《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第四章 不定积分 第二节 换元积分法

第二节换元积分法第一类换元法二、第二类换元法三、小结思考题福

一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、小结 思考题 第二节 换元积分法

高等数学一、第一类换元法问题cos2xdx字 sin 2x +C解决方法利用复合函数，设置中间变量过程令t=2x=dx=dt.2上页1sint + C=sin2x +C.cos2xdxcostdt=-一=下页222返回

下页 返回 上页 问题  cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1  dx = dt  cos2xdx tdt  = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法

高等数学在一般情况下：设 F'(u)= f(u), 则[f(u)du= F(u)+C.如果u=(x)（可微）dF[p(x)] = f[Φ(x)]@'(x)dx[ f[p(x)lp'(x)dx = F[p(x)I+ C上页=[J f(u)dulu=p(x)由此可得换元法定理下页返回

下页 返回 上页 在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) .  f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微）  dF[(x)] = f[(x)](x)dx   f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  由此可得换元法定理

高等数学定理1设f(u)具有原函数，u=(x)可导则有换元公式J f[p(x)l'(x)dx = [J f(u)dulu=(x)第一类换元公式（凑微分法）中说明使用此公式的关键在于将[ g(x)dx 化为[ f[p(x)]s'(x)dx.上页下页观察重点不同，所得结论不同返回

下页 返回 上页 设 f (u)具有原函数，  f[(x)](x)dx =  = ( ) [ ( ) ] u du u x f  第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将  g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) .  f  x  x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1

高等数学例1求[ sin2xdx.解（一）「sin2xdxsin 2xd(2x)2cos2x+C;2解（二）「sin2xdx =2[sinxcosxdx= 2[ sin xd(sin x)= (sin x) + C;解（三）「sin2xdx =2Jsinxcosxdx上页下页= -2J cos xd(cos x)= -(cos x) + C.返回

下页 返回 上页 例 1 求 sin 2 .  xdx 解（一）  sin 2xdx  = sin 2 (2 ) 21 xd x cos 2 ; 21 = − x + C 解（二）  sin 2xdx =  2 sin xcos xdx =  2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三）  sin 2xdx =  2 sin xcos xdx = −  2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C

高等数学dx.求例23+2x11解(3 +2x)3+2x2 3+2xxdx=(3 + 2x)'dx3+2x2J3+2xJ,du =↓Inu+C=↓In(3+2x)+C.22上页下页[ f(ax + b)dx= =f f(u)dulu一般地返回u=ax+b

下页 返回 上页 例 2 求 . 3 21 dx x  + 解 (3 2 ) , 3 21 21 3 21  +  + =  + x x x dx x  3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 21 21  +  + =  du u  = 1 21 = ln u + C 21 ln( 3 2 ) . 21 = + x + C  f (ax + b )dx =  u du u =ax + b f a[ ( ) ] 1 一般地

高等数学1求dx.例3x(1 + 2ln x)1解dx :d(ln x)x(1 + 2ln x)1+ 2lnxd(1 + 2ln x)2.J1+2lnxu=1+2lnx上页du =lnu+C =In(1+ 2In x)+C.下页22返回

下页 返回 上页 例 3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x  + 解 dx x x  ( 1 + 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x  + =(1 2ln ) 1 2ln 1 21 d x x + + =  u = 1+ 2ln x  = du u1 21 = lnu + C 21 ln( 1 2ln ) . 21 = + x + C

高等数学x求例4dx.t3(1+xx+1-1解dxdx =31+x)3(1(1+111]d(1 + x)=小(1+x)3)+x)11C1+C2++t)?2(1 -1+x+上页11下页+C.返回1+x2(1 + x)

下页 返回 上页 例 4 求 . (1 )3 dx xx  + 解 dx xx  + 3 ( 1 ) dx x x  ++ − = 3 ( 1 ) 1 1] (1 ) (1 ) 1 (1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + =  1 2 2 2(1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2(1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −

高等数学V求例5dx22aX十1解dx22ax2axarctan= + C.-aat01+上页下页返回

下页 返回 上页 例 5 求 . 1 2 2 dx a x  + 解 dx a x  + 2 2 1 dx a a x  + = 2 2 2 1 1 1     + =  ax d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C ax a = +

高等数学1求例6dx.x8x+25解dxdxx2-8x+25+ 9Ldx=3x-4+1上页x-4下页+C.arctan返回33

下页 返回 上页 例 6 求 . 8 25 1 2 dx x x  − + 解 dx x x  − 8 + 25 1 2 dx x  − + = ( 4) 9 1 2 dx x   +   − = 1 3 41 312 2   −  +   − =  3 4 1 3 41 31 2 x d x . 3 4 arctan 31 C x + − =