《数值计算》课程教学课件（讲稿）第9章 矩阵特征值问题的数值解法

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第九章矩阵特征值问题的数值解法8 1 问题的提出82 幂法83反幂法上页下页返回

上页 下页 返回 第九章 矩阵特征值问题的数值解法 §1 问题的提出 §2 幂法 §3 反幂法

81 问题的提出工程中有许多振动问题，可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。例如弦振动问题，满足一维波动方程's-20's2=f(x,t), 0≤x≤l,t≥0ar2Ot2当 f(x,t)=0 日时，可用分离变量法转化为二阶常微分方程的特征值问题u"(x)+Zu(x)=0, 0≤x≤lu(0) = u()= 0再用数值方法，转化为矩阵特征值问题AU=U. U±0上页下页返园

上页 下页 返回 §1 问题的提出 工程中有许多振动问题，可转化为求矩阵特征值与特征 向量的问题。 例如弦振动问题， 满足一维波动方程 2 2 2 2 2 ( , ), 0 , 0 s s a f x t x l t t x          当 f (x,t)  0 时， 可用分离变量法转化为 二阶常微分方程的特征值问题 ( ) ( ) 0, 0 (0) ( ) 0 u x u x x l u u l            再用数值方法，转化为矩阵特征值问题 AU  U, U  0

下面看一般的矩阵特征值问题设A=(a）是n阶方阵，是一个参数1、特征矩阵a-a-a12ain-a22a21-a2nZE-A=2-ann-anl-an22、特征多项式a-ani-a12ain-a22-a21a2nf(a)=|E-A|=-ann-anl-an2上页= a" -(au +...+ann)an-- +...+(-1)"A下页返回

上页 下页 返回                          n n nn n n a a a a a a a a a E A        1 2 21 22 2 11 12 1  1、特征矩阵 2、特征多项式 设 ( ) 是n阶方阵， 是一个参数. A  aij  n n nn n n a a a a a a a a a f E A                     1 2 21 22 2 11 12 1 ( )  a a A n n nn n ( ) ( 1) 1   11           下面看一般的矩阵特征值问题

3、特征方程2E-A=04、特征值特征方程的根称为A的特征根或特征值，用2(A)表示A的所有特征值的集合。注意：（（1)实矩阵的特征根不一定是实数，且复数根是共轭出现的(2）一般n阶矩阵有n个特征根5、特征向量设α是A的特征值，则（.E－A)x=0的任意非零解向量称为A对应于特征值2。的一上页个特征向量，简称为A的一个特征向量下页返圆

上页 下页 返回 3、特征方程 E  A  0 4、特征值 特征方程的根称为A的特征根或特征值，用 表示A的所有特征值的集合。 (A) 注意： (1)实矩阵的特征根不一定是实数，且 复数 根是共轭出现的. (2) 一般n阶矩阵有n个特征根. 5、特征向量 的任意非零解向量称为A对应于特征值 的一 个特征向量，简称为A的一个特征向量.  0 设  0 是A的特征值，则 (0 E  A)x  0

6、若2是A的特征值,则2是A的特征值aa是aA的特征值（a为任意实数，k为自然数），f(a）是f(A)的特征值,其中f(a)=a,+aa+...+amamf(A)= a,E+a,A+...+amAm7、假定,2,,a,是n阶矩阵A=(ai)的n个特征值，则 + +..+ A, = ai +a22 +...+amma,a,=A上页下页返回

上页 下页 返回 6、若  是A的特征值, m m m m f A a E a A a A f a a a           0 1 0 1 ( ) ()   , 7、假定 1 ,2 ,  , n 是n阶矩阵 A  (ai j ) 的n个特征值, 则 1  2  n  a11  a22  ann 1 2  n  A k  k 则 是 A 的特征值, a 是 aA 的特征值(a为任意实数,k为自然数), f () 是 f (A) 的特征值,其中

8、相似矩阵设A.B是n阶方阵，若存在满秩矩阵P使P-1 AP= B则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似，P称为相似变换矩阵9、相似矩阵有相同的特征多项式，因此有相同的特征值10、相似的充要条件n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量11、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的每个k重特征值入对应有k个线性无关的特征向上页量（即矩阵aE-A的秩为n-k）下页返圆

上页 下页 返回 设A,B是n阶方阵，若存在满秩矩阵P,使 则称B是A的相似矩阵，或称矩阵A与B相似，P称 为相似变换矩阵. 8、相似矩阵 P AP  B 1 9、相似矩阵有相同的特征多项式,因此有相同的特征值. 10、相似的充要条件 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线 性无关的特征向量. 11、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 A的每个k重特征值λ对应有k个线性无关的特征向 量(即矩阵 E  A 的秩为 n  k )

12、实对称矩阵的特征值为实数13、任意实对称矩阵A与对角矩阵相似14、设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵T使得222T-IAT=Z其中,2，是A的特征值上页下页返回

上页 下页 返回 12、实对称矩阵的特征值为实数. 13、任意实对称矩阵A与对角矩阵相似. 14、 设A为实对称矩阵,则存在正交矩阵T,使得                 n T AT     2 1 1 其中 1 ,2 ,  ,n 是A的特征值

求特征值的方法有两种一种方法是直接法，一般对阶数较小的矩阵采用另一种方法是迭代法对阶数较大的矩阵采用上页下页返回

上页 下页 返回 一种方法是直接法， 求特征值的方法有两种 另一种方法是迭代法. 一般对阶数较小的矩阵采用 对阶数较大的矩阵采用

例1求矩阵A的特征值和特征向量解-1AZE-A=-1 =(a-2)(a+1)-1-1 元2, =2,2, = 2, =-1.所以A的特征值为当=2时，解方程组(2E-A)x =0由上页2E-A=下页0返圆

上页 下页 返回 解 2 2 1 1 1 1 1 1 1  (  )(  )              E A 所以A的特征值为 2, 1. 1  2  3   当 1  2 时,解方程组 (2E  A)x  0 .                                 0 0 0 1 2 1 2 1 1 ~ 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2E A 由 例1 求矩阵A的特征值和特征向量,            1 1 0 1 0 1 0 1 1 A