《数值计算》课程教学课件（讲稿）第4章 数值积分与数值微分（2/4）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第四章数值积分与数值微分第一节问题的提出第二节机械求积法和代数精度第三节 牛顿一柯特斯求积公式第四节复化求积公式第五节龙贝格求积公式第六节#高斯求积公式第七节数值微分上页下页返园

上页 下页 返回 第四章 数值积分与数值微分 第一节 问题的提出 第三节 牛顿—柯特斯求积公式 第四节 复化求积公式 第五节 龙贝格求积公式 第六节 高斯求积公式 第七节 数值微分 第二节 机械求积法和代数精度

S3牛顿一柯特斯公式三、低阶牛顿一柯特斯公式及其余项在牛顿-柯特斯公式中，n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式，称为低阶公式(-1)"-(n)"(t-j)dtn-k!(n-k)!0sjSn1.梯形（trapezia）公式及其余项j+k取n=l,则x=a,x, =b,h=b-a柯特斯系数为1-21C(l)C("=-f'(t-1)dt = =tdt =2求积公式为I(f) =(b-a)c("f(x)3.53k=02.5b-a[f(x)+ f(x))二1.52上页b-a0.5即I(f)[f(a)+ f(b)]下页0.50.51.52返园

上页 下页 返回 §3 牛顿—柯特斯公式 三、低阶牛顿-柯特斯公式及其余项 在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也 最重要三个公式,称为低阶公式。 1.梯形(trapezia)公式及其余项 取n  1,则x0  a , x1  b ,h  b  a t dt     1 0 ( 1) (1) C0 柯特斯系数为 2 1  tdt   1 0 (1) C1 2 1  求积公式为 ( ) 1 I f    1 0 (1) ( ) ( ) k k xk b a C f [ ( ) ( )] 2 0 x1 f x f b a    [ ( ) ( )] 2 f a f b b a   即 I1 ( f )  -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5             n j k j n n k n k t j t n k n k C 0 0 ( ) ( )d !( )! ( 1)

上式称为梯形求积公式，也称两点公式，记为b-aT=I(f)[f(a)+ f(b)]()2R,(x)=0n+i(x)(n+1)!梯形公式的余项为hR,(x)dxR(T) = R(I)=第二积分=T'f"(E)中值定理(x-a)(x-b)dx2"(n) ["(x-a)(x-b)lxne[a,b]2(b-a)3f"(n) (b-a)3f"(n)2612(b-a)3M2M, = max故f"(x) I R(T)≤12xe[a,b]上页下页梯形公式具有1次代数精度返圆

上页 下页 返回 x a x b dx b f a     ( )( ) 2 ( ) x a x b dx f b a     ( )( ) 2 () [a,b] 第二积分 中值定理 6 ( ) 2 ( ) 3 f  b  a    ( ) ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) x n f R x n n n       ( ) 12 ( ) 3 f  b a     2 3 12 ( ) | ( )| M b a R T   max | ( )| [ , ] M2 f x x a b    梯形公式具有1次代数精度 故 [ ( ) ( )] 2 f a f b b a   T  I1 ( f )  梯形公式的余项为 ( ) ( )1 R T  R I   b a R1 (x)dx 上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为

(-1)n-kC()J"I(t-jdtn.k!-(n-k)!2.辛普森（Simpson）公式及其余项OSjSnib-ab+a取n=2,则x。=a,X,x, =b,h=221柯特斯系数为C() = -"(t-1)(t -2)dt =64c-→α-2t 61c -(-1)at6I, =(b-a)Zc(2) f(x)求积公式为k=0I,(f) =(b-a) f(x0)+(x)+f(x,)上页b-aa+bf(a)+4f()+ f(b))下页26返园

上页 下页 返回 2.辛普森（Simpson）公式及其余项 2 , , 2 2, , 0 1 2 b a x b h b a n x a x     取  则   柯特斯系数为 C t t dt     2 0 (2) 0 ( 1)( 2) 4 1 6 1  C t t dt     2 0 (2) 1 ( 2) 2 1 6 4  C t tdt    2 0 (2) 2 ( 1) 4 1 6 1  求积公式为 2 I    2 0 (2) ( ) ( ) k k xk b a C f ( )] 6 1 ( ) 6 4 ( ) 6 1 ( )[ 0 1 x2  b  a f x  f x  f ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 f b a b f a f b a      ( ) 2 I f             n j k j n n k n k t j t n k n k C 0 0 ( ) ( )d !( )! ( 1)

上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式b-a+[f(a) +4f("S=I,(f)记为)+ f(b)l624.5辛普森公式的余项为3.5R(S) = R(I,)=/ R(x)dx32.5b-a2b-a)* f((n)1.521800.5o0.500.51.5上页辛普森公式具有3次代数精度下页返园

上页 下页 返回 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 ( ) 2 S  I f 辛普森公式的余项为 ( ) ( ) 2 R S  R I   b a R2 (x)dx ) ( ) 2 ( 180 4 (4) f  b  a b  a   辛普森公式具有3次代数精度 ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 f b a b f a f b a     

