《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第四章 不定积分 第三节 分部积分法

第三节分部积分法基本内容二、小结三、思考题

一、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法

高等数学一、基本内容问题 xe"dx =?解决思路利用两个函数乘积的求导法则设函数u=u(x)和v=v(x)具有连续导数uv'=(uv) -u'v,(uv) = u'v+ uv',上页uv'dx=uv-fu'vdx,udv = uv -f vdu.下页返回分部积分(integrationbyparts)公式

下页 返回 上页 问题  xe dx = ? x 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 设函数u = u(x)和v = v(x)具有连续导数, (uv) = uv + uv ,  uv (uv) − uv,   = uv dx uv u vdx,    = −  udv uv vdu.   = − 分部积分(integration by parts)公式 一、基本内容

高等数学例1求积分「xcosxdx.I2dx2解(一)令u=cosx,xdxdy==22[ xcos xdx =sin xdxcosx +22显然，u,选择不当，积分更难进行解（二）令u=x，cosxdx=dsinx=dv[ xcos xdx={ xd sinx= xsinx-{ sinxdx上页下页=xsinx+cosx+C.返回

下页 返回 上页 例1 求积分 cos .  x xdx 解（一） 令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1  xcos xdx  = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 显然， u,v 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 u = x, cos xdx = d sin x = dv  xcos xdx  = xd sin x  = xsin x − sin xdx = xsin x + cos x +C

高等数学x'e*dx.例2求积分解u=x?,e"dx = de* = dv.x'e*dx=x'e*-2[xe*dx再次使用分部积分法）u=x，edx=dyxe*-2(xe*-e)+C.总结若被积函数是幂幕函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就考虑设幂函上页数为u，使其降幂一次（假定幂指数是正整数）下页返回

下页 返回 上页 例2 求积分 . 2  x e dx x 解 , 2 u = x e dx de dv, x x = =  x e dx 2 x  = x e − xe dx x x 2 2 2( ) . 2 x e xe e C x x x = − − + （再次使用分部积分法） u = x, e dx dv x = 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 u , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)

高等数学例3求积分x arctanxdx.解 令u=arctanx,dxdx =d-2/xarctanxdx-d(arctanx)arctanx2222xr1dxarctanx222+x121E)dxarctanx-2x21+x上页下页(x-arctanx)+Carctanx22返回

下页 返回 上页 例3 求积分 arctan .  x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2  xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x  = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = −   dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = −  −  ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +

高等数学Ix' In xdx.求积分例4X解u=lnx, xdxd=dy1A3[ x" In xdx= dxInxx414+C.xX16总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂上页函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函下页数或反三角函数为u返回

下页 返回 上页 例4 求积分 ln . 3  x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d =  x ln xdx 3  = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 u

高等数学例5I sin(In x)dx.求积分解sin(ln x)dx= x sin(ln x) - [ xd[sin(ln x)]= x sin(In x) - xcos(ln x).I dxx= x sin(In x) - xcos(In x) + [ xd[cos(In x)]sin(ln x)dx= x[sin(ln x) - cos(ln x)]上页下页[ sin(In x)dx= =[sin(In x) - cos(In x)]+ C返回2

下页 返回 上页 例5 求积分 sin(ln ) .  x dx 解  sin(ln x)dx = −  xsin(ln x) xd[sin(ln x)]  = −  dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) = − +  xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)] = − −  x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx  sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − +

高等数学Xsinxdx.例6求积分0e" sin xdx={ sinxde*解=e* sinx- [ed(sinx)= e* sinx - Je* cos xdx = e* sinx - [cos xde=e" sinx-(e* cosx-[e*dcosx)e"sinxdx=e*(sinx - cosx)注意循环形式e下页et返回[e* sin xdx-(sin x - cos x)+ C.2

下页 返回 上页 例6 求积分 sin .  e xdx x 解  e xdx x sin  = x sin xde = −  e sin x e d(sin x) x x = −  e x e xdx x x sin cos = −  x x e sin x cos xde = − −  e sin x (e cos x e d cos x) x x x = − −  e x x e xdx x x (sin cos ) sin  e xdx x sin (sin cos ) . 2 x x C e x = − + 注意循环形式

高等数学xarctanx例7求积分dx.V1+xx解 ：(1+x)=21+xxarctanxdx = [arctanxd /1+ x21+x= /1+ x’ arctanx-[ /1+x'd(arctanx)上页1=/1+x* arctanx- 1+x?dx下页1+x返回

下页 返回 上页 例7 求积分  + . 1 arctan 2 dx x x x 解 ( ) , 1 1 2 2 x x x + =   +  +  dx x x x 2 1 arctan  = + 2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x  = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +  

高等数学1dx/1+xarctanx-21+x令x=tant1sec’ tdt = [ sectdtdx1+xV1+tant= In(sect + tant)+C = In(x+ /1+ x°)+Crxarctanxdx2/1+x2上页下页 /1+x arctanx-In(x+ /1+ x)+C.1返回

下页 返回 上页 dx x x x  + = + − 2 2 1 1 1 arctan 令 x = tant dx x  + 2 1 1  + = tdt t 2 2 sec 1 tan 1  = sectdt = ln(sec t + tant) +C = ln( x + 1+ x ) + C 2  +  dx x x x 2 1 arctan 1 x arctan x 2 = + ln( 1 ) . 2 − x + + x + C