《数值计算》课程教学课件（讲稿）第4章 数值积分与数值微分（1/4）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返园

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第四章数值积分与数值微分第一节问题的提出第二节机械求积法和代数精度第三节 牛顿一柯特斯求积公式第四节复化求积公式第五节龙贝格求积公式第六节#高斯求积公式第七节数值微分上页下页返园

上页 下页 返回 第四章 数值积分与数值微分 第一节 问题的提出 第三节 牛顿—柯特斯求积公式 第四节 复化求积公式 第五节 龙贝格求积公式 第六节 高斯求积公式 第七节 数值微分 第二节 机械求积法和代数精度

81问题的提出神舟十号载人飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星发射中心成功发射，6月13日13时18分与天宫一号成功对接，在轨飞行15天，其中12天与天宫一号组成组合体在太空中飞行，6月26日8时7分，神舟十号返回舱成功返回地面。神舟十号载人飞船发射的初始轨道为近地点约200公里、远地点约330公里的椭圆轨道，对接轨道为距地约343公里的近圆轨道，飞行速度约为每秒7.9公里．试计算神舟十号载人飞船在轨飞行的公里数这里主要是计算神舟十号的椭圆轨道的周长由椭圆的参数方程和曲线的弧长公式，可得椭圆周长为L = 4a-cos?tdta这是一个定积分，只要求出它的值就行了

§1 问题的提出 神舟十号载人飞船于2013年6月11日17时38分在酒泉卫星 发射中心成功发射，6月13日13时18分与天宫一号成功对接， 在轨飞行15天，其中12天与天宫一号组成组合体在太空中飞 行，6月26日8时7分，神舟十号返回舱成功返回地面. 由椭圆的参数方程和曲线的弧长公式，可得椭圆周长为 tdt a c a   2 0 2 2 2 4 1 cos  这是一个定积分，只要求出它的值就行了. L 神舟十号载人飞船发射的初始轨道为近地点约200公里、 远地点约330公里的椭圆轨道，对接轨道为距地约343公里的 近圆轨道，飞行速度约为每秒7.9公里. 试计算神舟十号载人 飞船在轨飞行的公里数. 这里主要是计算神舟十号的椭圆轨道的周长

对于积分I=["f(x)dx只要找到被积函数f(x)原函数F(x)，便有下列牛顿一莱布尼兹(Newton一Leibniz)公式["f(x)dx = F(b)- F(a)但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数f(x)：sinx(1) f(x)是sinx2等等时，找不到用初等函数表示的原函数；x（2）当f(x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿一莱布尼兹公式也不能直接运用；(3f(x)的表达式结构复杂求原函数较困难这时，有必要研究积分的数值计算问题。上页下页返园

上页 下页 返回 f (x)dx F(b) F(a) b a    对于积分 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有下 列牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式   b a I f (x)dx 但实际使用这种求积方法往往有困难，因为大量的被积函数f (x)： x sin x （1） f (x)是 ，sin x 2 等等时，找不到用初等函数表示的原函数； （3） f (x)的表达式结构复杂,求原函数较困难 （2）当f (x)是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布 尼兹公式也不能直接运用； 这时，有必要研究积分的数值计算问题

82机械求积法和代数精度一、数值求积的基本概念积分中值定理告诉我们，在积分区间[a,b内存在一点，有 ( f(x)dx =(b-a)f()成立，就是说底为b-a而高为f(）的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积。yif(r)S2b问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出f()的值：我们将f()称为区间[a,b上的平均高度这样，只要对平均高度f（）提供一种算法，相应地便获得上页一种数值求积方法下页返园

上页 下页 返回 问题在于点ξ 的具体位置一般是不知道的，因而难以准确 积分中值定理告诉我们，在积分区间[a, b]内存在一点 ， 有 成立，就是说底为b-a而高为f (ξ ) 的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积. ξ f (x)dx (b a) f ( ) b a    我们将f ( ξ )称为区间[a, b]上的平均高度． 这样，只要对平均高度f ( ξ ) 提供一种算法，相应地便获得 一种数值求积方法． §2 机械求积法和代数精度 一、数值求积的基本概念 算出 f ( ξ )的值．

f(x)如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f（）的近似值，这样导出f(b)f(a)的求积公式，就是我们所熟悉的梯形公式：bab-aT[f(a)+ f(b))2a+b的“高度”f(c)近似地取代平均高如果改用区间中点c2度f（），则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：a+bR=(b-a)f2还有一个常见的辛普森(Simpson)公式：b-aa+bf(a)+4flS+ f(b)上页=6下页返园

