《数值计算》课程教学课件（讲稿）第4章 数值积分与数值微分（4/4）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

第四章数值积分与数值微分第一节问题的提出第二节机械求积法和代数精度第三节 牛顿一柯特斯求积公式第四节复化求积公式第五节龙贝格求积公式第六节#高斯求积公式第七节数值微分上页下页返圆

上页 下页 返回 第四章 数值积分与数值微分 第一节 问题的提出 第三节 牛顿—柯特斯求积公式 第四节 复化求积公式 第五节 龙贝格求积公式 第六节 高斯求积公式 第七节 数值微分 第二节 机械求积法和代数精度

86高斯求积公式一、一般理论考察两个点的求积公式：L f(x)dx ~ A(xo)+ Af(x) f(x)dx~ f(-1)+f(I) 具有1次代数精度,它可以是：也可以是：(x)dx~(-)+(具有3次代数精度它表明，有2个节点的求积公式，最高可具有3次代数精度。ZA(x)一般的，有n+1个节点的求积公求f(x)dx~)k=0最高可以具有2n+1次代数精度。上页这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式下页返圆

上页 下页 返回 §6 高斯求积公式 考察两个点的求积公式：    1 1 0 0 1 1 f (x)dx A f (x ) A f (x ) 它可以是：     1 1 f (x)dx f ( 1) f (1) 具有1次代数精度， 也可以是：     1 1 ) 3 1 ) ( 3 1 f (x)dx f ( f 具有3次代数精度。 它表明,有2个节点的求积公式,最高可具有3次代数精度。 ( ) ( ) 0 k b a n k f x dx Ak f x    最高可以具有2n+1次代数精度。 这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式。 一般的，有n+1个节点的求积公式 一、一般理论

f'f(x)dx~ZArf(x)因为求积公式k=0含有2n+2个待定参数xk、Ak(k=0, 1, ..., n)当x为给定节点时，插值型求积公式至少有n次代数精度，如果适当选取xk(k=0，1，…，n)，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。为使问题更具一般性，我们研究带权积分I = f" f(x)p(x)dx这里p(x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为J' f(x)p(x)dx ~ZAxf(x)k=0Ak(k=0，1，...，n)为不依赖于f(x)的求积系数，xr(k=0，1，.….，n)为求积节点,上页可适当选取x及Ak（k=0，1，，n)使求积公式下页具有2n+1次代数精度返圆

上页 下页 返回 Ak (k＝0，1，.，n)为不依赖于f (x)的求积系数，     b a n k k xk f x x A f 0 ( )d ( )   b a I f (x)(x)dx    n k k k b a f x x x A f x 0 ( )( )d ( ) 因为求积公式 含有2n+2个待定参数xk、Ak (k＝0，1，.，n)． 当 xk 为给定节点时，插值型求积公式至少有n次代数精度， 如果适当选取 xk (k＝0，1，.，n)，有可能使求积公式 具有 2n+1 次代数精度。 为使问题更具一般性，我们研究带权积分 这里 (x)为权函数，类似机械求积公式，它的求积公式为 xk (k＝0，1，.，n)为求积节点， 可适当选取 xk 及 Ak (k＝0，1，.，n)使求积公式 具有2n+1次代数精度．

如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk(k=0，1，，n)为高斯点，相应的公式称为高斯求积公式·要使求积公式具有2n+1次代数精度，只要取f(x）=xm对m=0，1，，2n+1，求积公式精确成立，则得ZAxx" = I"' x" p(x)dxm=0,1,..,2n+1.当给定权函数P(x)，求出右端积分，则可由上面非线性方程组解得Ak及x(k=0，1，，n)从教材p140看到，求解上面非线性方程组较复杂，通常n>2就很难求解故一般不通过解方程组求xr及 Ak(k=0, 1, ..., n),上页下页而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式返圆

上页 下页 返回       b a m n k m Ak xk x (x)dx m 0, 1, , 2n 1. 0   而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式． 如果求积公式具有2n+1次代数精度， 则称其节点 xk (k＝0，1，.，n)为高斯点， 相应的公式称为高斯求积公式 . 要使求积公式具有2n+1次代数精度， 只要取f(x)＝x m ， 对m＝0，1，.，2n+1，求积公式精确成立，则得 则可由上面非线性方程组解得 Ak 及 xk (k＝0，1，.，n)． 当给定权函数 (x) ，求出右端积分， 从教材p140看到,求解上面非线性方程组较复杂， 通常n≥2就很难求解． 故一般不通过解方程组求 xk 及 Ak (k＝0，1，.，n)

