《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法

第一节定积分的元素法问题的提出二、小结思考题

一、问题的提出 二、小结 思考题 第一节 定积分的元素法

高等数学一、问题的提出回顾曲边梯形求面积的问题I曲边梯形由连续曲线y= f(x)y= f(x)(f(x)≥0) x轴与两条直线x=a、bxdx=b所围成。上页下页A= f' f(x)dx返回

下页 返回 上页 回顾 曲边梯形求面积的问题  = b a A f (x)dx 一、问题的提出 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x)  0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)

高等数学面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间[a,bl分成n个长度为△x，的小区间相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第n小窄曲边梯形的面积为△A;，则A=△A,.i=1（2）计算△A,的近似值A, ~ f(5)Ax;5;EAr上页下页求和，得A的近似值 A~f(5)Ax;(3）返回i-1

下页 返回 上页 面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = =  n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A  f ( )  i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A   f x = 

高等数学(4)求极限，得A的精确值n面积元素Z.A= lim(5)Ax; = "f(x)dx2→0i=1提示若用△A表示任一小区间dA[x,x+△xl上的窄曲边梯形的面积f(x则A=Z△A，并取△Af(x)dx2于是A~f(x)dx上页x x+dsa文A= lim Ef(x)dx= f f(x)dx.下页返回

下页 返回 上页 a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A =  f x = → lim ( ) 1 0   =  b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A  f ( x)dx， 于是A   f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) .  = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素

高等数学当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x 的变化区间a,bl有关的量;（2）U对于区间a,b具有可加性，就是说，如果把区间a,b分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和;(3)部分量△U，的近似值可表示为f（S）△x；上页下页就可以考虑用定积分来表达这个量U返回

下页 返回 上页 当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U

高等数学元素法的一般步骤：为1）根据问题的具体情况，选取一个变量例姆积分变量，并确定它的变化区间[a,b];2）设想把区间[a,bl分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,x+x]，求出相应于这小区间的部分量△U的近似值.如果AU能近似地表示为[a,bl上的一个连续函数在x 处的值,f(x)与dx上页的乘积，就把f(x）dx称为量U的元素且记作下页dU, 即dU=f(x)dx;返回

下页 返回 上页 元素法的一般步骤： 1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为 积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2）设想把区间[a,b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[x, x + dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU = f ( x)dx；

高等数学3）以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得U="f(x)dx,即为所求量U的积分表达式这个方法通常叫做元素法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；上页功；水压力；引力和平均值等下页返回

下页 返回 上页 3）以所求量U 的元素 f ( x)dx为被积表达式，在 区间[a,b]上作定积分，得 =  b a U f (x)dx， 即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法． 应用方向： 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．

高等数学二、小结元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质）上页下页返回

下页 返回 上页 元素法的提出、思想、步骤. （注意微元法的本质） 二、小结

高等数学思考题微元法的实质是什么？上页下页返回

下页 返回 上页 思考题 微元法的实质是什么？

高等数学思考题解答“和式”的极限微元法的实质仍是上页下页返回

下页 返回 上页 思考题解答 微元法的实质仍是“和式”的极限