《数值计算》课程教学课件（讲稿）第6章 线性方程组的迭代解法（1/2）

m教材《数值分析》陈晓江主编武汉理工大学出版社Y参考书目《数值分析》李庆扬、王能超、易大义编清华大学出版社施普林格出版社《科学和工程计算基础》施妙根、顾丽珍编清华大学出版社上页下页返圆

上页 下页 返回 教材 《数值分析》 陈晓江主编 武汉理工大学出版社  参考书目 《数值分析》 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 施普林格出版社 《科学和工程计算基础》 施妙根、顾丽珍编 清华大学出版社

复习：向量和矩阵范数》向量范数定义Rn空间的向量范数·对任意x,eR"满足下列条件：≥0；=0台=0（正定性)(1)(2) lαx=α}Il 对任意αC (齐次性)(3)+≤（三角不等式)常用向量范数：1x=zix,Ilxll=maxX川x，ISiSni=1上页下页返圆

上页 下页 返回  向量范数 定义 Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： n x y  R   , (1) || || 0 ; || || 0 0     x  x   x  （正定性) (2) || x || | | || x ||       对任意  C (齐次性) (3) || x y || || x || || y ||        （三角不等式) 常用向量范数：    n i x xi 1 1 || || | |    n i i x x 1 2 2 || || | |  || || max | | 1 i i n x x      复习： 向量和矩阵范数

√矩阵范数定义Rnxn空间的矩阵范数I·对任意A,BeR"满足：(I) ⅡAI≥0;lA=0 台A=0（正定性)(2) αAll=|α|·IlAll 对任意αeC (齐次性)(3)I A+B≤Il A+IBI（三角不等式)(4)*AB≤AⅡ·B（相容)上页下页返圆

上页 下页 返回 定义 Rnn空间的矩阵范数|| · || 对任意 满足： n n A B R  ,  (1) || A||  0; || A||  0  A 0 （正定性) (2) || A|| | ||| A|| 对任意  C (齐次性) (3) || A B|| || A||  || B|| （三角不等式) (4)* || AB ||  || A || · || B || （相容）  矩阵范数

常用矩阵范数：算子范数由向量范数·lp导出关于矩阵AERnxn的p范数：则II Ax I , IABII,≤II A II,IIBII, = max l Ax Il,pIl All,= maxX+0I1x I,[风,=1II Ax ,≤II A, II xIp之特别有：II A Il..= maxail（行和范数）l≤isn-II A Il, = maxa;（列和范数）1≤jSni=lIAllz=amax(ATA)（谱范数）上页下页返圆

上页 下页 返回 常用矩阵范数： 算子范数 由向量范数|| · ||p 导出关于矩阵 A  Rnn 的 p 范数: p x p p p Ax x Ax A p x max || || || || || || || || max 0 | | | | 1           则 p p p p p p Ax A x AB A B || || || || || || || || || || || ||     特别有：      n j A aij i n 1 || || max | | 1 （行和范数）     n i A aij j n 1 1 || || max | | 1 （列和范数） || || ( ) A 2 max A A T   （谱范数 ）

>谱半径定义矩阵A的谱半径记为p(A)= max1 2, l, 其中a,为1SiSnA的特征根。定理对任意算子范数·有 p(A)≤I AI定理若A对称， 则有 Il AIl2=P(A)上页下页返回

上页 下页 返回 定理 对任意算子范数|| · || 有 (A) || A|| 定理 若A对称，则有 || || ( ) A 2   A  谱半径 定义 矩阵A的谱半径记为  (A) = ，其中i为 A 的特征根。 max | | 1 i i n   

A·A-"是关键复习：误差分的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A）汶大因子求解Ax越大则A越病态，难得准确解。>设A精确，b有切为x+oxIl sxb1AI:IIA1I1 x II>设b精确，A有误差SA，得到的解x+SxSAIIAlI A- ILI A- II -II SA III&II A IIIIA II-1-IA-·8Ax上页A II II A-1 1-川II A II下页返圆

