《数值计算》课程教学课件（讲稿）第3章 拟合与逼近（2/3）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第三章拟合与逼近第一节问题的提出第二节曲线拟合的最小二乘法第三节最佳平方逼近上页下页返园

上页 下页 返回 第三章 拟合与逼近 第一节 问题的提出 第二节 曲线拟合的最小二乘法 第三节 最佳平方逼近

83最佳平方逼近从离散点的最小二乘曲线拟合，可以很自然的过渡到连续函数的最佳平方逼近．先介绍正交多项式的概念一、正交函数族与正交多项式定义: 若 f(x),g(x)eC[a,b] ， p(x)为 [a,b]上的权函数且满足(f(x),g(x) = (p(x)f(x)g(x)dx =0则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权p(x)正交若函数族 P (x),(x),,P,(x),..满足关系:0jk(g,(x),P(x))= f~ p(x)p,(x)P (x)dx =A>0 j=k则称 (;(x)是[a,b]上带权p(x)正交函数族上页下页若Ak=1，则称之为标准正交函数族。返圆

上页 下页 返回 一、正交函数族与正交多项式 从离散点的最小二乘曲线拟合，可以很自然的过渡到连续 §3 最佳平方逼近 定义：若 ， 为 上的 权函数且满足 f x g x C a b ( ), ( ) [ , ]  ( ) x [ , ] a b  ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 0  b a f x g x x f x g x dx     则称 f x( ) 与 g x( ) 在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交。   0 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b j k j k a k j k x x x x x dx A j k               若函数族 满足关系： 0 1 ( ), ( ), , ( ), n    x x x 则称 k ( ) x  是 [ , ] a b 上带权 ( ) x 正交函数族 若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数族。 函数的最佳平方逼近. 先介绍正交多项式的概念

例：三角函数族l,cosx,sinx,..,cosnx,sinnx,...在区间「一元，元上是正交函数族。定义：设Pn(α）是[a,bl上首项系数an±0的n次多项式，p(x)为[a,b] 上的权函数,如果多项式序列1P,(x)0满足关系式j+k(0, 0)-(4≥0 -k则称多项式序列(,(x)/在[a,b止带权p(x)正交。称Pn(x)为区间[a,bl上带权p(x)的n 次正交多项式上页下页返圆

上页 下页 返回 [ , ]   例:三角函数族 1,cos ,sin , ,cos ,sin , x x nx nx 在区间 上是正交函数族。 定义：设 是 上首项系数 的 次 多项式， 为 上的权函数， ( ) n  x [ , ] a b 0 n a  n ( ) x [ , ] a b 如果多项式序列 n ( ) x i 0 满足关系式     0 , 0 j k k j k A j k          则称多项式序列 n ( ) x i 0 在 上带权 正交。   [ , ] a b ( ) x 称 n ( ) x 为区间 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的 n 次正交多项式

只要给定了区间[a,b]及权函数p(x)，均可由一族线性无关的函数{1,x,x2通过正交化的方法得到正交多项式序列(,(x)(x",p,(x))0-1 -0-P, (a)(n =1,2, )例如：设(x)=x+C，由(91,)=0，得：C,=-(b+a);2设2(x)=x +C,x+C3, 由(P2,P) = 0,(P2,P) = 0,可解得C2、C3.上页下页返圆

上页 下页 返回 1 0 0 ( , ( )) ( ) 1; ( ) ( ) ( ( ), ( )) n n n j n j j j j x x x x x x x x            ( 1,2, ) n  只要给定了区间 [ , ] a b 及权函数 ( ) x ， 2 均可由一族线性无关的函数 {1, , , } x x ，   0 ( ) n i  x  通过正交化的方法得到正交多项式序列  ( ); 2 1 例如：设1 (x)  x  c1 ， 由(1 ,0 )  0，得：c1   b  a . ( ) ( , ) 0 ( , ) 0 2 3 2 3 2 0 2 1 2 2 c c x x c x c 可解得 、 设    ， 由   ，  

这样得到的正交多项式序列有以下性质：(1) n(x)是最高次系数为1的 n 次多项式;(2)任何 n次多项式P(x)均可表示为：的线性组合Po(x),(x),,Pn(x),(3) 当 kj时,(p,(x),P(x)=0,且pk(x) 与任一次数小于k的多项式正交。(4）成立递推关系Pn+I(x)=(x-αn)p,(x)-β,Pn-I(x) (n=0,1, ..)其中:Po(x) =1, β-i(x)= 0,上页下页返圆

