《数值计算》课程教学课件（讲稿）第7章 非线性方程求根的数值解法

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第七章非线性方程求根的数值解法第一节问题的提出第二节二分法第三节不动点选代法第四节牛顿法第五节弦截法上页下页返回

上页 下页 返回 第二节 二分法 第七章 非线性方程求根的数值解法 第三节 不动点迭代法 第四节 牛顿法 第五节 弦截法 第一节 问题的提出

81问题的提出非线性现象广泛存在于物质世界与社会生活中，很多实际问题都转化成非线性方程或方程组的求解问题。我们看一个例子。在天体力学中，有开普勒（Kepler）方程x-t-sinx=0,0<ε<1其中t表示时间，x表示弧度，行星运动的轨道x是t的函数，对每个时刻t，开普勒方程有唯一x与之对应。在这一章我们主要讨论单变量非线性方程f(x)=0上页的求根问题，这里 xER,f(x)EC[a,b])下页返圆

上页 下页 返回 §1 问题的提出 非线性现象广泛存在于物质世界与社会生活中， 很多实际问题都转化成非线性方程或方程组的求解问题。 我们看一个例子。 在天体力学中，有开普勒（Kepler）方程 x t x        sin 0,0 1 其中t表示时间，x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数. 对每个时刻t，开普勒方程有唯一 x 与之对应。 在这一章我们主要讨论单变量非线性方程 f x( ) 0  的求根问题， 这里 x f x C a b   R, ( ) [ , ]

求方程f(x)=0 的根原理：若feC[a,b]，且f(a)·f(b)<0，则f在(a,b)上必有一根。1、图解法给出y=f(x)草图，以确定根的大概位置。2、试验法适当取一些数据来试验，搜索出符号改变的小区间，即满足f(a)f(b)<0的小区间上页下页返圆

上页 下页 返回 求方程 f (x) = 0 的根 原理：若 f C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必 有一根。 1、图解法 给出 y＝f (x) 草图，以确定根的大概位置。 2、试验法 适当取一些数据来试验，搜索出符号 改变的小区间，即满足 f (ak )·f (bk ) < 0 的小区间

82二分法α1中华ab[f(x)]<&2Xk+1-X<81或不能保证x的精度82x上页下页返圆

上页 下页 返回 a b x1 x2 a b 1 1 x x ε k  k  2 或 f (x)  ε 不能保证x 的精 度 x*  2 x* x §2 二分法

误差分析：a+bb-a有误差-第1步产生的X=22b-a第k步产生的有误差-*≤2h对于给定的精度ε，可估计二分法所需的步数k：k > [n(b-a)-ine]b-a<8L2kIn2①简单；②对f(）要求不高（只要连续即可）①无法求复根及偶重根②收敛慢注：用二分法求根，最好先给出f（x）草图以确定根的大概位置。上页下页返回

上页 下页 返回 误差 分析： 第1步产生的 2 1 a b x   有误差 2 1 b a |x x*|    第 k 步产生的 xk 有误差 k k b a |x x*| 2    对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数k ：     l n2 l n l n 2 b a ε ε k b a k       ①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢 注：用二分法求根，最好先给出f (x) 草图以确 定根的大概位置

83不动点选代法一、不动点迭代法等价变换f (x) = 0x=g (x)g (x) 的不动点f(x) =0的根从一个初值xo出发，计算xi=g(xo),xz=g(xi),.…,思路I=.g(x)…若（x。收敛，即存在*使得limxk=x*，且g连续，则由limxXk+1=limg(xk）可k->00k-80知x*=g(x*），即x*是g的不动点，也就是f=0的根。上页下页返圆

上页 下页 返回 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) ＝0的根 g (x) 的不动点 思 路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0 ), x2 = g(x1 ), ., xk+1 = g(xk ), . 若 收敛，即存在x* 使得 ，且 g 连续，则由 可 知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f ＝0的根。    k k0 x limx x* k k     k k k k x g x    lim 1  lim §3 不动点迭代法 一、不动点迭代法

JyJ=xy=xPoPiy=g(x)--Po-----y=g(x)1---P1..------......--1V---1--1-----1-xX1*七*XiXoXiXoyyJ=xJ=Xy=g(x)y=g(x)PoXPoX11-Pi11-7Pi1--.---.-----------上页1-----1...11LxX下页七*七*XiXoXoXi返圆

上页 下页 返回 x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g (x ) y=g (x ) y=g (x ) y=g (x ) x 0 p 0 x 1 p 1  x 0p 0 x 1p 1  x 0p 0 x 1p 1  x 0 p 0 x 1p 1 

例1.用选代法求解方程x3一x一1=0(1)将原方程化为等价方程解：x=2x3 -1如果取初值x。=0,由迭代法3),得x =2x -1=-1X2 = 2xi -1=-3Xg = 2xz -1 = -55显然迭代法发散上页下页返回

上页 下页 返回 例1. 2 1 0 3 用迭代法求解方程 x  x   解: 2 1 3 x  x  (1) 将原方程化为等价方程 如果取初值x0  0,由迭代法(3),得 2 1 3 x1  x0   1 2 1 3 x2  x1   3 2 1 3 x3  x2   55  显然迭代法发散

x+1(2)如果将原方程化为等价方程x=2仍取初值Xo=01X+1~0.793733二X=221.7937Xi+1~ 0.964433X222x2 = 0.9644依此类推,得同样的方程x3 = 0.9940不同的选代格式x4 = 0.9990有不同的结果x5 = 0.9998x6 = 1.0000选迭代函数的构造有关x7 = 1.0000页什么形式的迭代法已经收敛，故原方程的解为页能够收敛呢？回x = 1.0000

上页 下页 返回 3 2  1  x (2) 如果将原方程化为等价方程 x x0  0 3 0 1 2  1  x x 仍取初值 3 2 1   0.7937 3 1 2 2 1  x x 3 2 1.7937   0.9644 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 依此类推,得 已经收敛,故原方程的解为 x  1.0000 同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 什么形式的迭代法 能够收敛呢? 迭代函数的构造有关