上页 下页 返回 求解 A x b 时，A 和 的误差对解 有何影响？    b  x   设 A 精确， b 有误差 ，得到的解为  b   x x    || || || || || || || || || || || || 1 b b A A x x           相对误差放大因子 复习：误差分析  设 b 精确，A有误差 ，得到的解为   A x x    || || || || 1 || || || || || || || || || || || || 1 || || || || || || || || || || || || 1 1 1 1 A A A A A A A A A A A A x x                      是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为cond (A) , 越大则 A 越病态， 难得准确解。 || || || || 1 A  A

注：宿cond (A)的具体大小与I·Il 的取法有关，但相对大小一致。cond (A)取决于A，与解题方法无关。cond(A)Il SA IIl Sb IIII x II<II x I1-cond(A)lSA/AIAI b II常用条件数有：=amx (ATA)/ a (ATA)cond (A))cond (A)2cond (A)max |a]=特别地，若A对称，则 cond(A)2min|a|上页下页返圆

上页 下页 返回 注:  cond (A) 的具体大小与 || · || 的取法有关，但相对 大小一致。  cond (A) 取决于A，与解题方法无关。            || || || || || || || || 1 ( )|| || || || ( ) || || || || b b A A cond A A A cond A x x          常用条件数有： cond (A)1 cond (A) cond (A)2 ( )/ ( ) max A A min A A T T    特别地，若A 对称，则 min| | max | | ( ) 2   cond A 

第六章线性方程组的选代解法s1问题的提出82雅可比选代法83高斯-赛德尔迭代法84迭代法的收敛性85逐次超松弛选代法上页下页返回

上页 下页 返回 第六章 线性方程组的迭代解法 §1 问题的提出 §2 雅可比迭代法 §4 迭代法的收敛性 §5 逐次超松弛迭代法 §3 高斯-赛德尔迭代法

81问题的提出我们来看一个简单的传热问题假设在坐标平面上有正方形区域D=((x,y)/0≤x≤1,0≤y≤1)其每条边界的温度是恒定的，即 T(0,y)=T(1,y)=T(x,0)=0°C T(x,1)=100°C我们用等距平行的水平和竖直各三条直线将此区域划分成五行五列的网格，格点处温度记为T,i, j= 0,1,2,3, 4格点编号分别按网格从上向下，从左向右排序的，上页下页返圆

上页 下页 返回 §1 问题的提出 我们来看一个简单的传热问题. 假设在坐标平面上有正方形区域 D x y x y      {( , ) | 0 1,0 1} 其每条边界的温度是恒定的, 即 T y (0, )  T y (1, ) T x C ( ,0) 0  T x C ( ,1) 100  我们用等距平行的水平和竖直各三条直线将此区域划分 成五行五列的网格, 格点处温度记为 , , 0,1,2,3,4 T i j ij  格点编号分别按网格从上向下,从左向右排序的

于是，边界上格点处温度已知，位于内部的九个格点处温度未知我们可以认为内部格点处温度是围绕它的四个格点处温度的平均数即4T, = T,-1,j + T+1, + T,j-1 + T,j+1i= 1,2,3; j=1,2,3这是一个线性方程组（系数矩阵为9阶方阵）可以通过直接法来求解，获得内部格点处温度的近似值但是，当划分区域的水平和竖直的直线根数很多时，方程组的系数矩阵就是大型稀疏矩阵上页下页返圆

上页 下页 返回 于是, 边界上格点处温度已知, 位于内部的九个格点处温度未知. 我们可以认为内部格点处温度是围绕它的四个格点处 温度的平均数 即 4Tij  Ti j 1,  Ti j 1,  Ti j , 1  Ti j , 1 i j   1,2,3; 1,2,3. 这是一个线性方程组(系数矩阵为9阶方阵), 可以通过直接法来求解,获得内部格点处温度的近似值. 但是, 当划分区域的水平和竖直的直线根数很多时， 方程组的系数矩阵就是大型稀疏矩阵