(-1)"-kC(n)"II(t-j)dt10n.k!(n-k)!0≤j≤n3.柯特斯公式及其余项jtkb-a取n= 4,则 x, =a+kh,k =0,1,...,4,h=47C(4)柯特斯系数为(t -1)(t -2)(t -3)(t - 4)dt =904.4!32C(4)t(t -2)(t - 3)(t - 4)dt9004.3!V121Cht(t -1)(t -3)(t -4)dt904.2!.2!321C(4)t(t -1)(t -2)(t - 4)dtC3Jo904.3!7t(t -1)(t - 2)(t - 3)dt上页904.4Jo下页返回

上页 下页 返回 3.柯特斯公式及其余项 4 4, , 0,1, ,4 , b a n xk a kh k h  取  则      柯特斯系数为 C (t 1)(t 2)(t 3)(t 4)dt 4 4! 1 4 0 (4) 0        90 7  C t(t 2)(t 3)(t 4)dt 4 3! 1 4 0 (4) 1        90 32  C t(t 1)(t 3)(t 4)dt 4 2! 2! 1 4 0 (4) 2        90 12  C t(t 1)(t 2)(t 4)dt 4 3! 1 4 0 (4) 3        90 32  C t(t 1)(t 2)(t 3)dt 4 4! 1 4 0 (4) 4        90 7              n j k j n n k n k t j t n k n k C 0 0 ( ) ( )d !( )! ( 1)

求积公式为I(f) =(b-a)Ec(" f(x)K=3212327=(b-a)[ f(x)+2.-7--f(x)+f(x2)+f(xg)+f(x))9090909090b-a[7f(x)+32f(x)+12f(x2)+32f(x,)+7f(x4))90上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式记为 C=I(f)柯特斯公式的余项为2(b-a)")° f(6) (n)R(C)= R(I) = R (x)dx945上页柯特斯公式具有5次代数精度下页返回

上页 下页 返回 求积公式为 ( ) 4 I f    4 0 (4) ( ) ( ) k k xk b a C f ( )] 9 0 7 ( ) 9 0 3 2 ( ) 9 0 1 2 ( ) 9 0 3 2 ( ) 9 0 7 ( )[ 0 1 2 3 x4  b  a f x  f x  f x  f x  f [7 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 2 ( ) 7 ( )] 9 0 0 1 2 3 x4 f x f x f x f x f b a       上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式 记为 ( ) 4 C  I f 柯特斯公式的余项为 ( ) ( ) 4 R C  R I   b a R4 (x)dx ) ( ) 4 ( 945 2( ) 6 (6) f  b  a b  a   柯特斯公式具有5次代数精度

21etdr的近似值，并例5试分别使用梯形公式和Simpson公式计算积分1估计截断误差[edx~2,l(e+et)=2. 1835.解用梯形公式计算：2f(z)et,f(a)et，f"(a)(2+)e,max（）/m(1)8.1548(21)#max1f(r)10.6796.估计截断误差为R121616221-e+4e+电量）2.0263用Sinpson公式计算：eid61612413612tmax4(z)1mft(1)198.43F0()(4++内利十35135(2-1)5上页Rf(*)(x) = 0.06890估计裁断误差为max<28801≤x≤2下页返园

上页 下页 返回 max ( ) 0.06890 2880 ( 2 1 ) ( 4 ) 1 2 5 2      R f x x 例 5

四、牛顿一柯特斯公式的稳定性（舍入误差考察柯特斯系数(-1)"-kC(n)II(t- j)dt1JOn.k!(n-k)!0≤jSnj+k只与积分区间a,b的节点x,的划分有关与函数f(x)无关其值可以精确给定因此用牛顿一柯特斯公式计算积分的舍入误差主要由函数值f(x)的计算引起只需讨论(x)的舍入误差对公式的影响假设f(x)为精确值而以f(x)作为f(x）的近似值计算值）8=f(x）-f(x）为误差记 i,=(b-a)Ec(")j(x)为I,的近似值计算值上页k=0而理论值为 I,=(b-a)Zcl"f(x)下页返圆k=0

上页 下页 返回 四、牛顿-柯特斯公式的稳定性(舍入误差) t j d t n k n k C n j k j n n k n k             0 0 ( ) ( ) !( )! ( 1) 考察柯特斯系数 只与积分区间[a,b]的节点xj 的划分有关,与函数f (x)无关 因此用牛顿-柯特斯公式计算积分的舍入误差主要由函数值 ( )的计算引起, xk f 其值可以精确给定 只需讨论f (xk )的舍入误差对公式的影响 假设 ( )为精确值,而以 ( )作为 ( )的近似值(计算值) k k xk f x f x f  k  f (xk ) f (xk )为误差 n I    n k k n b a Ck f x 0 ( ) 记 ( ) ( ) 为 的近似值(计算值) n I 而理论值为 n I    n k k n b a Ck f x 0 ( ) ( ) ( )