上页 下页 返回 如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术 平均作为平均高度f ( ξ ) 的近似值，这样导出 的求积公式 ，就是我们所熟悉的梯形公式： [ ( ) ( )] 2 f a f b b a T             2 ( ) a b R b a f                  ( ) 2 ( ) 4 6 f b a b f a f b a S 还有一个常见的辛普森(Simpson)公式： 2 a b c  如果改用区间中点  的“高度”f (c)近似地取代平均高 度f ( ξ )，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)： f(x) a b f(a) f(b)

更一般地，我们可以在区间[a，b上适当选取某些节点xk，然后用f(x)加权平均得到平均高度f(）的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式ZAsf(x)f'f(x)dx~k=0式中x称为求积节点；A,称为求积系数，亦称为伴随节点x的权权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式.这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿一莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。上页下页返园

上页 下页 返回 更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk，然 后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f ( ξ )的近似值，这样构造出的求 积公式具有下列形式 式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的 权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的具 体形式．    b a n k k xk f x x A f 0 ( )d ( ) 这类数值积分方法通常称作机械求积，其特点是将积分求值问 题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求 原函数的困难．

二、代数精度的概念数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念。ZA.(x)C" f(x)dx ~定义若求积公式k=0对任意次数不超过m次的多项式P(x)(i≤m)都准确成立即[" P,(x)dx =ZA,P,(xx)i=0,1,,mk=0但对m+1次多项式却不能准确成，即只要nZAx!xm+ldx +上页0k=0下页则称该求积公式具有m次的代数精度。返回

上页 下页 返回  b a f (x)dx   n k k xk A f 0 ( ) 对任意次数不超过m次的多项式P (x) (i m)都准确成立, i  但对m 1次多项式却不能准确成立,即只要  b a 即 Pi (x)dx   n k Ak Pi xk 0 ( ) i  0,1,  ,m   b a m x dx 1    n k m Ak xk 0 1 则称该求积公式具有m次的代数精度。 若求积公式 二、代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然 希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就 提出了所谓代数精度的概念． 定义

一般地，欲使求积公式f(x)dx~Akf(x）具有m次代数精度，只要令它对于f(x)=1，x，…，xm都能准确成立，这就要求[ZA, =b-a;(b2ZAX=(bm+)mtZAx"m+1nAr+!xm+ldx￥1k=0则该求积公式具有m次的代数精度。上页下页返园

上页 下页 返回 一般地，欲使求积公式 具有m次代数 精度，只要令它对于f (x) = 1，x，.，x m 都能准确成立，这就要求     b a n k k xk f x x A f 0 ( )d ( )                      ( ) . 1 1 ( ); 2 1 ; 1 1 2 2 m m m k k k k k b a m A x A x b a A b a    b a m x dx 1    n k m Ak xk 0 1 则该求积公式具有m 次的代数精度

f(x)例1:已知梯形公式：="(f(a)+ f(b)J'f(x)dx ~f(b)2.f(a)考察其代数精度。ba解：逐次检查公式是否精确成立['1 dx=b-ab[1 +1]代入,f(x) = 1:-a6b?-a?xdx=[a +b]代入f(x)=x:2ab3-a3x"dx=[a? +b]代入f(x)=x2:主3a所以，代数精度=1上页下页返圆

上页 下页 返回 f(x) a b f(a) f(b) 解： 代入 f(x) = 1：    b a 1 dx b a [1 1] 2  ba = 代入 f(x) = x ： = 代入 f(x) = x 2 ：  2 2 2 b a b a x dx    [ ] 2 a b b a   3 2 3 3 b a b a x dx    [ ] 2 2 2 a b b a   所以，代数精度= 1 例1： [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x d x b a     考察其代数精度。 已知梯形公式： 逐次检查公式是否精确成立