上页 下页 返回 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1, ) n n n n n      x x x x n       0 1   ( ) 1, ( ) 0, x x    其中： 这样得到的正交多项式序列有以下性质： ( ) n (1)  x 是最高次系数为1的 n 次多项式； k j  ( ( ), ( )) 0 j k   x x  ( ) k  x k (3) 当 时， ,且 与任一次 数小于 的多项式正交。 (4) 成立递推关系 0 1 ( ), ( ), , ( ), n    x x x n ( ) (2) 任何 次多项式 P x n 均可表示为： 的线性组合

α, =(xp,(x),P,(x)) /(,(x),Pn(x))β, =(P,(x),P,(x))/(Pn-1(x),Pn-1(x), (n =1,2, ...)这里 (xp,(x),P,(x)= ( xp(x)p,(x)dx(5）设(g,(x)~,是在[a,b]上带权p(x)的正交多项式序列,则,g,(x)(n≥1) 的 n 个根都是在区间 (a,b)内的单重实根。下面给出几种常见的正交多项式。上页下页返圆

上页 下页 返回 ( ( ), ( )) /( ( ), ( )), n n n n n       x x x x x 1 1 ( ( ), ( )) /( ( ), ( )), ( 1,2, ) n n n n n      x x x x n     下面给出几种常见的正交多项式。   2 ( ), ( ) ( ) ( ) b n n n a x x x x x x dx      这里    0 ( ) n i  x   (5) 设 是在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的正交多项式序列， n ( ) ( 1) ( , ) a b n 则  x n  的 个根都是在区间 内的单重 实根

二、勒让德多项式当区间为一1，1权函数）1时，由1，，，，正交化得到的多项式就称为勒让德（Legendre）多项式，并用P。（r），P（），**，P，（），***表示，这是勒让德于1785年引进的，1814年罗德利克（Rodrigul）给出了简单的表达式1dnP.(r)m1,P.(r)((r21)")2"n!dr"(n1,2,..),由于（1）*是2n次多项式，求n阶导数后得1P(I)(2n)(2n-1).(n+1)x"+an-ir1+.*+ae2"n!(2n)!上页P,(x)的首项x"的系数为：a,=2"(n!)2下页返园

上页 下页 返回 二、勒让德多项式 2 2 ( !) (2 )! ( ) n n P x x an n n n 的首项 的系数为： 

最高项的系数若为，则勒让德多项式为dnn!P,(x) =[(x2-1)"](2n)! dx"勒让德多项式有以下个重要性质：0,mn; P,(x)Pm(x)d(x) =2性质1：正交性m=n.2n+1性质2：奇偶性P,(-x) =(-1)"P,(x)性质3：递推关系(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xP,(x)-nPn-1(x)性质4：P,(x)在区间-1,1]内有n个不同的实零点上页下页返圆

上页 下页 返回 勒让德多项式有以下几个重要性质： 最高项 的系数若为1，则勒让德多项式为: n x [( 1) ] d d (2 )! ! ( ) ~ 2 n n n n x n x n P x            1 1 , . 2 1 2 0, ; 1 ( ) ( )d( ) m n n m n 性 质 ：正交性 Pn x Pm x x 2 P ( x) ( 1) P (x) n n 性质 ：奇偶性 n    3 ( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) 性 质 ：递推关系 n  Pn1 x  n  x Pn x  nPn1 x 性 质4：P (x)在区间[ 1，1]内 有n个不同的实零点. n 

常用的勒让德多项式：P(x)=1P(x)= xP(x)=(3x2 -1)/2P(x)=(5x3 -3x)/ 2P(x)=(35x4 - 30x2 +3) /8P(x) = (63x5 - 70x3 +15x)/8P(x)=(231x -351x4 +105x2 -5)/16上页下页返园

上页 下页 返回 0 P x( ) 1  1 P x x ( )  2 2 P x x ( ) (3 1) / 2   3 3 P x x x ( ) (5 3 ) / 2   4 2 4 P x x x ( ) (35 30 3) /8    5 3 5 P x x x x ( ) (63 70 15 ) /8    642 6 P x x x x ( ) (231 351 105 5) /16     常用的勒让德多项式：