《数值计算》课程教学课件（讲稿）第5章 线性方程组的直接解法（2/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第五章线性方程组的直接解法81问题的提出S2高斯消去法S3矩阵的三角分解法84三对角方程组的解法S5向量和矩阵的范数86方程组的性态与误差分析上页下页返圆

上页 下页 返回 §1 问题的提出 第五章 线性方程组的直接解法 §3 矩阵的三角分解法 §4 三对角方程组的解法 §5 向量和矩阵的范数 §6 方程组的性态与误差分析 §2 高斯消去法

85向量和矩阵的范数二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的"长度"能否定义呢？"范数"是对向量和矩阵的一种度量，实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广数域：数的集合，对加法和乘法封闭线性空间：可简化为向量的集合，对向量的加法和数量乘法封闭，上页也称为向量空间下页返回

上页 下页 返回 "范数"是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的"长度"能否定义呢? 也称为向量空间 §5 向量和矩阵的范数

>向量范数定义Rn空间的向量范数I·Il对任意x,E R"满足下列条件：(1)Ⅱx≥0;Ⅱ=0 台=0（正定性)(2) lαx=α}Ixll 对任意αC (齐次性)(3）+≤（三角不等式）常用向量范数：x=zxZIxxXXiliml xIl,= I x Il。注：XmaxXiISiSn上页下页返圆

上页 下页 返回  向量范数 定义 Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： n x y  R   , (1) || || 0 ; || || 0 0     x  x   x  （正定性) (2) || x || | | || x ||       对任意  C (齐次性) (3) || x y || || x || || y ||        （三角不等式) 常用向量范数：    n i x xi 1 1 || || | |    n i i x x 1 2 2 || || | |  p n i p x p x i 1 / 1 || ||   | |   || || max | | 1 i i n x x      注：   lim|| x ||  || x || p p  

例1.求下列向量的各种常用范数x =(1,4,3,-1)1解：x,=x|+x2|+x3|+x4=9Ix=([x +|x2 +x3 +x4= /27 = 3/3x; = 4xl = max1<i<4上页下页返回

上页 下页 返回 例1.求下列向量的各种常用范数 T x  (1,4,3,1) 解: 1 x  x1  x2  x3  x4  9 2 x 2 2 1 4 2 3 2 2 2 1  ( x  x  x  x )  27  3 3  x i i x 1 4 max     4

定义向量序列(x收敛于向量x提指对每一个1≤i≤n都limx(k)=x;。 可以理解为 x(k)x*l→0有 k→00定义若存在常数C>0使得对任意R"有xL≤Cx则称范数Ⅱ·比范数Ⅱ·B强。定义若范数Ⅱ·比Ⅱ·B强，同时·比Ⅱ·儿强，即存在常数C、C,>0 使得 C,IxlB≤xIL≤B，则称I ·IL和I·IlB等价。可以理解为对任何向量范数都成立。定理Rn上一切范数都等价上页下页返圆

上页 下页 返回 定义 向量序列 收敛于向量 是指对每一个1  i  n 都 有 。 { } (k ) x  x*  ( ) * lim i k i k x  x  可以理解为 || * || 0 x (k )  x    定义 若存在常数C > 0 使得对任意 有 , 则 称范数 || · ||A 比范数 || · ||B 强。 n x R  A B || x || C || x ||    定义 若范数 || · ||A 比|| · ||B 强，同时|| · ||B 也比|| · ||A 强，即存 在常数 C1、C2 > 0 使得 ，则称 || · ||A 和 || · ||B 等价。 B A B C || x || || x || C || x || 1 2      定理 Rn 上一切范数都等价。 可以理解为对任何 向量范数都成立

>矩阵范数定义Rnxn空间的矩阵范数·对任意A. BER满足(I) Il Al≥0; IA=0 台 A=0（正定性)(2) IlαAll=α}Il All 对任意αeC (齐次性)(3)A+B≤IAI+IB（三角不等式)(4)＊AB≤ⅡAⅡ·ⅡBⅡ(相容)上页下页返圆

上页 下页 返回 定义 Rnn空间的矩阵范数|| · || 对任意 满足： n n A B R  ,  (1) || A||  0; || A||  0  A 0 （正定性) (2) || A|| | ||| A|| 对任意  C (齐次性) (3) || A B|| || A||  || B|| （三角不等式) (4)* || AB ||  || A || · || B || （相容）  矩阵范数

anaina12azna21(22A=常用矩阵范数：anan2..an)含含1a,P一向量1-1l的直接推广Frobenius范数II AIIF=对方阵AeRx"以及xR"有AXl2≤lAlE·lxll2算子范数由向量范数·lp导出关于矩阵AERnxn的p范数：则 ILABII,≤II AII, IBIpII Ax I pII All,=max群4例的最大,≤IAl,IIx,X+0IxI,特征根Il A ll.=max特别有：1≤iSni=lWII A II,= max（列和范数）l≤jSni=l上页下页Il All2= /amax(A'A)（谱范数）返圆

上页 下页 返回 常用矩阵范数： Frobenius 范数    n i n j A F aij 1 1 2 || || | | — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 A R nn 以及 x R n 有  2 2 || Ax || || A|| || x || F     算子范数 由向量范数|| · ||p 导出关于矩阵 A  Rnn 的 p 范数: p p p x Ax A x || || || || || || max 0       则 p p p p p p Ax A x AB A B || || || || || || || || || || || ||     特别有：      n j A aij i n 1 || || max | | 1 （行和范数）     n i A aij j n 1 1 || || max | | 1 （列和范数） || || ( ) A 2 max A A T   （谱范数 ） 矩阵 ATA 的最大 特征根                n n n n n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 p x Ax p max || || | | | | 1    

例2．求矩阵A的各种常用范数03203ZA=max= max[3,4,2) = 4-.aij解：181≤i≤3j=13Z= max[2,5,2] = 5maxA=ai1≤j≤3i=1Al,= /amax (AT A)由于上页下页返回

上页 下页 返回 例2. 求矩阵A的各种常用范数              0 1 1 1 2 1 1 2 0 A 解: 1 A     3 1 1 3 max i ij j a 2 5 2 3 4 2  max{2,5,2}  A     3 1 1 3 max j ij i a  max{3,4,2} 2 A ( ) max A A T 由于    4  5

因此先求ATA的特征值022001ATA=9021特征方程为-20=00-9det(al - A A) =1-12-2可得ATA的特征值为上页2, = 9.1428,2, = 2.9211, 2, = 0.9361下页返回

上页 下页 返回 因此先求A T A的特征值 A A T              0 1 1 1 2 1 1 2 0              0 1 1 2 2 1 1 1 0              1 1 2 0 9 1 2 0 1 特征方程为 det( I A A) T   1 1 2 0 9 1 2 0 1           0 可得A T A的特征值为 1  9.1428,2  2.9211,3  0.9361