ , , , , ] 0 1 k 1 k x i x i x i x i f   为f (x)关于节点xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik 的 k阶差商 [ , , , , ] x 0 x 1 x k 1 x k f   显然 k k k k k i i i i i i i i i x x f x x x f x x x x       1 0 1 1 0 1 2 [ , ,, ] [ , ,, , ] k k k k k x x f x x x f x x x x       1 0 1 1 0 1 2 [ , ,, ] [ , ,, , ]

差商具有如下性质：(1）f(x)的k阶差商f[xo,Xi,,xk-1,x,]可由函数值f(xo),f(x).f(x)的线性组合表示且f[xo,Xi,""",Xk-1,X]f(x;)- - - --(2)差商具有对称性，即任意调换节点的次序，差商的值不变f[xo,xi,x2] = f[xo,x2,x = f[x2,Xi,xo]如上页下页返回

上页 下页 返回 差商具有如下性质： 的线性组合表示且 的 阶差商 可由函数值 ( ), ( ), , ( ) , (1) ( ) [ , , , , ] 0 1 0 1 1 k k k f x f x f x f x k f x x x x    [ , , , , ] x0 x1 xk 1 xk f           k i i i i i i i k i x x x x x x x x f x 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   (2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 [ , , ] x0 x1 x2 f [ , , ] x0 x2 x1  f [ , , ] x2 x1 x0 如  f

由性质1和性质2，可得：[xo,X, Xk- x] = fxo,X,-- fx,+,x]Xo-Xk(3)当f(k)(x)在包含节点xo,Xj,,x,的区间存在时在x,X,,x,之间必存在一点,使得用余项的相等证明I[xo,x, x = ((5)k!上页下页返园

上页 下页 返回 (3) ( ) , , , , 0 1 当f （k) x 在包含节点x x  xk 的区间存在时 在x0 , x1 ,  , xk 之间必存在一点 ,使 得 [ , , , ] x0 x1 xk f  用余项的 相等证明 ! ( ) ( ) k f k   [ , , , , ] x0 x1 xk 1 xk f   由性质1和性质2，可得： k k k x x f x x x f x x x     0 0 1 1 1 2 [ , ,, ] [ , ,, ]

差商的计算方法（表格法）：差商表阶差商二阶差商三阶差商四阶差商f(xk)Xkf(xo)Xof[xo,x]f[xo,X1,x2]f(x)xf[xo,X1,X2,X]f[x,x]f(x2)f[xo,x,.",x]X2f[xXx]f[x2,xg]f[x,x2,X,x]f(xg)X3f[x2,X3,x4]f[x3,x]f(x)X4上页下页规定函数值为零阶差商返园

上页 下页 返回 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 3 3 2 2 1 1 0 0 x f x x f x x f x x f x x f x x f x k k 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 差商的计算方法(表格法): [ , ] 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 3 4 f x x [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 2 3 4 f x x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ] 1 2 3 4 f x x x x [ , , , ] 0 1 4 f x x  x 规定函数值为零阶差商 差商表