ZAJ(x) f(x)p(x)dx ~定理插值型求积公式的节点aSxo<x<...<x,≤b是高斯点的究分必要条件是以这些节点为零点的多项式0nti(x) =(x-x)(x-x)...(x-x,)与任何次数不超过n的多项式P(x)带权p(x)正交，即( P(x)n+1(x)p(x)dx(x) = 0定理表明在[a，b]|上带权p(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的高斯点，有了求积节点xk(k=0，l，，n)再利用前面的方程组，则得到一组关于求积系数Ao，Ai，，A，的线性方程组．解此方程组则得Ak(k=0，1，…，n)也可直接由xo，Xi，…，xn的插值多项式求出求积系数上页Ar(k = 0, 1, ...,n).下页返圆

上页 下页 返回 与任何次数不超过n的多项式P(x)带权 (x) 正交，即 ( ) ( )( ) ( ) n1 x  x  x0 x  x1  x  xn ( ) 1 ( ) ( )d ( )  0   b a P x n x  x x x 再利用前面的方程组，则得到一组关于求积系数A0，A1，. ，An 的线性方程组．解此方程组则得Ak (k＝0，1，.，n) 定理 插值型求积公式    n k k k b a f x x x A f x 0 ( )( )d ( ) 的节点 a≤x0＜xl＜.＜xn≤b是高斯点的充分必要条件是以 这些节点为零点的多项式 定理表明在[a，b]上带权 (x)的n+1次正交多项式的零点就 是求积公式的高斯点， 有了求积节点 xk (k＝0，l，.，n)， 也可直接由x0，x1，.，xn 的插值多项式求出求积系数 Ak (k = 0, 1, .,n)

高斯求积公式的余项利用f(x)在节点xi(k=0，1，……，n)的埃尔米特插值H2n+1(x), H2n+(x)= f(x), H2n+1(x)= f'(x), k=0,1,*,n.f(2n+2) (E)于是0(x)f(x) = H2n+1(x)+(2n+ 2)!两端乘p(x)，并由a到b积分，则得I = [" f(x)p(x)dx =f" H2n+1(x)p(x)dx + R,[F)其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故--0.n+1(x)p(x)dx.k=0故由积分中值定理得余项为由于 のn+(x)p(x)≥0f(2n+2)(n)上页0n+i(x)p(x)dx .R,F]=下页(2n + 2)!返圆

上页 下页 返回 高斯求积公式的余项 故由积分中值定理得余项为 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0, 1, , . H2n1 xk  f xk H2  n1 xk  f  xk k   n ( ) (2 2)! ( ) ( ) ( ) 2 1 (2 2) 2 1 x n f f x H x n n n                  b a n n n k n k k x x x n f R f I A f x ( ) ( )d . (2 2) ! ( ) [ ] ( ) 2 1 (2 2) 0    ( ) ( ) 0 2 n1 x  x       b a n n n x x x n f R f ( ) ( )d . (2 2)! ( ) [ ] 2 1 (2 2)          b a n n b a I f (x) (x)dx H (x) (x)dx R [ f ]  2 1  利用 f (x)在节点xk (k = 0，1，.，n)的埃尔米特插值H2n+1 (x)， 于是 两端乘 (x)，并由a到b积分，则得 其中右端第一项积分对2n+1次多项式精确成立，故 由于

高斯求积公式的稳定性与收敛性定理高斯求积公式的求积系数A,(k=0，1，….，n)全是正的。推论高斯求积公式是稳定的，定理设f(x)EC[a，b]，则高斯求积公式是收敛的，即limEAtf(x)= f" f(x)p(x)dx.n->ok=0上页下页返回

上页 下页 返回 高斯求积公式的稳定性与收敛性 定理 高斯求积公式的求积系数Ak (k＝0，1，.，n)全是 正的． 定理 设 f (x)∈C [a，b]，则高斯求积公式是收敛的，即      n k b a k k n A f x f x x x 0 lim ( ) ( )( )d . 推论 高斯求积公式是稳定的

二、高斯一勒让德求积公式dn[x? -1]"]勒让德多项式 P,(x)三12"n! dx"是区间[-1，1]上带权函数p(x)=1的正交多项式，若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式Lf(x)dx ~ZA,f(xt)k=称为高斯一勒让德求积公式若取P1（）=a的零点。=0做节点构造求积公式f(α)dr~Aof(o).令它对f(r)=1准确成立，即可定出A。=2.这样构造出的一点上页高斯-勒让德求积公式是中矩形公式。下页返圆

上页 下页 返回 二、高斯—勒让德求积公式 称为高斯—勒让德求积公式.   n n n n n x n x P x ( 1) d d 2 ! 1 ( ) 2       n k k xk f x x A f 0 1 1 ( )d ( ) 勒让德多项式 是区间[-1，1]上带权函数  (x) = 1的正交多项式， 若以勒让德多项式的零点为高斯点，则求积公式

1（3—1)的两个零点±再取P（x）一构造求积公式V3(a)da~Aof(一)+A()令它对f（）一1，都准确成立，有A+A=2;A（）+A（）由此解出A。一A，一1，从而得到两点高斯-勒让德求积公式『,(α)d~)+(言)三点高斯-勒让德公式的形式是上页, ()dz~号(-乎)+(0)+号(乎),下页返圆

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